精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟2026-2027学年高二上学期11月期中检测数学试题

2026-2027学年度第一学期期中检测 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高一年级共有学生600人，其中男生350人、女生250人．为调查学生的视力情况，现采用分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则应抽取的女生人数为（     ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 36 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（ ） A. “摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B. “摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 4. 某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交于两点，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 6. 已知正方体的棱长为1，P为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（P与 A， B 不重合），则面积的最大值是（ ） A. B. 5 C. D. 8. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 湖北省某校高二年级组织了一次开学考试，随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. B. 估计该年级成绩的众数为70 C. 估计该年级80分及以上的学生人数约占40% D. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 10. 如图，在正四面体中，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成的角为 D. 在上的投影向量的模为1 11. 京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一．某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线．其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（），则下列说法正确的是（ ） A. 曲线内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B. 曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C. 若点，在曲线上，且，则面积的最大值为3 D. 若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三个臭皮匠破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，则该填空题被破解的概率为__________． 13. 已知直线与圆：相交于点，，，则_______． 14. 为平面直角坐标系的原点，，，动点满足，且实数满足，动点的轨迹与圆有4个交点时，的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛．在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 （1）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差； （2）如果你作为射击队教练，你会挑选哪一名运动员参加运动会，并说明理由． 16. 2026年10月，珠海市金湾区举办青少年科创节，某校数学建模社团有5名成员，男生3名，记为，，；女生2名，记为，，现从中随机选出2名成员分别担任正队长和副队长（每人被选到的可能性相同） （1）写出该随机试验的样本空间； （2）求选出的2名成员中至少有1名女生的概率； （3）求选出的2名成员性别不同的概率 17. 已知点，，． （1）求的外接圆的方程； （2）若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，求 ①四棱锥的体积； ②直线与平面所成角的正弦值； 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中检测 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高一年级共有学生600人，其中男生350人、女生250人．为调查学生的视力情况，现采用分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则应抽取的女生人数为（     ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 36 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：每个个体被抽到的可能性为， 所以应抽取的女生人数为. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，，且， 则. 3. 袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（ ） A. “摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B. “摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 【答案】A 【解析】 【详解】选项A，因为个球中有个红色球，个黄色球，个白色球， 从中不放回的依次随机摸出个球，它们不会颜色都相同，所以A正确； 选项B，摸出的个球颜色都不相同，则这三个球为红白黄，这个事件为随机事件， 可能发生，所以B错误； 选项C，摸出的个球颜色可以没有红色球，所以C错误； 选项D，摸出的个球颜色可以是个红色球和个黄色球和个白色球，此时两件事情同时发生，所以D错误. 4. 某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设6盒牛奶依次编号为1、2、3、4、5、6，规定1、2为中奖牛奶； 从6盒中随机抽取2盒，所有可能的组合为，，，，，，，，，，，，，，，共有15种抽取方法，其中能中奖的组合为，，，，，，，，，共有9种抽取方法；则能中奖的概率. 5. 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交于两点，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可得，结合已知即可得答案. 【详解】由椭圆的定义，知， 所以，即， 又，所以． 故选：B 6. 已知正方体的棱长为1，P为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的数量积计算即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 所以当时，. 7. 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（P与 A， B 不重合），则面积的最大值是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求解定点坐标，根据两直线垂直可得勾股定理，进而根据基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意可知,直线变形为，故，故， 由于直线与直线互相垂直，所以, 故，因此,当且仅当时取到等号，因此. 8. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，求得，其中，结合即可求解. 【详解】设点，由圆，点和点，为圆上的动点，可得 ，其中， 易知点在圆外，点在圆内，如图所示， 可得， 当且仅当为的延长线与圆的交点时，取得等号， 所以的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 湖北省某校高二年级组织了一次开学考试，随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. B. 估计该年级成绩的众数为70 C. 估计该年级80分及以上的学生人数约占40% D. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用各组频率之和为1可判断A；根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断B；根据频率的计算方法可判断C；根据中位数的估计方法可判断D． 【详解】由频率分布直方图可知，解得，A正确； 由图易知成绩在分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，B错误； 由频率分布直方图可知成绩在分之间和分之间的频率为， 故估计该年级80分及以上的学生人数约占40%，C正确； 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 故该年级学生成绩的中位数位于第三组中，第三组频率为， 故估计该年级学生成绩的中位数约为，D正确； 10. 如图，在正四面体中，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成的角为 D. 在上的投影向量的模为1 【答案】AD 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘计算可判断A项；利用向量数量积的运算律计算判断B项；根据向量夹角的向量公式计算判断C项；利用投影向量的定义计算判断D项. 【详解】因 ，分别为，的中点，连接， 则，故A正确； 在正四面体中，，则， 于是 ，则，故B错误； 因， 设异面直线与所成的角为，则，又，则，故C错误； 在上的投影向量为，则其模为，故D正确. 11. 京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一．某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线．其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（），则下列说法正确的是（ ） A. 曲线内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B. 曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C. 若点，在曲线上，且，则面积的最大值为3 D. 若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定的曲线方程，列出符合要求的整点判断A；利用圆及椭圆性质计算判断B；求出面积最大值判断C；利用余弦定理及椭圆定义，借助基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A，由曲线与，知，， 当时，令，得曲线内部（不含边界）的整数点为，，，，，，，，，，，，有 12 个，A 正确； 对于B，曲线中，当时，，此时曲线上的点到原点的距离为2，椭圆的长短半轴长分别为3，2，该椭圆上的点到原点距离最大值为3，最小值为2，因此曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5，B错误； 对于C，当点在半圆弧上时，； 当点之一在半圆弧上时，不妨令点在半圆弧上，则，； 当点是半椭圆顶点时，； 当点在半椭圆上（不是顶点），设直线，则直线， 设横坐标分别为，由，得， 同理得.， 令， ，因此，C正确； 对于D，点，恰为椭圆的两个焦点，而点在半椭圆上， 则，当点不共线时， 由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号，当点共线时，，D正确. 【点睛】分段曲线问题要分区域拆解图形，分别利用圆、椭圆的几何性质分析距离、整点、面积；椭圆焦点三角形求余弦最值，优先用椭圆定义结合余弦定理、基本不等式消元求范围；原点与曲线上两点构成三角形面积，可联立直线与曲线方程，换元转化为二次函数求值域. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三个臭皮匠破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，则该填空题被破解的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】遇到 “至少一人成功” 的独立概率问题，优先算对立事件（所有人都失败），再用 1 减去该概率，简化计算. 【详解】“该填空题被破解” 的对立事件：三个人全都没破解. 因为三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，， 所以三人都没有破解的概率为, “则该填空题被破解的概率为. 13. 已知直线与圆：相交于点，，，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】由得，圆心，半径.如图， 因为，所以圆心到直线即的距离为. 所以，所以. 14. 为平面直角坐标系的原点，，，动点满足，且实数满足，动点的轨迹与圆有4个交点时，的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据条件写出点的轨迹方程，知其轨迹为椭圆，将该椭圆的标准方程转化为参数方程表示任意一点，根据两点间的距离公式计算最值，并结合图形判断即可； 方法二：联立椭圆与圆方程，此时有上下个交点，半径继续增大，满足题意，有个交点，当半径增大到圆过椭圆右顶点时个交点，半径继续增大，交点个数始终小于个. 【详解】方法一： 设坐标，则，，则. 又因为，所以. 因为的轨迹与圆有个交点， 所以圆与椭圆相交且不能相切， 结合图形可得，需使该圆的半径大于圆心到椭圆上点的最小距离，且小于椭圆右顶点到圆心的距离. 设椭圆上任意一点的坐标为，, 该点到圆心的距离， 因为，所以当时，；当时，. 右顶点到圆心的距离为，所以. 的取值范围为. 方法二：易知圆心在椭圆内部且在轴上，当半径很小时，无交点，半径逐渐增大， 首先与椭圆上下相切.联立椭圆与圆方程得：， ，.此时两者个交点，半径继续增大，两者出现4个交点， 当半径继续增大到圆过椭圆右顶点时，，此时个交点，半径再继续增大，交点个数始终小于个. 综上，的范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛．在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 （1）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差； （2）如果你作为射击队教练，你会挑选哪一名运动员参加运动会，并说明理由． 【答案】（1），，， （2）选择乙参加运动会，理由如下： 由（1）知，，，因为两名运动员射击成绩的平均水平相同，且，则乙的成绩比甲稳定，因此选择乙参加运动会. 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的公式求解即可； （2）比较平均数与方差，平均数相同的情况下选择方差小的. 【小问1详解】 ， ， ， ； 【小问2详解】 选择乙参加运动会，理由略. 16. 2026年10月，珠海市金湾区举办青少年科创节，某校数学建模社团有5名成员，男生3名，记为，，；女生2名，记为，，现从中随机选出2名成员分别担任正队长和副队长（每人被选到的可能性相同） （1）写出该随机试验的样本空间； （2）求选出的2名成员中至少有1名女生的概率； （3）求选出的2名成员性别不同的概率 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 用有序数对表示选出正队长为、副队长为. 样本空间 【小问2详解】 由（1）知， 设“选出的2名成员中至少有1名女生”为事件，则 ,, 所以. 【小问3详解】 设“选出的2名成员性别不同”为事件，则, ，所以. 17. 已知点，，． （1）求的外接圆的方程； （2）若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三个顶点坐标求解系数后化为标准方程； （2）由圆心角为推导圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式列方程求. 【小问1详解】 设外接圆的一般方程为（满足）， 将、、分别代入方程得：，解得：， 因此圆的方程为，配方得标准方程：. 【小问2详解】 由（1）得圆的圆心为，半径. 因为，且，所以圆心到直线的距离. 将直线整理为， 由点到直线距离公式得：， 解得：或. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，求 ①四棱锥的体积； ②直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明：在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且平面，所以平面. （2）①；②； 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得. （2）①由（1）中信息，求出点Q到平面的距离，再求出锥体的体积；②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在四边形中，，则，而， 则梯形的面积，由点Q为棱的中点， 得点Q到平面的距离为，所以四棱锥的体积. ②由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）因为椭圆过点，代入椭圆方程，再结合是椭圆的焦点，即可求解椭圆的标准方程； （2）直线为水平直线时，不存在；当直线不是水平直线时 设直线方程为，，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，则表示出，由于在线段上，，其中，求得，再求出直线的方程； （3）当不是水平直线时，利用韦达定理表示出 ，利用，求出定点为；当是水平直线时，直接验证定点的坐标. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以① 又因为是椭圆的焦点，所以② 由①②，解得，， 所以椭圆的标准方程： 【小问2详解】 直线为水平直线时，三点共线，不符合题意， 设直线方程为， 联立，得， ， 设，，， 则 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. 【小问3详解】 设则 当不是水平直线时， ，得，所以 得对一切恒成立，故， 所以定点为； 当是水平直线时，，，有成立 所以存在定点，使得恒成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $