吉林省吉林市第三十中学校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

吉林市第三十中学九年级期中考试 数　学　参考答案与评分标准 满分 120 分　考试时间 120 分钟　命题范围：人教版（2024 年版）数学九年级上册第 25、26、28 章 评分说明：1．本卷满分 120 分。选择题、填空题每小题 3 分，只填最终结果，不设步骤分。2．解答题按步骤给分；解法不同但推理严密、结果正确者，同样给满分。3．前一步错误导致后一步结果错误时，后一步不重复扣分；结果未化为最简但数值正确不扣分。4．"评分说明"中的分值相加等于该题题面分值。 一、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1．C　　2．B　　3．A　　4．B　　5．B　　6．B 1．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，关键是移项后提公因式，不能直接两边同除以 x 而丢掉 这个根。 【分析】移项得 ，提公因式得 ，故 或 ，解得 。故选 C。 2．【点睛】本题考查顶点式 的顶点坐标，关键是认清括号内是"x 减 h"，符号要取反。 【分析】与 对照，得 ，故顶点为 (1，3)。故选 B。 3．【点睛】本题考查根的判别式，关键是把"有两个不相等的实数根"转化为 。 【分析】。由 得 ，解得 。故选 A。 4．【点睛】本题考查旋转 的坐标变化规律，关键是"关于原点对称，横、纵坐标都变号"。 【分析】绕原点旋转 即关于原点作中心对称，P（3，2）变为 。故选 B。 5．【点睛】本题考查抛物线平移规律"左加右减（看括号内）、上加下减（看整体）"。 【分析】 向右平移 2 个单位得 ，再向上平移 1 个单位得 。故选 B。 6．【点睛】本题考查平均降低率，关键是把两次降价写成 ，并注意 。 【分析】设每次降价百分率为 x，则 ，开平方得 ，舍去 ，得 ，即 10%。故选 B。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 7．2　　8．（2，1）　　9．　　10．4；0　　11．120 7．【点睛】本题考查方程的根的意义，关键是把 代入方程。 【分析】把 代入 ，得 ，解得 ；回代检验 1230 成立。故填 2。 8．【点睛】本题考查一般式化顶点式，关键是配方法或顶点公式（，）。 【分析】配方得 ，故顶点坐标为 (2，1)。故填（2，1）。 9．【点睛】本题考查根与系数的关系（新教材必学内容），关键是把 通分为 后整体代入。 【分析】由根与系数的关系得 ；通分得 。由 知 、 均不为 0，分母有意义。故填 。 10．【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，关键是比较顶点与区间端点的函数值。 【分析】对称轴 落在 [1，3] 内，顶点值 为最小值；端点值 ，故最大值为 0。故填 4；0。 11．【点睛】本题考查旋转对称图形，关键是正 n 边形绕中心旋转 的整数倍都能与自身重合。 【分析】正三角形中心角为 ，最小旋转角为 。故填 120。 三、解答题（本题共 11 小题，共 87 分） 12．（6 分） 【参考答案】移项得 ；提公因式得 ；故 。 【点睛】把 (x3) 看作整体，移项后提公因式，切忌两边直接约去 (x3)。 【分析】令每个因式为 0，得 或 ，解得两根。 【评分说明】移项整理 2 分；正确因式分解 2 分；两个根各 1 分，共 6 分。若直接约去 (x3) 只得一个根，本题最多得 2 分。 13．（6 分） 【参考答案】，代入求根公式得 ，即 ，。 【点睛】先化成一般形式、正确读出 a、b、c，再算判别式。 【分析】 说明方程有两个不相等的实数根，代入求根公式即可。 【评分说明】写出 a、b、c 并算得 共 2 分；写出求根公式并代入 2 分；两个根各 1 分，共 6 分。 14．（6 分） 【参考答案】（1），故无论 k 取何实数，方程总有实数根。（2）由 得 ，故 ；此时方程为 ，确有重根 。 【点睛】（1）关键是把 配成 ；（2）关键是"两个相等实根"对应 。 【分析】用完全平方式的非负性说明总有实根；再令 解出 k 并回代验证。 【评分说明】（1）算出 并化为 得 2 分，由非负性得结论 1 分；（2）由 得 得 2 分，回代验证 1 分。共 6 分。 15．（7 分） 【参考答案】（1）设交点式 ，展开得 ，故 。（2）对称轴为直线 ，顶点坐标为 (1，4)。（3）。 【点睛】把 x 轴上两交点的横坐标作为方程两根；再结合开口方向看图求范围。 【分析】由对称轴公式 1，代回得 ；抛物线开口向上、与 x 轴交于 (1，0)、(3，0)，故两根之间 。 【评分说明】（1）3 分：设交点式 1 分，展开 1 分，写出 b、c（或解析式）1 分；（2）2 分：对称轴、顶点各 1 分；（3）2 分。共 7 分。 16．（7 分） 【参考答案】（1）。（2），形状、大小都不变；。 【点睛】顺时针旋转 时 (x，y) 变为 (y，x)；旋转只改变位置，不改变形状与大小。 【分析】对三个顶点逐一变换得 、、；由旋转性质得两三角形全等，再由两点间距离公式求 。 【评分说明】（1）每个点的坐标 1 分，共 3 分；（2）判断形状大小不变（全等）2 分，求 列式 1 分、结果 1 分，共 4 分。合计 7 分。 17．（7 分） 【参考答案】设年平均增长率为 x，依题意得 ，即 ，开平方得 ，舍去不合题意的负值，得 ，即年平均增长率为 20%。 【点睛】两年后的量应表示为 ，不能写成 。 【分析】解出 x 后须结合实际意义取舍，增长率应为正数。 【评分说明】设元并列出方程 3 分；化为 并开方 2 分；正确取舍、写出 20% 并作答 2 分。共 7 分。列成 最多得 1 分。 18．（8 分） 【参考答案】（1）联立得 ，即 ，解得 或 ；代入直线得交点 (0，3)、(3，0)。（2）。 【点睛】交点问题化归为解方程组；看图时找抛物线位于直线下方的部分。 【分析】不等式 即 ，对应两交点横坐标之间。 【评分说明】（1）6 分：联立并整理 2 分，求出两个横坐标 2 分，两个交点坐标各 1 分；（2）2 分。共 8 分。（2）误含端点扣 1 分。 19．（8 分） 【参考答案】（1）由旋转的性质， 与 DF 是对应边，故 。（2）。理由：由 得 ；又正方形中 ，故 ，即 F、D、C 三点共线。而点 E 在 BC 上，，所以 。（也可用"对应线段的夹角等于旋转角 "直接判断。）（3）在 中，，故 ；由旋转得 ，故 为等腰直角三角形，。 【点睛】（1）全等三角形对应边相等；（2）先证 F、D、C 共线再用正方形邻边垂直；（3）关键是由旋转得到等腰直角三角形 AEF。 【分析】三问依次考查旋转的性质、位置关系推理、旋转与勾股定理的综合。 【评分说明】（1）2 分：指出全等（对应边）1 分，得 分；（2）2 分：判断垂直 1 分，理由 1 分；（3）4 分：求 AE 1 分，说明 且 分，判断等腰直角三角形 1 分，求 EF 1 分。共 8 分。 20．（10 分） 【参考答案】（1）销量为 ，故 。（2），由 且 70 在取值范围内，故售价定为 70 元时月利润最大，最大利润 4500 元。（3）由 得 ，即 ，因式分解得 ，结合 得 。 【点睛】"每涨 1 元少卖 5 件"转化为销量式 ；实际问题中自变量须满足 （销量非负）。 【分析】用"利润(售价进价)销量"建模，再配方求最值、解一元二次不等式。 【评分说明】（1）3 分：销量式 1 分，列 w 式 1 分，展开并写出取值范围 1 分；（2）3 分：配方 1 分，判断最值点 1 分，最大利润 1 分；（3）4 分：列不等式 1 分，化为 分，解得 分，结合取值范围作答 1 分。共 10 分。 21．（10 分） 【参考答案】（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）；配方 ，得顶点 D（1，4）。（2）。（3）设 ，由 P 在第一象限抛物线上知 。t(3t)。令 ，得 ，解得 或 。故 P（1，4）或 P（2，3）。 【点睛】（3）先把面积表示成含 t 的式子，再由 去掉绝对值，避免漏解、增解。 【分析】（1）令 、 分别求交点；（2）以 AB 为底、OC 为高；（3）用坐标面积公式建立关于 t 的方程。 【评分说明】（1）4 分：A、B、C、D 各 1 分；（2）2 分；（3）4 分：设点并写出面积式 2 分，解方程 1 分，写出两个点 1 分。共 10 分。 22．（12 分） 【参考答案】（1）把 A（1，0）、B（4，0）代入 ，得 ，解得 ，故抛物线为 。设直线 BC 为 ，代入 B（4，0）、C（0，4）得 ，解得 ，故直线 BC 为 。（2）由 得 ，解得 或 ，故 。设 ，则 Q（t，t4）。。故当 时 PQ 取最大值 4，此时 P（2，2）。（3）存在。设 M（m，0），则 。① ：，解得 ；② ：，解得 或 ；③ ：，解得 ，其中 时 M 与 B 重合，舍去，故 M（4，0）。综上，符合条件的点 M 共 4 个：（0，0）、（4，0）、、。 【点睛】（2）铅垂高等于"上方直线纵坐标减下方抛物线纵坐标"，符号不能写反；（3）等腰三角形须按"哪两条边相等"分三类讨论，并检验 M 不与 B 重合、三点不共线。 【分析】（1）待定系数法；（2）用含 t 的式子表示 PQ 后配方求最值，t 的取值范围由两图象交点的横坐标确定；（3）用两点间距离（勾股定理）把三类相等关系转化为方程，逐个求解并取舍。 【评分说明】（1）3 分：列出关于 b、c 的方程组 1 分，求得 、 及抛物线解析式 1 分，C 点坐标与直线 BC 解析式 1 分；（2）4 分：求出 分，设出 P、Q 坐标 1 分，写出 并配方 1 分，得最大值 4 与 P（2，2）1 分；（3）5 分：写出 、、 分，三类讨论各 1 分，舍去 并汇总 4 个点 1 分。共 12 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第三十中学九年级期中考试 数　学　试　题 满分 120 分　考试时间 120 分钟　命题范围：人教版（2024 年版）数学九年级上册第 25、26、28 章 班级__________　姓名__________　学号__________　总分__________ 注意事项：本试卷共三大题 22 小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟；请将班级、姓名、学号填写清楚；解答题须写出必要的演算步骤，只写结果不得分。 一、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1．一元二次方程 的解是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．抛物线 的顶点坐标是（　　） A．（1，3）　　B．（1，3）　　C．（1，3）　　D．（1，3） 3．若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．在平面直角坐标系中，将点 P（3，2）绕原点 O 旋转 得到点 ，则点 的坐标是（　　） A．（3，2）　　B．（3，2）　　C．（3，2）　　D．（2，3） 5．将抛物线 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．某商品原价 100 元，经过连续两次降价后售价为 81 元。若每次降价的百分率相同，则这个百分率是（　　） A．9%　　B．10%　　C．19%　　D．20% 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 7．若 是关于 x 的方程 的一个根，则 m 的值为__________。 8．抛物线 的顶点坐标是__________。 9．已知 、 是方程 的两个根，则 __________。 10．二次函数 在 范围内的最小值是__________，最大值是__________。 11．正三角形绕它的中心至少旋转__________度才能与自身重合。 三、解答题（本题共 11 小题，共 87 分） 12．（6 分）解方程：。 13．（6 分）解方程：。 14．（6 分）已知关于 x 的方程 。 （1）求证：无论 k 取何实数，该方程总有实数根； （2）若该方程有两个相等的实数根，求 k 的值。 15．（7 分）已知抛物线 经过点 A（1，0）、B（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）直接写出当 时 x 的取值范围。 16．（7 分）在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 A（2，1）、B（4，3）、C（1，4）。将 绕原点 O 顺时针旋转 ，得到 ，如图 1 所示。 （1）写出点 、、 的坐标； （2）判断 与 的形状、大小关系，并求线段 的长。 17．（7 分）某县 2023 年旅游收入为 2 亿元，2025 年旅游收入达到 2.88 亿元。若这两年旅游收入的年平均增长率相同，求这个年平均增长率。 18．（8 分）已知抛物线 与直线 ，如图 2 所示。 （1）求抛物线与直线的交点坐标； （2）结合图 2，直接写出不等式 的解集。 19．（8 分）如图 3，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在边 BC 上，将 绕点 A 顺时针旋转 得到 。 （1）求证：； （2）判断 BE 与 DF 的位置关系，并说明理由； （3）若正方形边长为 ，求 EF 的长。 20．（10 分）某商店销售一种商品，每件进价 40 元，当售价为每件 60 元时，每月可卖出 200 件。市场调查表明：售价每上涨 1 元，每月销售量就减少 5 件。设售价为每件 x 元，每月利润为 w 元。 （1）求 w 与 x 之间的函数关系式； （2）售价定为每件多少元时，每月利润最大？最大利润是多少元？ （3）若每月利润不低于 4000 元，求售价 x 的取值范围。 21．（10 分）已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求 A、B、C 三点的坐标及抛物线的顶点 D 的坐标； （2）求 的面积； （3）点 P 是第一象限内该抛物线上的一个动点，若 的面积为 3，求点 P 的坐标。 22．（12 分）如图 4，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A（1，0）、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC。 （1）求抛物线与直线 BC 的解析式，并写出点 C 的坐标； （2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点（不与 B、C 重合），过点 P 作 轴交直线 BC 于点 Q，求线段 PQ 长的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在点 M，使 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $