精品解析：福建省厦门市海沧区北附学校教育集团2025-2026学年上学期阶段性学业诊断九年级数学试题

厦门市海沧区北附学校教育集团 2025-2026学年第一学期阶段性学业诊断 九年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 2. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答． 【详解】解：是中心对称图形，但不是轴对称图形 故选：B 3. 把抛物线向上平移3个单位后，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．根据二次函数图象的平移的规律“上加下减，左加右减”，即可求解． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是． 故选：C． 4. 若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 5. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的一元二次方程的实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的对称轴，关键是掌握二次函数的对称性． 关于的一元二次方程的两实数根，就是二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：二次函数的解析式是， 该抛物线的对称轴是， 二次函数的图象与轴的一个交点为， 根据抛物线的对称性可知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 关于的一元二次方程的两实数根分别是，． 故选：A． 6. 关于二次函数的最值，下列说法正确的是（ ） A. 最大值为1 B. 最小值为 C. 最大值为2 D. 最小值为2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，明确二次函数的性质及二次函数的顶点式是解题的关键． 由二次函数的性质及函数的顶点式，可得顶点坐标，进而根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：二次函数， 其图象开口向上，其顶点为． 二次函数的最小值为． 故选：D． 7. 在我国，普遍将生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四类，其中，有害垃圾是指存有对人体健康有害的重金属、有毒的物质或者对环境造成现实危害或者潜在危害的废弃物它包括废电池、废药品、过期化妆品等．它的图标如图1所示，在设计该图案时可以由图2中的基本图案以某点为旋转中心，顺时针旋转，依次旋转若干次，由基本图案和每次旋转后的图形组成，则旋转角的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用旋转对称图形的性质，解题的关键是观察图形，得出旋转度数． 根据图形可得这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次得到，即可求解． 【详解】解：根据题意，顺时针旋转角度，依次旋转四次而组成， 每次旋转的度数为，即旋转角是， 故选：B． 8. 某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行配方是解题关键． 由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当取得最大值时，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 【详解】解：∵ ， ∴ 当时，取得最大值，飞机停止滑行， ∴ 滑行时长为， 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点O，，若，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得，A、B、C均在坐标轴上，再由直角三角形的性质可得，然后由勾股定理可得到的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴轴，， 根据菱形的对称性可得：当点D落在x轴正半轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：D 10. 已知抛物线上有三点，，，若，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元一次不等式的应用，整式加减的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及求解不等式组是解题的关键．先将，，代入，得到，，，然后根据推得，，可得，，再用作差法证明，，即得答案． 【详解】解：抛物线上有三点，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 同理， ， ． 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 12. 一元二次方程的解是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程．用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 或， ， 故答案为：，． 13. 如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理． 连接，先根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵于点C，， ∴， 在中： ∴． ∴的半径长为5． 故答案为：5 14. 如图，在中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝30°，将绕点A逆时针旋转60°得到，连接BC1，则BC1的长为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据旋转的定义和性质可得，从而可得，再利用勾股定理即可得． 【详解】由旋转的定义和性质得：， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 15. 在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程的实数根的近似解，观察函数的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点在x轴上方）．因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为_____ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】仿照题干给定的方法，利用图象法进行求解即可. 【详解】解：观察函数的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0（点在x轴下方），当自变量为时，函数值大于0（点在x轴上方）． ∵抛物线是一条连续不断的曲线， ∴抛物线在这一段经过x轴， 即当x取、0之间的某个值时，函数值为0，即方程在、0之间有根． 我们取和0的平均数，计算可知，对应的数值为，与自变量为的函数值异号， ∴这个根在与之间； 再取与的平均数，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量的函数值异号， ∴这个根在与之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于． ∴方程的小于0的近似解可以为. 16. 如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有______．（只填序号） 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；根据函数图象可得时，；由函数的图象可知，，再由可知；求得函数解析式即可解答；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意； ②当时，， 由图象可得，故②正确，符合题意； ③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ，，， 故，③错误，不符合题意； ④根据题意可设二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， ， 当时，， 即抛物线顶点，故④错误，不符合题意； ⑤根据，可设函数解析式为， 将点代入， 可得 ， ， 如图，过点作轴交于点， 设直线，过点，， 则 解得：， 直线 ， 直线． 由条件可知：， ， ， 当时，的面积最大， 故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）先化简，进行乘法运算，再进行计算即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， 解得，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先算括号里，再算分式的乘除法，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 已知二次函数． （1）在坐标系（如图）中画出该二次函数的图象； （2）已知和点，判断点A和点B是否在抛物线上，简要说明理由． 【答案】（1） 描点作图，如下： （2）在抛物线上，不在抛物线上，理由： 把代入，可得， 在抛物线上， 把代入，可得， 不在抛物线上． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练画出二次函数的图象是解题的关键． （1）描点作图即可； （2）把点的横坐标代入二次函数解析式，对比纵坐标即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧交于点，再以点为圆心，长为半径画弧与以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，即为所求； （2）根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出，，求出的长即可求解． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ∵中， ∴ ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求实数m的取值范围； （2）如果，是方程的两个实数根，是否存在实数m，满足．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，实数的值为1 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：存在； ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 解得； 由（1）可知：； 故． 22. 材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（a，b为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中a，b，c，d为实数，且，）有如下运算法则： ； ； ． （1）化简直接填空：① ，② ； （2）关于x的一元二次方程有一个根是，其中m，n是实数，求的值． 【答案】（1）5， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，平方差公式，完全平方公式，将方程的解代入原方程，求出，的值是解题的关键． （1）根据运算法则，即可求出化简及； （2）将代入原方程，可得出，进而可得出，，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：； ， 故答案为：5，； 【小问2详解】 解：将代入原方程得：， 整理得：， ，， ，， ． 23. 如图，在矩形中，以为斜边在上方作等腰直角，连接交于点G，将射线绕点E顺时针旋转交于点F，连接． （1）求证：． （2）判断线段之间的数量关系，并说明理由． （3）若，且，直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：∵是以为斜边的等腰直角三角形， ，，， ∵四边形是矩形， ， ， ， ∵将射线绕点E顺时针旋转交于点F， ∴， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下： 将绕点E旋转得到，如图： 则， ∴，， ∴M点在直线上，， 在和中， ， ， ∴， 而， ； （3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质及勾股定理，熟练掌握相关知识和构造辅助线是解决问题的关键． （1）由三角形的内角和定理得知，由旋转得知，进而可得结论； （2）将绕点E旋转得到，证明，得到，等量代换可得结论； （3）连接，证明，得到，从而得到，由可得，，在中，由勾股定理求出，从而得出线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ∴， ， 由题可知，连接，如图： 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 根据勾股定理可得， ． 24. ［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 25. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与、均不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点坐标； （3）如图2，直线，分别与轴交于点，，在点运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）为定值； 【解析】 【分析】解题思路为：（1）代入 、坐标用待定系数法求抛物线解析式； （2）通过角度互余构造相似三角形，结合坐标列方程求 点； （3）设点坐标为，求直线， 与轴交点，利用面积公式计算比值并判断是否为定值． 【小问1详解】 解：因为抛物线经过点和点， 所以， 解得 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时代入得， 故，，， ①过点作的平行线，分别过点 、作直线 的垂线，垂足分别为点、， 依题意得， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，（） ， 解得 ∴； ②作点关于轴的对称点，连接， ∵，， 则直线的解析式为， 由题可知， ∴， 又∵， ∴， 延长，与抛物线相交的另一个点即为点， 则 解得（舍去）， ∴ 所以点的坐标为或 【小问3详解】 由 (1) 可知，，， ∵点是抛物线上的一个动点， 设， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在轴上， ∴， 设直线的解析式为， 则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点在轴上， ∴， ∴，， ∴ ∵,为定值。 【点睛】本题考查二次函数的综合应用（解析式求解、角度关系、面积比值定值问题），解题时利用待定系数法求解析式，通过构造相似三角形处理角度关系，结合函数表达式与直线方程分析面积比值，关键是将几何条件转化为代数关系，易错点是角度转化或直线方程推导错误． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市海沧区北附学校教育集团 2025-2026学年第一学期阶段性学业诊断 九年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 3. 把抛物线向上平移3个单位后，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的一元二次方程的实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 关于二次函数的最值，下列说法正确的是（ ） A. 最大值为1 B. 最小值为 C. 最大值为2 D. 最小值为2 7. 在我国，普遍将生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四类，其中，有害垃圾是指存有对人体健康有害的重金属、有毒的物质或者对环境造成现实危害或者潜在危害的废弃物它包括废电池、废药品、过期化妆品等．它的图标如图1所示，在设计该图案时可以由图2中的基本图案以某点为旋转中心，顺时针旋转，依次旋转若干次，由基本图案和每次旋转后的图形组成，则旋转角的值可能是（ ） A. B. C. D. 8. 某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点O，，若，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线上有三点，，，若，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 一元二次方程的解是____________． 13. 如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________． 14. 如图，在中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝30°，将绕点A逆时针旋转60°得到，连接BC1，则BC1的长为__________ ． 15. 在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程的实数根的近似解，观察函数的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点在x轴上方）．因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为_____ 16. 如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有______．（只填序号） 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知二次函数． （1）在坐标系（如图）中画出该二次函数的图象； （2）已知和点，判断点A和点B是否在抛物线上，简要说明理由． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求实数m的取值范围； （2）如果，是方程的两个实数根，是否存在实数m，满足．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 22. 材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（a，b为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中a，b，c，d为实数，且，）有如下运算法则： ； ； ． （1）化简直接填空：① ，② ； （2）关于x的一元二次方程有一个根是，其中m，n是实数，求的值． 23. 如图，在矩形中，以为斜边在上方作等腰直角，连接交于点G，将射线绕点E顺时针旋转交于点F，连接． （1）求证：． （2）判断线段之间的数量关系，并说明理由． （3）若，且，直接写出线段的长． 24. ［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 25. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与、均不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点坐标； （3）如图2，直线，分别与轴交于点，，在点运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $