江苏省连云港市2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

nullnull数学参考答案n 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1-8 BACB DACB 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。 9.AC 10.BCD 11.BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 1211af号o14ee司 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.解：(1)由正弦定理BC-AC ,(只要写“正弦定理”或列出式子即可得分)…1分 sinA sin B 得、2 ,(只要将B代入即可得分)… sin A sin(A+ 2π、 …2分 则sin(A+2匹=2sinA,故有sin Acos π 3 +cos Asin 3 2T=2sinA3分 整理得：5sinA=√5cosA,… …4分 故amA=V3 …5分 (2)由(1)可知：5sinA=V5cosA,又sin2A+cos2A=1,故cos2A=2 …6分 28 又anA= 2>0,故A为锐角，则cosA= 5 …7分 2√7 由余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC:AB.cosA,，(写“余弦定理”或列式)得：9分 AB、20 万AB+12=0…10分 解得AB=14 6 …11分 又B-A=2亚，得B为钝角，故AC>AB,则AB<4,…12分 3 做a8合- …13分 16.(1)证明：取AC中点O,连接P0,B0, 因为PC=PA,点O为AC的中点，所以POLAC,…2分 在R△PCA,R△BCA中，PO=BO=AC=5 2 则有PO2+BO2=PB2,故PO⊥OB,… …3分 又因为PO⊥AC,AC∩OB=O,ACC平面ABC,OBC平面ABC, 所以PO⊥平面ABC,… …5分 又因为POC平面PAC,所以平面AC⊥平面ABC.…6分 (2)解：以由(1)知，OB,OA,OP两两垂直，以点0为坐标原点，分别以OB, OA,OP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.…7分 则5.a0,.C050.P0.0,5.A0,50,设DXxn,自P=3AD. 2 得0230G,0,解得D052 36 …8分 2’2 设平面PC8的法向量mMD,PC0-号，-，PB=0-V 2, 2 由 2-23=0 …9分 √2 ，【>x—O1—2a=○ 设X=1,则有为=-1，名=1，故=(1，-1,1)…10分 同理可求出平面DCB的法向量2=(1，-1,5)，…12分 设平面DCB与平面PCB夹角为O, 则cosB=|cos<m1,n2>= 1×1+(-1)×(-1)+1×5 …13分 VP+←1)2+1下×VP+(-1)2+5 …14分 所以平面DCB与平面PCB夹角的余弦值)· …15分 3 17.解：(1)由题知P(X1=3)= 8 …2分 339 故PX2=3)=P(X1=3)P(X,=3引X=3)=8X864 ……5分 （2)）P心X=-由题意可知X,可为345， …6分 P,=3)=PX=3)-PX,=3到X,=3)=8Xg64 339 …8分 P(X2=4)=P(X1=3)P(X2=4|X=3)+P(X1=4)P(X2=4|X1=4) -3×5+5×435 …1分 888864 5420 P(X2=5)=P(X1=4)P(X2=5|X1=4)=。× …13分 8864 64+4x35 故E(X)=3x 5x 20267 …15分 6464 18.解：(1)则由准线方程为y=-知，-卫= 1 22 得卫=1…2分 故抛物线的方程为x2=2y …4分 (2)设D点的坐标为(a,b),记两切点A,B的坐标为(x,y1),(x2,y2),易知抛物线的切 线斜率必存在，故设以A为切点的抛物线的切线方程为y-y=k(x-x)，代入 x2=2y得x2-2kx-2(y-kx)=0,由△=0知4k2+8(y-kx)=0, 号代人得飞2+X=0，放k=X，则该切线方 y=Xx+%-X=xx+y-2y1,故DA的方程为xx=y+y,①，…7分 同理DB的方程为x,x=y+y,② 而点D的坐标(a,b)同时满足①②， aX,=b+y1,ax2=b+y2,故A,B的坐标均满足方程ax=b+y, 故y=Qx-b就是直线AB的方程。…9分 直线D0与AB的斜率分别为P与a,由D0LAB知ba=-1,即b=-1 b 即为y=x+1,故AB与y轴的交点是定点(0，I) …1分 (3)法：因为b=-1,故直线D0的斜率k=1,直线DN的斜率k,= 2 …13分 a -a MN 设∠ODN=a则a为锐角，且当a=0, =0, …14分 DM 12 MN 当a≠0时 aa lal DM 1+kk2 a2+222a4 …16分 综上，当a=√2时，此时 MN …17分 DM 的最大值为V2 a2+2 法二：D(a,-I)到直线AB:y=ax+1的距离为DM= Va2+1 N(0,1),故DN=√a2+4, …13分 又MW=DW2-DM2,从而得MN DN2-DM2 DN2 -1 DM2 DM DN2 a2+4 (a2+4)a2+1)_(a2+4)(a2+1)_(a2+2+2)(a2+2-1) DM2T (a2+2)2 (a2+2)2 (a2+2)2 (a2+2)2 a2+1 =(a2+2)2+(a2+2)-2 2 1 +1 …15分 (a2+29 a2+27a2+2 1(。1 令m=a+22] ∈0， 则DW2 =-2m2+m+1=-2(m- DM2 +9s9 48-8 当m=,即a=士反取最大值，此时 4 MN的最大值为 .…17分 D 4 19.解：(1)当a=e时，有f(x)=x+e1,又f'()=1+e+1>0,故fx)=x+e+l在 R上单调递增，有f(-1)=0,故f(x)有唯一零点-1，…3分 曲线f(x)在(xf(飞》处的切线斜率为f"(-1)=2,则曲线∫()在(o,f(x)处的切线 方程为：y-0=2(x+1),即2x-y+2=0… …5分 (2)(i)对于Va>0,有f'(x)=1+ae>0,故f(x)在R上单调递增， 且f(0)=a>0,6分 区m品0：令@=-。又aa -a,故a>0时， 1+a1+a 有a<0,a单调递减.则o)<h0=0,故+2<0成立，7分 综上，日唯e仙”，使得f化).即对于Va>0,必作在唯零点与a 对应，故=g(a)是函数，… …9分 由题意可知：g(a)+ae8a=0,故有a=-S(a es(a) (其中a>0,g(a)<0),任取 a>a>0,则有8(a)8a) eo下ere, 构造函数u()=X ,当x<0, 4(=1上-x>0,4()递增，从而有g(a)<g(a,) 故函数x=g(a）在(0，十0)上单调递减… …10分 (i由a1=1-eo,得a2=1-ela,又a(（1-a,)=1,故a,e8la)=1, 又g(a)+ae8a=0,故g(a)=-1,4=e4,-1-1 …11分 又8a)+aea=0,故a=-8a,其中a,>0,g(a,)<0,0<e8a)<1…12分 e8(4） d()lega) es(a) 构造函数gx)=(e)2-e-x,则p(x)=2(e*)2-e*-1=(2e+1)(e-1), 当x<0时，有p(x)<0,p(x)递减，故p(x)>p(0)=0, 故有[e8a)-e8a)-g(a,)>0,即a,-a1>0,… …14分 方面有(a-a+1)elo)>0,故n≥2时有， a)ea(a-a e e2 另一方面有，(a,-a1)eo）<a,-a1,故n≥2时有， aQ)ea<a-04a,+4,-a+0.0=4,-a a)eh aetaa 因E有交e-u1e<2-子 等上当02时，有-日交-wc2 …17分2026~2027学年第一学期期中考试 高三数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.满足（≤A三L,2,3)的集合A的个数为 A.2 B.3 C.4 D.8 2.若命题“3r∈R,x2+1≤m”是假命题，则实数m的取值范围为 A.(-o,1) B.(-oo,1] C.[l,+o) D.(1,+o0) 3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体 体积的比为 A号 B c 4.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，这6只蜜蜂飞 出去各自带回了5个伙伴…如果这个过程继续下去，那么第七天所有的蜜蜂归巢后， 蜂巢中共有蜜蜂 A.5只 B.6只 c. 66-1只 D. 55-)只 5 4 5.已知函数fx)=sim(2x+巧+mcos(2x+ (m>0)的最大值为2。下列区间中，函数 f(x)单调递增的区间是 A.0 B.,孕 D. 6.在△ABC中，若A:B:C=3:4:5,则B.C丽 的值为 A.1+V5 B.1+V5 c.2+v5 2+5 6 3 6 D. S数学试题第1页共4页 7.在△ABC中，若sinB=2 sin AcosC,cosB=2 cos Asin C,则C= A君 c晋 8.已知数列a,》满足a=2,n+1。 an<an1<2a+1,Sn是数列{an}的前n项和.若 n Sm=2026,则正整数m的所有可能取值的个数为 A.34 B.35 C.36 D.37 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.设，B为两个平面，则“α∥B”的充分条件是 A.B与平面Y都平行 B.x,B与平面Y都垂直 C.a内有两条相交直线与B平行 D.α内有三个不共线的点到B的距离相等 10.若{an)为等差数列，bn}是公比为2的等比数列，a=b2=a2+b,a+b=11,则 A.a=n+1 B.b=2 C.数列{a。+b,}的前n项和为2++-2 2 D.数列(anbn)的前n项和为(n-1D2*l+2 Ⅱ.设函数f的定义域为R,对于任意xy都有f)+f0)=2f(/2,且 f()=-1,则 A.f(0)=0 B.函数f(x)为偶函数 C.函数f()的图象关于点（与，0）对称 D.函数∫)的图象关于直线x=对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.设m为实数，复数a1=m+2i,22=2+i,若乙·22为纯虚数，则m的值为 13.已知函数f(x)=1g(4x2-8a:+3k2)在区间(-o,-1)上单调递减，则实数k的取值范围 为 14.已知函数f(x)=e*sinx+ax在定义域(0,2)内的极小值与极大值恰好各有一个，则实 数a的取值范围为 S数学试题第2页共4页 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，BC=2,AC=4,B-A=2 (1)求tanA; (2)求AB. 16.(15分) 在三棱锥P-ABC中，AB=BC=PC=PB=PA=1,AC=N2. (1)证明：平面PAC⊥平面ABC: (2)若AP=3AD,求平面DCB与平面PCB夹角的余弦值， B 17.(15分) 一个袋中有除颜色外都相同的3个白球和5个黑球.从中任取一球，如果取出白球， 则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中，在n次 这样的操作后，记袋中白球的个数为X。· (1)求P(X2=3).: (2)求数学期望E(X2). S数学试题第3页共4页 18.(17分) 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-】,过不在y轴上的动点D作抛物 线C的两条切线，切点分别为A,B,且AB⊥DO(O为原点). (1)求抛物线C的方程： (2)证明：直线AB过定点： (3)设直线B与直线D0,y轴的交点分别为M,N,求M的最大值. IDMI 19.(17分) 已知函数f(x)=x+ae, (1)当a=e时，求f(x)的零点x和曲线f(x)在(x,f(x)》处的切线方程： (2)给定数集A=(0,+o),任给a∈A,对应关系8使函数f(x)的零点x与a对应. (i)证明：x,=g(a)是函数，并讨论该函数的单调性； (i)若正项数列{a}满足a1-a)=1,a1=1-ea), 证明：当n≥2时，1-日+位<立4-4e40<2-名+号nullnull