第二十三讲 弧度制 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案围绕“弧度制”展开，核心知识点包括弧度制的定义、角度与弧度的互化、角的集合与实数集的对应关系以及弧长与扇形面积公式。通过联系已学的角度制，对比两种度量单位的区别与联系，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解引入弧度制的必要性。 资料亮点在于精准归纳易错点，如单位混用、扇形周长漏算半径等，分知识点设计例题与巩固提升题，梯度分明。通过数学思维引导学生深化1弧度的理解，提升运算能力，以数学语言构建角与实数的对应模型，培养抽象能力与应用意识，助力学生系统掌握弧度制知识。

第二十三讲 弧度制 【学习目标】了解弧度制；能进行弧度与角度的互化；体会引入弧度制的必要性． 【学习重点】弧度制；弧度与角度的换算． 【学习难点】1弧度的理解． 必掌握知识点 一、弧度制 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 二、角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝（≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 3、角的集合与实数集R的关系 三、 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系： 如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与之对应。 四、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 五、易错点 1.弧度公式，这里单位是弧度，不能直接带入角度度数计算； 2.集合中角度和弧度不能混用； 3.直线终边周期是；射线（半条）终边周期是； 4.扇形周长 = 弧长 + 两个半径，做题极易漏掉两条半径； 5.钟表：拨快 = 顺时针 = 负角；拨慢 = 逆时针 = 正角； 6.阴影区域如果图形分布在对顶两个象限，需要写两组集合取并集。 知识点 1：弧度制的基本概念、角度与弧度互化 1.弧度定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角。 圆心角弧度数公式：，是弧长，是圆的半径。 2.角度弧度换算核心关系 ； 注意：同一个角的集合表达式中，角度、弧度不能混合写 3.旋转方向判断正负角 逆时针旋转：得到正角； 顺时针旋转：得到负角； 钟表分针：拨快→顺时针（负角）；拨慢→逆时针（正角）。 1．半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 2．如图，时钟现在的时间为10：10，经过40min后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ） A． B． C． D． 3．将分针拨快5分钟，则分针转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 4．将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 知识点 2：终边相关的角（弧度制下终边相同、对称、直线 、 阴影区域角集合） 1.终边相同的角（弧度制） 所有与角终边相同的角（含本身）集合：｛ 2.终边对称关系:终边关于轴对称： 3.终边落在直线上的角:直线是双向，周期为，不是。 5．若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 6．与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 7．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 8．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点 3：扇形相关公式（弧长、面积、周长、最值问题） 设扇形圆心角（必须用弧度），半径，弧长， 1.弧长公式： 2.扇形面积两个公式 3.扇形周长：周长 = 两条半径 + 弧长，即 4.扇形面积最值题型 已知扇形周长为定值，求面积最大值： 方法 1：把用周长条件替换，面积写成关于二次函数求最值； 方法 2：基本不等式 ，为定值，利用求最值； 求出最值后回代求此时圆心角。 5.扇环（扇环形）：大扇形面积减去小扇形面积 。 9．若扇形的弧长等于其半径的3倍，则扇形的圆心角的弧度数为（    ） A．3 B． C． D．1 10．在下图中，优弧与劣弧有相同的圆心．并且点位于与之间，点位于与之间．优弧，劣弧以及线段和的长度均为．问到的距离是多少？（    ） A．1 B． C． D． E．2 11．已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 12．已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的面积是（    ） A．1 B． C． D． 2．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 3．把化成弧度为（     ） A． B． C． D． 4．化为弧度为（   ） A． B． C． D． 5．已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 6．与相等的角度是（    ） A． B． C． D． 7．（   ） A． B． C． D． 8．半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 9．已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 10．若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 11．当代水墨画常以扇环形构图.如图，若，，，则此扇环形水墨画的面积为（   ） A． B． C． D． 12．已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 13．周长为20的扇形的面积最大为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 14．一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 15．已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） 16．半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 17．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 18．已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 19（多选）．下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 20．从凌晨点到点，时针转了______弧度． 21．已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________． 22．已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的集合是___________． 23．如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为____. 24．下列说法正确的是__________. ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 25．将弧度化为角度：弧度=___________． 26．扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______. 27．如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 28．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 29．如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 30．某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三讲 弧度制 【学习目标】了解弧度制；能进行弧度与角度的互化；体会引入弧度制的必要性． 【学习重点】弧度制；弧度与角度的换算． 【学习难点】1弧度的理解． 必掌握知识点 一、弧度制 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 二、角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝（≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 3、角的集合与实数集R的关系 三、 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系： 如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与之对应。 四、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 五、易错点 1.弧度公式，这里单位是弧度，不能直接带入角度度数计算； 2.集合中角度和弧度不能混用； 3.直线终边周期是；射线（半条）终边周期是； 4.扇形周长 = 弧长 + 两个半径，做题极易漏掉两条半径； 5.钟表：拨快 = 顺时针 = 负角；拨慢 = 逆时针 = 正角； 6.阴影区域如果图形分布在对顶两个象限，需要写两组集合取并集。 知识点 1：弧度制的基本概念、角度与弧度互化 1.弧度定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角。 圆心角弧度数公式：，是弧长，是圆的半径。 2.角度弧度换算核心关系 ； 注意：同一个角的集合表达式中，角度、弧度不能混合写 3.旋转方向判断正负角 逆时针旋转：得到正角； 顺时针旋转：得到负角； 钟表分针：拨快→顺时针（负角）；拨慢→逆时针（正角）。 1．半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】由弧度制的定义计算求解. 【详解】半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为. 2．如图，时钟现在的时间为10：10，经过40min后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为. 3．将分针拨快5分钟，则分针转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分针拨快5分钟，即顺时针转30°，进而可解. 【详解】分针拨快5分钟，即顺时针转30°，即转过的弧度数为. 4．将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为逆时针旋转得到的角为正角，顺时针旋转为负角，将分针拨慢，是让分针逆时针旋转，因此弧度数为正， 又1小时有60分钟，故分针转过的弧度数为. 知识点 2：终边相关的角（弧度制下终边相同、对称、直线 、 阴影区域角集合） 1.终边相同的角（弧度制） 所有与角终边相同的角（含本身）集合：｛ 2.终边对称关系:终边关于轴对称： 3.终边落在直线上的角:直线是双向，周期为，不是。 5．若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】如图，设，分别是角，终边相同的角， 由角和的终边关于轴对称，得，所以，． 6．与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的集合的表示方法求解即可. 【详解】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B错误. 与终边相同的角的集合为，表示为角度制为，C错误，D正确.故选：D 7．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出终边落在边上的角为，结合图象，即可得答案. 【详解】因为，所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C. 8．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可. 【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或. 故选：C. 知识点 3：扇形相关公式（弧长、面积、周长、最值问题） 设扇形圆心角（必须用弧度），半径，弧长， 1.弧长公式： 2.扇形面积两个公式 3.扇形周长：周长 = 两条半径 + 弧长，即 4.扇形面积最值题型 已知扇形周长为定值，求面积最大值： 方法 1：把用周长条件替换，面积写成关于二次函数求最值； 方法 2：基本不等式 ，为定值，利用求最值； 求出最值后回代求此时圆心角。 5.扇环（扇环形）：大扇形面积减去小扇形面积 。 9．若扇形的弧长等于其半径的3倍，则扇形的圆心角的弧度数为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【详解】设扇形弧长为，半径为，圆心角为，则， 已知，． 10．在下图中，优弧与劣弧有相同的圆心．并且点位于与之间，点位于与之间．优弧，劣弧以及线段和的长度均为．问到的距离是多少？（    ） A．1 B． C． D． E．2 【答案】B 【分析】设，圆心角，利用弧长公式建立关于和的方程组，消元后即可求得结果. 【详解】设，圆心角， 因为点位于与之间，点位于与之间，且， 所以，且， 由题意，劣弧的长度为，根据弧长公式可得：①， 因为为劣弧，所以， 又因为优弧的长度为，其对应的圆心角为，可得：②， 由①得：，代入②得：， 整理得：，解得， 因为，且，所以，舍去， 故，即到的距离为. 11．已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用扇形面积公式，代入已知的半径和面积，求解圆心角的弧度数 【详解】设该扇形的圆心角弧度数为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，将已知条件代入可得： ， 化简得，解得，所以，该扇形圆心角的弧度数为. 12．已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为，根据题意，得到，利用扇形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为，可得，即， 则扇形的面积为， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以. 巩固提升： 1．已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的面积是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】因为扇形的半径为2，弧长为， 所以扇形的面积为. 2．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧度制表达出，进而表达出与角的终边相同的角的集合. 【详解】因为，且角度和弧度不能在一个集合中同时使用， 故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D 3．把化成弧度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所以. 4．化为弧度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故化为弧度为. 5．已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一个扇形的圆心角为， 所以这个圆心角的弧度数为. 6．与相等的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助弧度与角度的关系计算即可得. 【详解】. 7．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由角度制与弧度制的关系可知. 8．半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式求出圆心角的弧度数，再转换为角度. 【详解】由得， 所以圆心角为. 9．已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知圆心角，半径， 利用扇形弧长公式得： . 10．若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】扇形的弧长. 11．当代水墨画常以扇环形构图.如图，若，，，则此扇环形水墨画的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，，， 所以此扇环形水墨画的面积为. 12．已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以当时，扇形的面积取得最大值. 13．周长为20的扇形的面积最大为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，其面积， 由，当且仅当，即时取等号， 所以，即扇形面积的最大值为. 14．一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，结合扇形的弧长、面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为（）， 由题意可得方程组： ，解得，， 因此该扇形的圆心角弧度数为，故A正确. 15．已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用扇形的周长公式和面积公式求解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为， 由题意可得，解得或，所以或. 16．半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆心角从角度制转化为弧度制，再代入弧长公式计算求解. 【详解】由题意可得，根据弧长公式可得： . 17．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 【答案】A 【详解】根据题意，可算得弧，弧． 所以，所以． 依据题意，可知截面面积， 化简得：． 所以当，． 即当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米． 18．已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，已知圆心角， 由题意可得， ，解得，； 代入扇形面积公式，计算得. 19（多选）．下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【分析】依据 1 弧度约为 判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线 终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D 错误. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； 20．从凌晨点到点，时针转了______弧度． 【答案】 【详解】因为是顺时针所以是负角， 所以时针从时走到时，三小时时针转动角度为弧度. 21．已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________． 【答案】4 【详解】设圆心角为，半径，故，解得. 22．已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的集合是___________． 【答案】 【分析】根据终边相同角的定义求解. 【详解】终边落在直线上，则或， 所以， 故答案为：. 23．如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为____. 【答案】 【分析】方法一：根据终边在上的角的集合、终边在轴非正半轴上的角的集合可得答案；方法二：根据在内，终边落在阴影部分内的角α的集合可得答案. 【详解】方法一　由于终边在上的角的集合为 由于终边在轴非正半轴上的角的集合为， 因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角的集合为； 方法二　在内，终边落在阴影部分内的角α的集合为， 所以所求角α的集合为. 故答案为：. 24．下列说法正确的是__________. ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 【答案】②④ 【分析】①③举反例即可；②与的终边关于轴对称即可判断；④分别写出终边在直线上，在第二象限和第四象限的角的集合，再求集合的并集即可. 【详解】对于①，与终边相同，但它们的大小不相等，故①不正确； 对于②，因为与的终边关于轴对称，故②正确； 对于③，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，故③不正确； 对于④，若终边在直线上的角在第二象限，则集合是 ； 若终边在直线上的角在第四象限，则集合是， 综上，终边在直线上的角的集合是，故④正确. 故选：②④. 25．将弧度化为角度：弧度=___________． 【答案】20° 【详解】弧度. 26．扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______. 【答案】 【详解】因为扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为. 27．如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为； （2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为， 终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为 ， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为 . 28．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 29．如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由扇形的面积和弧长公式，可以计算圆的半径，再由弧长与半径的比值得出圆心角； （2）通过点的横坐标，可以计算角的正弦与余弦，再通过角，的关系计算角的正余弦，由计算坐标. 【详解】（1）记圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，面积为， 则由，且，，解得． 又因为，则．故圆心角的弧度数为． （2）因为点的横坐标为， 所以，则， 所以， 则． 所以，． 故点的坐标为． 30．某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． 【答案】6 【详解】令扇形的半径为，弧长为，则，可得， 所以扇形的半径为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $