精品解析：江苏省连云港市2025-2026学年高三上学期期中调研考试数学试题

2025~2026学年第一学期期中调研考试 高三数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法运算，再结合虚部定义判断. 【详解】因为复数，则，则的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合间关系列式计算再分类讨论结合已知求参. 【详解】因为集合，， 又因为， 当即时，，不符合题意； 当即时，，符合题意； 则. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合充分条件和必要条件的定义即可分析判断． 【详解】假设，，有，即充分性不成立； 若，则有且，即必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，即可结合判别式求解. 【详解】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得, 故选：C 5. 函数的图象的对称轴方程为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称轴方程，结合对数函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知：图象的对称轴，就是函数的图象的对称轴， 所以对称轴方程为，解得， 故选：B 6. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过角的拆分和三角恒等变换即可推导得到结果． 【详解】由，，将其代入， 得， 展开得， 整理得，又，，， 所以，两边除以 ， 得，解得． 故选：D． 7. 已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据为奇函数，为偶函数，分别得，，联立求得的表达式，再进行求导即可求解． 【详解】是奇函数，所以， 又由，得①， 因为是偶函数，所以， 又由，得②， 联立①②可解得， 所以，令，解得或， 当时，，且，故，单调递增； 当时，，故，单调递减； 因此，在处取得极大值，也是最大值， ． 故选：D． 8. 已知一个红球和三个半径为3的白球，这四个球两两外切，且它们都内切于一个半径为7的黑球，则红球的表面积可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用大球与四个小球内切，结合半径相等列式即可求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 设三个半径为3的白球的球心分别为，设红球半径为，球心为， 连接， 则在平面上的射影为底面正三角形的外心， 可得， 三棱锥为正三棱锥，侧棱， 再设大球的球心为，由对称性可得，在线段上， 要使大球与四个小球都内切， 则，， 又，，解得， 则红球的表面积． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，为两条异面直线，，为两个平面，，，，则直线（ ） A. 可以与，都垂直 B. 至少与，中一条相交 C. 至多与，中一条相交 D. 至少与，中一条平行 【答案】AB 【解析】 【分析】可以通过举反例或反证法判断各个选项正误. 【详解】因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面. 若l与a、b都不相交，则，与a、b异面矛盾，所以至少与，中一条相交故B对，C、D错； 当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，直线可以与，都垂直，故A对.    故选：AB. 10. 在中，为的中点，为的中点，若，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的数量关系计算判断A，应用平面向量数量积公式及运算律计算判断B，根据面积公式得出，再计算数量积公可判断C，先应用数量积运算律计算，最后应用基本不等式得出最小值判断D. 【详解】在中，为的中点，为的中点， 所以，A选项正确； ，B选项错误； 因为，又因为的面积为，则， 所以，C选项正确； ， 当且仅当时取的最小值为. 故选：AC. 11. 已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ ） A. B. 是极大值点 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，根据与函数图像交点情况，即可根据极值点的定义求解B，举反例即可求解A，根据的单调性即可求解C，根据函数的单调性即可求解D. 【详解】的极值点为在上的变号零点. 即为函数与函数图像在交点的横坐标. 又注意到时，，时，， ，时，. 据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示. 对于A，由图像可知，则，故A错误； 对于B，注意到时，，，. 结合图像可知当 当是函数的极大值点，是函数的极小值点，故B正确， 对于C, 表示两点与间距离，由图像可知， 随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减. 故，化简可得 ，故C正确； 对于D，由于， 故因此， 且，故， 由于为单调递减函数，为单调递增函数， 结合为单调递增函数， 因此为单调递增函数，由于， 可得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校报告厅第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则这个报告厅共有________个座位. 【答案】820 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式计算以及求和公式即可求解. 【详解】根据题意可知：报告厅的座位个数成等差数列，且， 故，故， 所以座位的个数为， 故答案为：820 13. 设，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】应用二倍角公式及同角三角函数关系计算化简，再结合同角三角函数关系求得，最后应用二倍角正切公式计算求解. 【详解】 ， 又因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或不合题意，所以， 所以. 故答案为：. 14. 若函数在区间上有零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，参数分离得在上有解，再根据函数单调性求解即可． 【详解】函数在区间上有零点， 即在上有解， 又在单调递增， 所以在单调递增， 又时，，且， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 由，得. 所以. 由于，， 所以. 【解析】 【分析】（1）应用结合等比数列定义计算求解； （2）先应用对数运算计算，再应用裂项相消法计算证明不等式. 【小问1详解】 由得，，两式相减得. 因为数列是等比数列，所以. 当时，，则，所以. 综上. 【小问2详解】 略 16. 在中，，，. （1）求； （2）求的角平分线的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式以及正弦定理可得，即可求解， （2）利用余弦定理可求解，进而利用等面积法即可求解. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理得，即. 因为，所以， 又，故. 【小问2详解】 在中，由余弦定理，， 得，解得（舍去负值）， 所以. 在中，， 则有 即，解得. 17. 已知多面体的底面是正方形，底面，，. （1）证明：平面平面； （2）设. （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若二面角的大小为，求的值. 【答案】（1） 底面为正方形，得. 因为底面，面，得. 又，平面，平面，得平面， 由平面，所以平面平面； （2）（i）；（ii）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意证明平面即可求解； （2）（i）以为坐标原点建立空间直角坐标系，再由线面夹角的向量求解方式求解即可； （ii）由二面角的向量求法，求得，再由二面角为代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由得，，，，， （i）当时，，，，， 设平面的法向量为， 由得 不妨取，则，从而平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. （ii）由，得，， 由（1）知，. 设平面的法向量为， 由得，不妨取， 则，， 所以平面的一个法向量为. 则， 又因为二面角的大小为135°，所以， 化简得， 得或. 18. 已知椭圆：的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值； （3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值. 【答案】（1） （2） 当直线或其中一条斜率不存在时，. 当直线，斜率存在且均不为0时，设直线：，， 由得， 所以. 同理可得，所以. 综上，. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意列式求，进而可得椭圆的方程. （2）分两种情况：直线或其中一条斜率不存在时及直线，斜率存在且均不为0时，直线的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程，由韦达定理计算，即可证明； （3）解法一：设点及直线代入计算得出轨迹方程，即可得出弦长最值；解法二：设点代入得出，再应用两点间距离公式结合基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意得解得 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解法一： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则代入中得：. 设的中点为，因为，所以 所以，即. 所以. 解法二： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则代入中得：. 设原点到直线，的距离分别为，，则. . 所以，当且仅当时取得等号. 即的最大值为. 19. 已知函数，直线：. （1）若直线与曲线相切，求实数的值； （2）证明：对于，，使得当时，直线恒在曲线上方； （3）若直线与曲线有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，证明：. 【答案】（1）或. （2） 由得，当，递减，有， 当，递增，有， 当，递减，有. 若，取，当时，结合函数单调性可知 若，取，下面证明不等式， 先证明如下不等式：当，有， 令，，当，递减，当，递增， 有，即， 变形得：，即， 故当时，结合函数单调性可知. 综上，结论成立. （3） 由题意及函数的单调性可知：，满足 由②③可得 作差得，故有 下证不等式成立，即证， 令，只需证时，成立， 即证时，， 令，，在递减， 故， 故， 则. 故要证，只需证，即证， 又因为，，则， 所以，故只需证， 令，设函数，，， 所以在上递增，在上递减. 所以，故命题得证. 【解析】 【分析】（1）先设切点，再求出导函数得出切线斜率计算求点即可求参； （2）把恒成立问题转化为最值关系，分和计算证明； （3）根据交点列式再取对数构造函数，最后应用导函数 得出函数单调性计算证明即可. 【小问1详解】 设直线与曲线相切于点，， 令，得或2. 故切点为或，切线方程为或，即或. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期中调研考试 高三数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象的对称轴方程为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个红球和三个半径为3的白球，这四个球两两外切，且它们都内切于一个半径为7的黑球，则红球的表面积可以为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，为两条异面直线，，为两个平面，，，，则直线（ ） A. 可以与，都垂直 B. 至少与，中一条相交 C. 至多与，中一条相交 D. 至少与，中一条平行 10. 在中，为的中点，为的中点，若，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 11. 已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ ） A. B. 是极大值点 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校报告厅第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则这个报告厅共有________个座位. 13. 设，且，则________. 14. 若函数在区间上有零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：. 16. 在中，，，. （1）求； （2）求的角平分线的长. 17. 已知多面体的底面是正方形，底面，，. （1）证明：平面平面； （2）设. （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若二面角的大小为，求的值. 18. 已知椭圆：的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值； （3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值. 19. 已知函数，直线：. （1）若直线与曲线相切，求实数的值； （2）证明：对于，，使得当时，直线恒在曲线上方； （3）若直线与曲线有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $