内蒙古通辽市第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

内蒙古通辽市通辽一中2025级高二上学期期中考试 数学试题 命题人：姜洪久 审校：数学组 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1．已知点，，直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 2．圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为,则直线与平面所成的角为（　　） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 5．设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．若，则与的夹角是钝角 6．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，在正四面体中，，，分别为，的中点，则（     ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D．在上的投影向量的模为1 10．已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的垂直平分线的方程为 D． 11．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（   ） A．椭圆的焦距为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．（为原点）是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在长方体中，，，则点到平面的距离为________． 13．若直线：与：互相平行，则与之间的距离为 ． 14．已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点的圆的切线方程． 16．(15分）已知圆过， ，且圆心在直线上． （1）求此圆的方程； （2）若点为圆上任意点，求的面积的最大值． 17．(15分）已知点在曲线上，且点到两个点 和的距离之和为． (1)求曲线的方程； (2)若点的坐标为，过点且倾斜角为的直线与曲线交于（异于点）两点，求的面积． 18．(17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PB⊥平面EFD； (2)求平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值； (3)线段PA上是否存在点Q，使得FQ与DB所成角为30°，若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 19．(17分）已知椭圆：（）的焦距和短轴长都为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 数 学 试 卷 第 1 页， 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通辽一中2025级高二上学期期中考试数学试题 参考答案 1．【答案】D 【详解】直线的斜率为. 2．【答案】B 【详解】该圆的半径为. 3．【答案】C 【详解】设直线与平面所成的角为，，又， 4．【答案】D 【详解】由椭圆方程知，，，所以， 的周长为. 5．【答案】B 【详解】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，若，则与的夹角是钝角或者平角，故D错误. 6．【答案】A 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线交于，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以，所以， 设异面直线与所成角为，所以. 7．【答案】A 【详解】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，设直线与半圆相切于点，则，解得（舍去）或，所以， 因为，，所以，因为直线与曲线恰有两个交点， 所以，所以， 8．【答案】C 【详解】设的半焦距为，，则，，，， 由题意可知：，在中，，即，解得， 则，，在中，，即，可得， 所以椭圆C的离心率. 9.【答案】AD 【详解】因 ，分别为，的中点，连接， 则，故A正确； 在正四面体中，，则， 于是 ，则，故B错误； 因， 设异面直线与所成的角为，则，又， 则，故C错误； 在上的投影向量为，则其模为，故D正确. 10．【答案】ABC 【详解】圆心，半径，圆心，半径， 所以，即，故两圆相交，所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，C对. 由到的距离，则，D错； 11．【答案】ABD 【详解】对于A，由题意，，得，，则焦距，A正确； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，，即，C错误． 对于D，设，易知，为上的动点， 则，即，D正确； 12．【答案】 【详解】由题意可得，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 因为，，所以，，，， 设平面的法向量为，，， 则，则，令，则，，则， 因为，则点到平面的距离为. 13．【答案】 【详解】因为直线：，直线与：互相平行， 所以，解得，直线：转化为， 直线：，则与之间的距离为. 14．【答案】 【详解】由题意，设， 则，所以，代入圆的方程， 整理得，即. 15．【答案】(1)相离 (2)和. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， ................... 3分 因为，即，所以直线与圆相离 ...................................... 6分 （2） 若切线斜率不存在，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； ............................................................ 8分 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； ...................................... 12分 综上所述，该圆过点的切线方程为和。 ...................................... 13分 16．【答案】(1) （2） 【详解】（1）易知中点为， ， ∴的垂直平分线方程为，即， 联立，解得． 则， ∴圆的方程为． ............................................................................ 7分 （2） ，即， ............................................................................ 10分 圆心到的距离． ∴ ........................ 15分 17．【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知可得，化简可得， ， 则椭圆方程为； ............................................................................ 6分 （2）设，， 由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， ............................... 10分 则，， 则 ................................ 13分 又点到直线的距离， 所以. ..................................................... 15分 18．【答案】（1）略 (2) (3)存在满足条件的点，为线段上靠近的六等分点（），坐标为. 【详解】(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ∵底面是边长为的正方形，底面，， ∴. ∵是的中点，∴. ∴，， ∴， ∴，即. 又由题知，且，平面， ∴平面 .................................................................................................. 5分 （2）设平面的法向量为， ，， 则，令，得 .................................................... 7分 设平面的法向量为， ，， 则，令，得 ..................................................... 9分 设平面与平面的夹角为， 则 ..................................................... 11分 ∵，∴. 即平面与平面的夹角的正弦值为 ..................................................... 12分 （3）， 设，则，， 由，得，即， 解得，因此， .................................................................... 14分 设在线段上，令， 由，得， ，， 异面直线与所成角为，得， 整理得，解得，符合条件， 故存在满足条件的点，为线段上靠近的六等分点（）， 坐标为 ........................................................................................................ 17分 19．【答案】(1) (2)（ⅰ）直线恒过轴上的定点；（ⅱ） 【详解】（1）由已知，焦距为，得；，得 由=4， 因此椭圆的标准方程为； .................................................... 4分 （2）（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， 联立，化简得， 由韦达定理得，； ..................................................... 7分 直线的斜率，故 ， 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， 因此直线恒过轴上的定点； ..................................................... 12分 （ⅱ）由可知， 的面积； 的面积； 由题意，得，结合，可知 ............................... 15分 将代入韦达定理得， 化简得 解得，即， 因此直线的方程为 ...................................................... 17分 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通辽一中2025级高二上学期期中考试 数学试题答题卡 姓 名 准考证号 条形码粘贴区(居中) 缺考 违纪 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号，姓名及科目，在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。 填涂样例 正确填涂 错误填涂 一、选择题（共11小题，1-8每小题5分，9-11每小题6分，共58分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 二. 填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12、 13、 14、 三. 解答题（共5小题，满分77分） 15.（13分） 16.（15分） 17.（15分） 18. （17分） 19.（17分） 数学答题卡第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $