精品解析：天津市耀华中学2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

八年级数学学科 一．选择题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，判断各选项汉字是否关于某条直线对称． 【详解】解：∵“丰”字沿竖直中线折叠，左右两部分能够完全重合，∴“丰”字是轴对称图形，A选项符合题意， ∵“衣”、“足”、“食”字找不到对称轴，折叠后无法重合，∴它们不是轴对称图形，B、C、D选项不符合题意． 2. 如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小天在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B之间的距离可能是（ ） A. 4米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，正确理解题意是解题的关键． 连接，根据三角形的三边关系，可得到的取值范围即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 根据三角形三边关系，可得， 解得， 综上所述，A选项、C选项、D选项错误，不符合题意，选项B正确，符合题意． 故选：B． 3. 已知点关于x轴对称，点关于y轴对称，若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题关键是掌握坐标点的特征：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数．利用关于坐标轴对称的点的坐标特征求解，即可得到答案． 【详解】解：点A与点B关于x轴对称，且点A的坐标为， ， 点B与点C关于y轴对称， ， 故选D． 4. 如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义即可得． 【详解】是的外角，且，， ， 又是的角平分线， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握理解三角形的外角性质是解题关键． 5. 如图，已知，且点D恰好在的边上，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．根据全等三角形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得到，继而得到，从而得解； 【详解】∵ ∴，， ， ∴是等腰三角形， ∴ ∴， 故正确的为：A，B，C，不正确的为D 故选：D 6. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上任意一点，若要使的值最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查坐标与图形的性质、轴对称-最短路线的问题等知识，作点A关于原点O的对称点C，连接交x轴于点E，连接，作轴于点F，因为，，所以，，可证明，得，则，当点P与点E重合时，则，此时的值最小，所以要使的值最小，则点P的坐标为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点A关于原点O的对称点C，连接交x轴于点E，连接，作轴于点F，则， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵x轴垂直平分，且点E在x轴上， ∴， ∴当点P与点E重合时，则，此时的值最小， ∴要使的值最小，则点P的坐标为， 故选：C． 8. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】区分两类幂运算的指数处理方式，逐一计算验证选项. 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 9. 如图，，，垂足分别为C，D，添加下列条件中的一个后，能判定与全等的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解． 【详解】解：∵， ∴①，可用判定与全等； ②，可用判定与全等即与全等； ③，可用判定与全等； ④，可用判定与全等． 故选：D． 10. 可以写成（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，直接利用同底数幂的乘法的逆运算直接得出答案． 【详解】解：， 故选：C． 11. 如图，在中，，，，直线，分别是，的垂直平分线，D，E分别是，上的动点（点D与点E不重合，且点A，D，E不在同一直线上），以点A，D，E为顶点的三角形的周长的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段公理等知识，连接，，线段垂直平分线的性质得出，，则以点A，D，E为顶点的三角形的周长为，由线段公理知，故当B、D、E、C四点共线，即D、E在时，取最小值为，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵直线，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴以点A，D，E为顶点的三角形的周长为 ， ∵， ∴当B、D、E、C四点共线，即D、E在时，取最小值为， ∴以点A，D，E为顶点的三角形的周长的最小值为7， 故选：B． 12. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与边相交于点．若，为边上的动点，连接，，有下列结论： ①； ②； ③当取得最小值时，． 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结论①通过尺规作图得，用证，得，由同位角相等证；结论②由，直接得，再根据，等边对等角得，等量代换即可得；结论③利用角平分线性质()和勾股定理求，再通过证得，最后用面积公式比较与的关系即可． 【详解】解：①∵以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点； ∴ ∵以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点； ∴ ∵以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点； ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴(同位角相等，两直线平行)，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故②正确； ③当时，取得最小值(因为垂线段最短)， ∵是角平分线，，， ∴(角平分线上的点到角两边的距离相等) ， 在中，根据勾股定理， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即，故③正确． 故正确结论：①②③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查尺规作图的性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义以及三角形面积公式来逐一分析每个结论． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 13. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 14. 如图，在中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为________°． 【答案】110 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，根据三角形的性质得和，结合题意得和，利用三角形外角和性质得即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：110． 15. 如图，等边中，为中点，，，则线段的长度为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含的直角三角形，三角形内角和定理等知识．明确线段之间的数量关系是解题的关键． 由等边，可得，，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 故答案为：24． 16. 如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，分别平分的外角，且，可得，根据等角对等边得出，根据即可求得． 【详解】解：∵分别平分的外角， ， ， ∴， ∴，， ， ， 故答案为：3． 17. 在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两个部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立平面直角坐标系． （1）矩形的重心的坐标为______，矩形的重心的坐标为_____； （2）此“”形平面组合图形的重心坐标为_____． 【答案】 ①. ②. ③. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了图形与坐标，中点坐标公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，，，可得，，，，，，然后通过中点公式即可求解； （）先求出，，然后代入，即可求解． 【详解】解：（）∵，，，， ∴，，，，，， ∵，分别是矩形，矩形重心， ∴，，即，， 故答案为：，， （），， 由（）得：，， ∴，，，， ∴，， ∴此“”形平面组合图形的重心坐标为， 故答案为：． 18. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1）_____ （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明______． 【答案】 ①. ②. 取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及用轴对称，两点之间线段最短． （1）利用等腰直角三角形的性质，即可求出的度数； （2）取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点和即为所求， 方法：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求， 故答案为：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 三．解答题（本大题共7小题，共46分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 20. 如图，平分，，点E在上，求证：． 【答案】 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再利用证明得到，再由平角的定义得到，据此可证明． 【详解】略 21. 如图，E是等边三角形的边上一点，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】利用“”证明，再推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵E为等边的边上一点， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键． 22. 如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵D为边的中点， ∴， ∵， ，， ； （2） 证明：由（1）可得：， ， 又， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由线段中点的定义可得，由两直线平行内错角相等可得，，然后利用即可得出结论； （2）由（1）可得，于是可得，由已知条件可得，然后利用可证得，于是结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，中，平分，且平分，于，于． （1）说明的理由； （2）如果，，求、的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）， 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）证明，可得，设，可得方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴，． 24. 如图，点在线段上，，，，平分交于点． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ． ； （2）1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）根据三角形外角的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义和三线合一的性质，得到，，再结合30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． ． 平分， ． 由（1）得． ， ． ． ， ． 25. 在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，点，点，点为轴上一点，坐标为，点为平面直角坐标系内一点，满足，且． （1）如图①，作轴于点，求证：； （2）如图②，点在的左侧，连接交轴于点，求点的坐标（用含有m的式子表示）； （3）如图③，点在点和之间，过点作交于点，过点作交轴于点，连接，当点在线段上运动时，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） （3） ，理由如下： ∵，， ∴， 如图：过A作，交于G， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点坐标等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先用证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由直角坐标系可得，作轴于点，同（1）可证：，则，进而得到，即；再运用待定系数法可得直线的方程为，进而确定点M坐标； （3）过A作，交于G，可证可得；再证明可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点，点， ∴， 如图：作轴于点， 同（1）可证：， ∴， ∴， ∴， 设直线的方程为， 则，解得：， ∴直线的方程为， 当时，，即． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科 一．选择题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小天在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B之间的距离可能是（ ） A. 4米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 3. 已知点关于x轴对称，点关于y轴对称，若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，且点D恰好在的边上，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上任意一点，若要使的值最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，垂足分别为C，D，添加下列条件中的一个后，能判定与全等的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 可以写成（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，直线，分别是，的垂直平分线，D，E分别是，上的动点（点D与点E不重合，且点A，D，E不在同一直线上），以点A，D，E为顶点的三角形的周长的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 12 12. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与边相交于点．若，为边上的动点，连接，，有下列结论： ①； ②； ③当取得最小值时，． 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 13. 如图，，若，，则的度数为______． 14. 如图，在中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为________°． 15. 如图，等边中，为中点，，，则线段的长度为______． 16. 如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则的长为______． 17. 在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两个部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立平面直角坐标系． （1）矩形的重心的坐标为______，矩形的重心的坐标为_____； （2）此“”形平面组合图形的重心坐标为_____． 18. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1）_____ （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明______． 三．解答题（本大题共7小题，共46分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，平分，，点E在上，求证：． 21. 如图，E是等边三角形的边上一点，，，求的度数． 22. 如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求证：． 23. 如图，中，平分，且平分，于，于． （1）说明的理由； （2）如果，，求、的长． 24. 如图，点在线段上，，，，平分交于点． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 25. 在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，点，点，点为轴上一点，坐标为，点为平面直角坐标系内一点，满足，且． （1）如图①，作轴于点，求证：； （2）如图②，点在的左侧，连接交轴于点，求点的坐标（用含有m的式子表示）； （3）如图③，点在点和之间，过点作交于点，过点作交轴于点，连接，当点在线段上运动时，写出，，之间的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $