精品解析：吉林市船营区桃源路中学2025--2026学年九年级上学期期中考试数学

学校2025-2026学年度第一学期综合练习 九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 新能源汽车是指使用除汽油、柴油等传统能源的汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺．近几年，新能源汽车如雨后春笋，发展迅速．以下几个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 抛物线的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质．根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线的开口向上， 故选：A． 3. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交； 故选：C． 4. 若关于的方程有实数根，则的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式． 当判别式大于等于0时，方程有实数根． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得． 选项中只有满足条件， 故选：B． 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，则是等边三角形，进而根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，， ，， 是等边三角形， ， 故选：D． 6. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案 【详解】解：设半径为 ，则 在 中，有 ，即 解得 则该桨轮船的轮子直径为 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 二次函数的图象的顶点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质即可直接作答． 【详解】解：根据的图象与性质可知： 二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：． 8. 已知点和点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此求出a和b的值，再计算，最后计算即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 当___________时，函数是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2，因此令指数，求解m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数时，x的最高次数必须为2， 即的指数， 解得． 故答案为：． 10. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为____． 【答案】##110度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， 故答案为：． 11. 若规定两数通过运算“”可得，即，如：．若，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义，分别求出，，，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】解：由定义，， 因此，，， 代入得， 化简得， 即， 解得． 故答案为：1． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴  或 ， 解得： ． 13. 已知抛物线的顶点坐标为，并且经过点． （1）求抛物线的解析式． （2）若、是抛物线上的两点，且，直接写出与的大小关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 根据题意，得，解得， ∴所求的抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法解析式，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数性质是解题关键． 14. 如图，在⊙O中，，∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠COA． 【答案】 证明：∵， ∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等） ∵∠ACB=60° ∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等） 【解析】 【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键． 15. 两年前生产甲种药品的成本是5000元，生产乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是3000元，生产乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 【答案】甲、乙两种药品成本的年平均下降率一样大． 【解析】 【分析】因为生产1吨甲种药品的成本由5000元降至3000元，生产1吨乙种药品的成本由6000元降至3600元，所以可设甲、乙两种药品成本的年平均下降率为x、y，利用方程求解即可． 【详解】解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元，则有： ． 解方程，得（不符合题意，舍去）． 所以甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%； 设乙种药品成本的年平均下降率为y，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）； 所以乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%； 所以甲和乙的下降率相同； 答：甲、乙两种药品成本的年平均下降率一样大． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 16. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，标出圆心． （2）在图②中，的外接圆上找出一点，使得． （3）在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 点即为所求； （3） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1），作中点即可； （2）过作（取格点）即可； （3）作的垂直平分线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：直线是的切线． （2）若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 【答案】（1） 证明：连接， 是直径， ， ，， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，扇形面积公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 18. 请根据以下素材，完成探究任务. 制定购买方案 购买背景 背景1 巴黎奥运会期间，某网店直接从工厂购进，两款吉祥物“弗里吉”钥匙扣样式，网店第一次用850元购进款钥匙扣20件、款钥匙扣10件，且每件比每件贵5元. 背景2 款钥匙扣售价为45元/件，款钥匙扣售价为37元/件，第一次购进的“弗里吉”钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款“弗里吉”钥匙扣共80件（进货价和售价均不变），且进货总价不高于2200元. 背景3 巴黎奥运会临近结束时，网店打算把款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可销售4件，经过调查发现，销售价每降价1元，平均可多售2件. 信息整理 若款钥匙扣的进价为元/件，款钥匙扣的进价为元/件，列表如下： 类别 款钥匙扣 款钥匙扣 进货量（件） 20 10 进价（元/件） 售价（元/件） 45 37 单件利润（元/件） ① ② 探究任务 任务1 求两款钥匙扣的进价 任务2 请完成填空①和②，根据背景2中的信息，获得的销售利润最大为_______元. 任务3 网店要使款钥匙扣的销售利润平均每天达到90元，每件款钥匙扣的定价应为多少元？ 【答案】任务1：款钥匙扣的进价为30元/件，款钥匙扣的进价为25元/件；任务2：①15；②12；1080；任务3：将销售价定为每件30元或34元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元 【解析】 【分析】任务1：根据网店第一次用850元购进款钥匙扣20件、款钥匙扣10件，且每件比每件贵5元列出方程组求解即可； 任务2：根据单价利润售价进价即可求出两款钥匙扣的单件利润；设第二次购进款钥匙扣m件，总利润为w元，则第二次购进B款钥匙扣件，根据总购买费用不超过2200元列出不等式求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可； 任务3：设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，据此根据总利润为90元列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：由题意得， 解得， 答：款钥匙扣的进价为30元/件，款钥匙扣的进价为25元/件． 任务2：有任务1可知款钥匙扣的利润为元/件，款钥匙扣的利润为元/件； 设第二次购进款钥匙扣m件，总利润为w元，则第二次购进B款钥匙扣件， 由题意得，， 解得， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴获得的销售利润最大为1080元． 故答案为：①15；②12；1080； 任务3：设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为 元，平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元二次方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确根据题意列出方程，方程组，不等式和函数关系式是解题的关键． 19. 如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． （1）菱形的周长为___________． （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）16 （2） （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理． （1）利用菱形周长公式求解即可； （2）作交延长线于点，分当点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）分当和时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵菱形中，， ∴菱形的周长为， 故答案为：16； 【小问2详解】 解：作交延长线于点， 由题意得，则，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴，， 当点在线段上即时，， 当点在线段的延长线上即时，， 综上，； 【小问3详解】 解：当时， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得； 当时， 同理，，即， 解得； 综上，的值为或． 20. 吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在2025年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项．为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题： 【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？ 【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下表）． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题： （1）观察上述各点分布规律，可得关于的函数类型是___________．（填“一次函数”或“二次函数”） （2）求出关于的函数解析式． （3）当滑行距离为时，直接写出滑行时间． 【答案】（1）二次函数 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出与的二次函数关系式是解题的关键． （1）由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数； （2）据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可； （3）把代入解析式求出的值即可得出． 【小问1详解】 解：由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数， 故答案为：二次函数； 【小问2详解】 解：设函数解析式为，把，，， ， 解得：， ∴关于的函数解析式为：； 【小问3详解】 解：把代入解析式得：， 解得：，（不符合题意的根舍去） ∴当滑行距离为时，滑行时间为． 21. 综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． 【分析问题】 （1）如图①，点分别是正方形的边上的点，连接，若，求证：． 证明：将绕点顺时针旋转，得到， 则三点在同一条直线上， 由旋转可知， ，___________， 四边形为正方形， ， ， ___________， ___________ ． 【解决问题】 （2）如图②，点为正方形内一点，且，求的度数． （思路点拨：如图②，将绕点逆时针旋转，得到，连接，确定与分别为等腰直角三角形和直角三角形，并利用勾股定理和逆定理，问题得以解决．） 【拓展问题】 （3）如图③，点是等边内一点，且，直接写出的度数． 【答案】（1） ①. ②. ③. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，则，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （2）如图②，将绕点逆时针旋转，得到，连接，将先根据旋转的性质可得：，则，，再求出，根据等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理的逆定理可得，最后求和可得； （3）如图③，将绕点逆时针旋转，得到，连接，先根据旋转的性质可得，则，再求出，根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据勾股定理的逆定理可得，最后求和即可． 【小问1详解】 证明：将绕点顺时针旋转，得到， ∴ ∵ ∴三点在同一条直线上， 由旋转可知， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：如图②，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴． 【小问3详解】 解：如图③，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 22. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的图象经过点，点是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为． （1）求出该抛物线的函数解析式并写出顶点坐标． （2）当时，该抛物线在两点之间部分的最大值与最小值的差为___________ （3）当该抛物线在两点之间部分的最大值与最小值的差为5时，求的值． （4）已知点，构造，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线相交于点，构造．当与全等时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）4 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质等知识，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出函数关系式，将解析式配方成顶点式可得顶点坐标； （2）求出在范围内，函数最小值和最大值，求差即可； （3）化简P、Q纵坐标，分类讨论求值即可； （4）求出，，，判断是等直角三角形，由点P，Q的坐标可求出,得到, ，由与全等得是等腰直角三角形，可得， 从而可得结论． 【小问1详解】 解：将点代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ， 所以，抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，P点横坐标为2，纵坐标为，即； Q点横坐标为，纵坐标为，即． ∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为， 在范围内，函数最小值为顶点纵坐标；端点Q点纵坐标为3，P点纵坐标为0，最大值为3， 所以，最大值与最小值的差为． 故答案为：4； 【小问3详解】 解：∵点横坐标分别为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为； ∴， ①当且时，， 当时， 解得（舍去）； 当时，， 解得：（舍去）； ②当或时，最小值为顶点纵坐标；最大值为端点最大值， 差为：最大值，即最大值为4； 当时，则， 解得， 需满足， 若时，（不合题意，舍去） 若时，（符合题意）， ②若，则，解得，需满足， 若时，（符合题意） 若时，（不合题意，舍去） 综上，m的值为或； 【小问4详解】 解：∵、， ∴，，， 而， ∴是等腰直角三角形， ∵过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线相交于点，, ， ∴， ∴, ， ∵与全等， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校2025-2026学年度第一学期综合练习 九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 新能源汽车是指使用除汽油、柴油等传统能源的汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺．近几年，新能源汽车如雨后春笋，发展迅速．以下几个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 3. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 4. 若关于的方程有实数根，则的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 二次函数的图象的顶点坐标是_________． 8. 已知点和点关于原点对称，则___________． 9. 当___________时，函数是二次函数． 10. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为____． 11. 若规定两数通过运算“”可得，即，如：．若，则的值为___________． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 已知抛物线的顶点坐标为，并且经过点． （1）求抛物线的解析式． （2）若、是抛物线上的两点，且，直接写出与的大小关系． 14. 如图，在⊙O中，，∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠COA． 15. 两年前生产甲种药品的成本是5000元，生产乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是3000元，生产乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 16. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，标出圆心． （2）在图②中，的外接圆上找出一点，使得． （3）在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 17. 如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：直线是的切线． （2）若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 18. 请根据以下素材，完成探究任务. 制定购买方案 购买背景 背景1 巴黎奥运会期间，某网店直接从工厂购进，两款吉祥物“弗里吉”钥匙扣样式，网店第一次用850元购进款钥匙扣20件、款钥匙扣10件，且每件比每件贵5元. 背景2 款钥匙扣售价为45元/件，款钥匙扣售价为37元/件，第一次购进的“弗里吉”钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款“弗里吉”钥匙扣共80件（进货价和售价均不变），且进货总价不高于2200元. 背景3 巴黎奥运会临近结束时，网店打算把款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可销售4件，经过调查发现，销售价每降价1元，平均可多售2件. 信息整理 若款钥匙扣的进价为元/件，款钥匙扣的进价为元/件，列表如下： 类别 款钥匙扣 款钥匙扣 进货量（件） 20 10 进价（元/件） 售价（元/件） 45 37 单件利润（元/件） ① ② 探究任务 任务1 求两款钥匙扣的进价 任务2 请完成填空①和②，根据背景2中的信息，获得的销售利润最大为_______元. 任务3 网店要使款钥匙扣的销售利润平均每天达到90元，每件款钥匙扣的定价应为多少元？ 19. 如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． （1）菱形的周长为___________． （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当为直角三角形时，直接写出的值． 20. 吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在2025年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项．为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题： 【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？ 【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下表）． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题： （1）观察上述各点分布规律，可得关于的函数类型是___________．（填“一次函数”或“二次函数”） （2）求出关于的函数解析式． （3）当滑行距离为时，直接写出滑行时间． 21. 综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． 【分析问题】 （1）如图①，点分别是正方形的边上的点，连接，若，求证：． 证明：将绕点顺时针旋转，得到， 则三点在同一条直线上， 由旋转可知， ，___________， 四边形为正方形， ， ， ___________， ___________ ． 【解决问题】 （2）如图②，点为正方形内一点，且，求的度数． （思路点拨：如图②，将绕点逆时针旋转，得到，连接，确定与分别为等腰直角三角形和直角三角形，并利用勾股定理和逆定理，问题得以解决．） 【拓展问题】 （3）如图③，点是等边内一点，且，直接写出的度数． 22. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的图象经过点，点是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为． （1）求出该抛物线的函数解析式并写出顶点坐标． （2）当时，该抛物线在两点之间部分的最大值与最小值的差为___________ （3）当该抛物线在两点之间部分的最大值与最小值的差为5时，求的值． （4）已知点，构造，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线相交于点，构造．当与全等时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $