精品解析：福建厦门市海沧区北附学校2026—2027学年第一学期11月学业诊断九年级数学试题

厦门市海沧区北附学校 2026—2027学年第一学期11月学业诊断 九年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点A在反比例函数的图象上，则点A的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制)选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ） A. 170分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 7. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 8. 函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 因式分解：______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 11. 已知是方程的根，则m的值为______． 12. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为______． 14. 若点和点都在函数的图象上，且，则______．（填“＞”，“＜”或者“＝”） 15. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 16. 在平面直角坐标系中，点M的坐标为，其中b为常数且．若，且，则m的取值范围是______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，四边形是平行四边形，点在对角线上，分别平分和，证明． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度 40 42 45 55 70 80 100 视野角度f（度） 100 95 89 73 57 50 40 （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出一个能近似体现视野角度f与行车速度v之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 21. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 22. “运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 23. 在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）与交于点Q，连接，若，请探究与的数量关系． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点， （1）求的值； （2）已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 25. 已知抛物线，与x轴交于，两点， （1）求抛物线的解析式； （2）若点C和D都在抛物线上，且点C的横坐标是5，点D在第二象限，当时，求点D的坐标； （3）直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，若四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市海沧区北附学校 2026—2027学年第一学期11月学业诊断 九年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解： A、该图形绕中心旋转后，内部箭头方向发生改变，不能与原图形重合，故不是中心对称图形； B、该图形是轴对称图形，绕中心旋转后不能与原图形重合，故不是中心对称图形； C、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，故是中心对称图形； D、该图形是轴对称图形，绕中心旋转后不能与原图形重合，故不是中心对称图形． 2. 若点A在反比例函数的图象上，则点A的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由反比例函数得，即其图象上任意点的横纵坐标乘积为， 只有选项B中，，符合条件． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，． ∴对称轴为． 4. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得，旋转角为和． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转至，点C的对应点是E， ∴旋转角为和． 故选：C． 5. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 6. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制)选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ） A. 170分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：（分）； 故选B． 7. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键． 8. 函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．直接利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 11. 已知是方程的根，则m的值为______． 【答案】 2 【解析】 【分析】将已知的方程根代入原方程，可得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， 解得． 12. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【解析】 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律即可求解． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， 所得抛物线对应的函数表达式为， 即． 14. 若点和点都在函数的图象上，且，则______．（填“＞”，“＜”或者“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，结合两点横坐标的正负确定对应纵坐标的符号，即可比较大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 因此函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限， ∵， ∴点位于第二象限， ∴， ∵， ∴点位于第四象限， ∴， ∴． 15. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】设的长为，根据线段的和差关系表示出的长，再根据已知比例式列出关于的一元二次方程，解方程并根据线段长度为正数取舍，即可作答． 【详解】设， ，点在线段上， ， ∵． ， ， 整理得， ∴， ∴， ∴（舍去）， 的长为． 16. 在平面直角坐标系中，点M的坐标为，其中b为常数且．若，且，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令二次函数，则图象开口向上，与轴的交点为和，再结合，得到当时，或，最后比较和的大小，即可确定m的取值范围． 【详解】解：， ， 令，则， 解得：，， 令二次函数， 图象开口向上，与轴的交点为和， ，， ， ，即， 当时，或， ， ， ， ， 与无交集，舍去， ． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：移项，得 配方，得 即 开平方，得 ∴，； 【小问2详解】 解：因式分解，得 ∴或 ∴，． 18. 如图，四边形是平行四边形，点在对角线上，分别平分和，证明． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ． ． 分别平分和， ∴，． ， ． ， ． ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由分别平分和，可得，再证明即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 20. “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度 40 42 45 55 70 80 100 视野角度f（度） 100 95 89 73 57 50 40 （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出一个能近似体现视野角度f与行车速度v之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】（1） （2） （3）车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【解析】 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； 【小问3详解】 解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 21. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每月产量的增长率为 . （2）应降价元，最大利润为 元. 【解析】 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【小问1详解】 解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得  ,  ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； 【小问2详解】 解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴，  ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 22. “运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 （2）拱顶到水面的距离为 【解析】 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【小问1详解】 解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 23. 在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）与交于点Q，连接，若，请探究与的数量关系． 【答案】（1） 如图即为所求； （2）， 在矩形中，                       绕点B顺时针旋转得到， 点A的对应点F在线段上， AI ∵ 在中， 又与交于点Q， 又                                                                 是等边三角形．                                                           在中，                           【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点； （1）利用作全等三角形即可； （2）根据矩形性质得，，根据旋转性质得，根据全等得在中，根据直角三角形的性质得 ，即可得到，再根据 得出，，，证明 是等边三角形，得出，在中，根据得出，即可得，即可求解； 【小问1详解】 如图即为所求； 以为圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，即为所求； 故 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点， （1）求的值； （2）已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：∵点在函数的图象上， ． 由①知，点，关于直线对称， 则即． ． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最小值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把代入通过分解因式和约分后即可证得结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的对称轴为． ∵点，在该函数的图象上， ， ． 【小问2详解】 ①解：由（1）可得，，抛物线的对称轴为直线， ∴该函数的表达式为， 当时，，即函数图象的顶点坐标为． ∵函数的最小值为， 且， 解得（舍去）． ∴该二次函数的表达式为． ②略 25. 已知抛物线，与x轴交于，两点， （1）求抛物线的解析式； （2）若点C和D都在抛物线上，且点C的横坐标是5，点D在第二象限，当时，求点D的坐标； （3）直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，若四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为． （2）点的坐标为． （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求得系数a、b即可； （2）先求出，作轴，交于E，过点C作轴，交于点F，则，根据平行线的性质得到，证明，求出，进而求出直线的解析式，联立抛物线求解即可； （3）联立直线与抛物线的方程得到，设，，由根与系数的关系得，，根据平行四边形的性质可知两对角线的中点重合，设，，得到，，将代入抛物线解析式求出，进而求出并判断此时是否符合要求即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴将两点坐标代入解析式得： 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点C在抛物线上，横坐标为5， ∴， 即． 如图，作轴，交于E，过点C作轴，交于点F，则， ∴，即 ∵轴，即， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， 即直线的解析式为， ∵点D在抛物线上， ∴联立得， 解得：（舍去）， ∴ 即点的坐标为； 【小问3详解】 解：联立直线与抛物线的方程，得： 整理得． 设，， 由根与系数的关系得，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即两对角线的中点重合． 设，， 根据中点坐标公式：，， ∴，． ∵点P在抛物线上， ∴将代入抛物线解析式得：． 将代入，得：， 解得． 当时，， ∵， 即小于直线上对应点的纵坐标， ∴点P在直线下方，符合题意． ∴点Q的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $