32.2.1 解直角三角形（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十二章 锐角三角函数 32.2.1 解直角三角形 知识点一 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据： 在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a、b、c 1）三边之间的关系：（勾股定理）. 2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 3）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【易错点】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 即学即练 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 【答案】C 【分析】明确已知边与的位置关系，结合三角函数定义，选择计算步骤最少的方法． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ ，可直接代入已知边计算，进而求出， 计算或均需先由勾股定理求出的长度，增加计算步骤， 通过求再计算，需多一步角度换算，步骤更多． 2．（2022·浙江杭州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形中锐角余弦的定义求出斜边的长度，再结合勾股定理计算的长度，即可得到答案. 【详解】解：∵ 如图：在中，， 根据锐角余弦定义得， 又，， ，解得， 由勾股定理得，代入，得：. 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，是上的高．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的长，在中利用求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是上的高， ∴， 在中，， ∴， 在中， 由勾股定理得． 4．（2026·河北承德·二模）如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作于点D，在中利用三角函数分别求得，在中由余弦函数值，设，由勾股定理得，从而求得x的值，即可求得，则． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得： ∴， ∴． 知识点二 解直角三角形的常见类型 即学即练 1．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，则⁠___________． 【答案】 【分析】根据平行四边形对边相等的性质得出 ，，过点作于点，利用锐角三角函数定义求出高，最后根据平行四边形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在直角三角形中，， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）在平行四边形中，，，，则的长度为__________． 【答案】 【分析】过点作的垂线构造直角三角形，利用角的三角函数值求出，，进而求出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：根据题意，画图如下，过点作，垂足为， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 3．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 【答案】 【分析】根据相似的性质得到，，，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵用12个相似的直角三角形组成的图案， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴． 4．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，是上一点，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先解直角三角形求出，再根据勾股定理求出，根据已知得出，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：． 题型01 已知两边解直角三角形 典｜例｜精｜析 例1（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 【答案】 /0.8 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据同角的余角相等得到，最后根据锐角三角函数的定义求出的值． 【详解】解：∵ 是直角三角形，，， ∴ 由勾股定理得 ∵ 是斜边 上的高， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，则_____________________，_________________． 【答案】 /30度 /60度 【分析】已知直角三角形两条直角边，先计算的正切值，结合特殊角的三角函数值得到的度数，再利用直角三角形两锐角互余求的度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵直角三角形两锐角和为， ∴． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，． （1）若，则的余弦值为______； （2）若，则的余弦值为______； （3）若，则的长为______，的长为______． 【答案】 3 4 【分析】确定所在直角三角形的各边位置：因为，所以的邻边是，对边是，斜边是，明确锐角余弦定义为邻边与斜边的比值，即． （1）如果已知和，那么先用勾股定理求出的长度，再代入余弦定义计算． （2）如果已知和，那么先用勾股定理求出的长度，再代入余弦定义计算． （3）如果已知和，那么先根据余弦定义求出的长度，再用勾股定理求出的长度． 【详解】解：（1）∵在中，，,， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴； （3）∵，且，： ∴， ∴ ． 3．（26-27九年级下·全国·单元测试）如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠得，在中求出与，算出的长度．再利用折叠知，推导出，最后直接计算得到． 【详解】解：如图，连接． 由翻折可知， 在中，， ， 在中，， 由翻折的性质可得， ， ， ， ， 则的值为． 题型02 已知一锐角和一边解直角三角形 典｜例｜精｜析 例2（2022·浙江丽水·模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中利用正切函数求出，再在中利用勾股定理求出． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 2．（2026·浙江杭州·二模）如图，在中，，，是边上的高线．以点C为圆心，为半径画弧，交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据高的定义得到，从而可得，再由等边对等角得到，根据角的和差求出，通过解直角三角形得到，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵是边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 3．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，，线段垂直平分，交于点，交于点，若cm，则的长为（     ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】是等腰三角形，可得，线段垂直平分，根据简单三角函数可求得，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ∴， 线段垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型03 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形 典｜例｜精｜析 例3（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图在中，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】先利用正切定义，求出边长，再用勾股定理计算斜边． 【详解】解：在中，，，． ， 解得． 由勾股定理得： ． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，分别为斜边上的高和中线，，，若，则________． 【答案】 【分析】设，则，，可得，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵在中，，分别为斜边上的高和中线， ∴，， ∵， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为________． 【答案】或 【分析】根据题意，首先排除不是直角三角形，然后分两种情况：当为锐角时或当为钝角时，过点作，构造直角三角形，利用三角函数定义与勾股定理求出相关线段长度，计算的长即可． 【详解】解：由题意可知，不是直角三角形； 当为锐角时，过点作，垂足为，如图所示： 在中，，即， 设，则，则由勾股定理得， ，则， 解得或（负值舍去）， ，， 在中，由勾股定理得， ； 当为钝角时，过点作，垂足为，如图所示： 在中，，即， 设，则，则由勾股定理得， ，则， 解得或（负值舍去）， ，， 在中，由勾股定理得， ； 综上所述，的长为或． 3．（26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】/45度 【详解】通过作高构造直角三角形，利用余弦的定义求出线段长度，再结合勾股定理和特殊角的三角函数值求解角度． 【解答】解：过点A作于D， 在中， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型04 解一图多直角三角形 典｜例｜精｜析 例4．（26-27九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，于，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，得，将代入求值即可． 【详解】解：∵在中，，于， ∴，， ∴， ∵，， ∴即， ∴， ∴，， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的相关知识后，尝试利用所学知识测量小河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿水平面向着大树的方向走米到达小河近岸边的点处（点，，在同一条直线上），在点处测得大树顶端的仰角为，则大树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】分别在和中，通过解直角三角形得到，，根据列出关于的式子，变形即可求解． 【详解】解∶∵在中，，， ∴． ∵在中，，， ∴． ， ． 米． 2．（22-23九年级下·四川内江·开学考试）如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，，，利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，， 同理，在中，由勾股定理可知，， 设， 则在中， 由勾股定理可知，； 同理，在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， 即， ∵， ∴， ∴， 3．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在中，，边上的高是8，当最小时，_____． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理及得到，结合得到关于的一元二次方程，根据存在可知，进而求出的取值范围，得到的最小值再代入关于的一元二次方程求出的值，根据计算即可． 【详解】解：在和中，由勾股定理得：，， ∵， ∴，即， ∴， 整理得， ∵， ∴， 整理得， 将其看作关于的一元二次方程， 可知， 整理得， ∵， ∴， 即的最小值是， ∴， 整理得， 即， 解得：， ∴． 题型05 解非直角三角形 典｜例｜精｜析 例5（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长度为_________． 【答案】或 【分析】过点作，交所在直线于点，根据设出和的长度，用勾股定理求出的长度，分两种情况计算的长度即可． 【详解】解：过点作，交所在直线于点， ①当点D在线段上时，如图所示： ， 设，， 在中，由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ②当点在线段的延长线上时，如图所示： 同理可得：，， ∴； 综上，的长度为12或6． 3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，若，，，则___________． 【答案】1或13 【分析】过点作于点，分高在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解． 【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论： ①当在的外部时，如图：    ∵， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的内部时，如图：    同法可得：， ∴； 综上：1或13； 故答案为：1或13． 【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． 题型06 四边形中解直角三角形 典｜例｜精｜析 例6（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形、正方形的性质可得，再根据勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ，四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，将一副三角板拼成四边形为边的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设和交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，结合得到垂直平分，所以是三角形的中位线，从而求出，的长，相加得到的长． 【详解】解：如图，连接，设和交于点， 为直角三角形，点为边的中点， ， 点在的垂直平分线上， 在直角三角形中，， 点在的垂直平分线上， 垂直平分，点是中点． 在直角三角形中，，， ，， 是的中位线， ， 又， ． 2．（26-27九年级上·福建莆田·期中）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点E，连接，交于点F，若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】结合矩形的性质可得的长，再由锐角三角函数可得，从而得到，进而得到的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由作法得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 3．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，在中，若，，，点E是的中点，将绕点A逆时针旋转得到，连接，那么 （1）边上的高等于____________________； （2）的面积等于____________________． 【答案】 / 【分析】连接，延长到点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，过点作交于点，根据旋转的性质得到为等边三角形，从而得到，再证得，得到对应边的长度，再解直角三角形求出的长度，根据平行线间垂线段相等求出的长度，从而算出的高进行求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长到点，使，连接， 过点作的垂线，交于点，交于点， 过点作交于点； ∵绕点逆时针旋转至， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵，．点为的中点， ∴， ∴在中，， ∴， 解得， 在中，， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 则， ∴， 边上的高等于； 的面积等于． 题型07 网格中解直角三角形 典｜例｜精｜析 例7 （25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由勾股定理得，，再根据三角形的面积可得，即得，最后根据正切的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行线，取格点，使，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点，使， ， 根据题意得：，，，， ， ， ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值是______．    【答案】3 【分析】连接，先说明，然后利用相似三角形的性质得到，然后得到，进而利用勾股定理的逆定理证明出，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即可． 【详解】连接，    ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∴在中，． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型08 坐标系中解直角三角形 典｜例｜精｜析 例8（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质、勾股定理．作轴，垂足为，设点坐标为，根据条件列出关于的方程，解出值，再利用勾股定理求出，根据菱形性质求出菱形的周长即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 设点坐标为， ， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ， ， ∴四边形的周长为， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 2．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是_______． 【答案】或 【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作轴，则：，， ∴或， 设直线的解析式为， ∴当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 综上：或； 故答案为：或． 3．（2023·山西忻州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线经过边的中点D，若，则k的值为________．    【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，则，进而求出，得出，即可 ，把代入，即可求出k的值． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵点D为中点， ∴， 把代入得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数的图象和性质，中点坐标公式，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，中点坐标公式，以及反比例函数图象上点的坐标特征， 题型09 解直角三角形与函数 典｜例｜精｜析 例9（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，是边的中点，点在斜边上，从点出发，运动到点时停止，设为，为．如图，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列结论正确的有（   ）个 ；；；的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象可求出的长，过点作交于点，由图知，点为最高点，当点和点重合时，最大，根据三角函数和勾股定理可求出和，进而判断和；用的值可判断；当，即点和点重合时，有最小值，进而判断． 【详解】解：由图可知，当时，，即， ∴， ∵是边的中点， ∴ ∵ 即，，， 此时，， 如图，过点作交于点，则有为等腰三角形， ∴，， 由图知，点为最高点， ∵当点和点重合时，最大， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去），故错误； ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴，故错误； 由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小，此时， ∴， ∴的最小值为，故正确， 综上可得：结论正确的有，共个． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据菱形性质，以及点的运动情况分三种情况讨论，①当点P在边上，且点Q在边上，②当点P在边上，且点Q在边上，③当点P在边上，且点Q在边上，再结合解直角三角形的计算，直角三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：边长为4的菱形中，， ， ①当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图1，，，， 即图象为开口向上的抛物线； ②当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图2，，，， 即图象为直线； ③当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图3，， ，， ， ，，， 结合②可知，， ，即图象为开口向下的抛物线． 综上所述，y与x之间的函数图象大致是． 2．（2024·河南郑州·三模）如图①，在中，，点是边的中点，点是边上一动点，设，图②是关于的函数图象，其中是图象中的最低点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题的函数图象，当P与B重合时，由图②可得，，作A关于直线的对称点，连接交于P，交于K，连接，此时，、、共线，最小，即最小，根据，，、关于对称，可证是等边三角形，在中，得，，在中，，即可得答案． 【详解】解：当P与B重合时，由图②知，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， 作A关于直线的对称点，连接交于P，交于，连接，如图： 此时， ∴， 而、、共线，最小，即最小， ∵， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·江苏无锡·三模）如图，在中，，，点D、E、F分别是边、、上的动点且为等边三角形，设，，则y关于x的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角函数，垂直平分线的性质，等边对等角，正确作出辅助线是解题的关键． 作垂直平分线，分别交于点M，N连接，利用三角函数及全等三角形的判定与性质，用x表示出，利用勾股定理，即可解答． 【详解】解：作垂直平分线，分别交于点M，N连接，如图，有 ，，， ∴，， ， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，， ∴，． ∴． 故答案为． 题型10 解直角三角形与几何综合 在四边形、圆等几何问题中，若题目给出某个锐角的三角函数值，则可根据此条件，解这个角(或其等角)所在的直角三角形，得到线段长度，进而得出其他结论. 典｜例｜精｜析 例10（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，已知，以为一边作等边，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)_______；若，，，则_________． 【答案】(1) (2)解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∵等边， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (3)120； 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）证明，即可得证； （3）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理，求出的度数，解直角三角形，求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设交于点，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·广西贵港·期中）【情境再现】 (1)如图1所示，在正方形中，点，分别在边，上，且．请你直接写出线段与的数量关系是__________； 【探究迁移】 (2)如图2所示，在矩形中，若，点，，，分别在矩形的边，，，上，且．请你猜测是多少，并证明你的猜测结果的正确性； 【拓展应用】 (3)如图3所示，在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，，则的长是__________． 【答案】(1) (2) ， 证明：如下图，过点作交于点，过点作交于点， 在矩形中，，， ，， 四边形是平行四边形， ，同理可得， 又，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）通过已知条件证明，从而得到； （2）过点作交于点，过点作交于点，先证明四边形是平行四边形，得到，同理可得，再证明得到，即； （3）过作于，延长，交于，证明可得，得到，进而得到，设，在和中，利用特殊角的三角函数值构造关于的方程，最终求得的长． 【详解】（1）解：如图，与的交点记作点， 在正方形中，有，， ． ， ， ， ． 在与中， ， ． （2）解：，证明略． （3）解：如下图，过作于，延长，交于， 则有， ， ， ， ， ， ． ，，， ， ， ． ，， ， ． ， 设，则， ， ，解得，即． 2．（26-27九年级上·山东济南·期中）【问题发现】 (1)如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，过点E作交于点F，连接． ①的值是 ； ②线段与的数量关系是 ； 【初步探究】 (2)在（1）的条件下，将等腰绕点A顺时针旋转（），分别写出：线段与的数量关系和直线与所夹锐角的度数，并说明理由； 【拓展迁移】 (3)如图3，正方形的边长为2，等腰中，，，将绕正方形的顶点旋转一周，当，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)解：，直线与所夹锐角的度数为，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， 由（1）得，， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴直线与所夹锐角的度数为 (3)或． 【分析】（1）①根据正方形的性质得出角，然后利用锐角三角函数得出线段之间的比值；②同①得出线段之间的比值，然后证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解； （2）利用正方形的性质得出线段之间的比值，然后证明即可得出结论，然后利用三角形内角和以及角的和差求角的度数； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，构造辅助线，利用正方形的性质以及等腰三角形的性质，得出条件证明三角形全等，得出相等的边和角，然后利用勾股定理求出相关线段的长度，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴， 即 ∴； （2）解：略； （3）解：①如图所示，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴，即， 由勾股定理得， ∵四边形为正方形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，且为等腰直角三角形， ∴， ∴； ②如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， 同①可得，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得； 综上，的长为或． 3．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图①，在中，，，以为斜边在上方作等腰． (1)如图②，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接．，． ①求证：； ②求线段的长； (2)如图③，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在直线上，连接，．请直接写出的最小值． 【答案】(1)①证明：∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 即， 在和中 ， ， ； ② (2) 【分析】（1）①由线段绕点顺时针旋转得，得到、，又是等腰直角三角形，，。通过同角减去，推导出，凑出和的全等条件，全等之后直接得到； ②先由①的全等，结合，是中点，得到，再证，得到等腰，建立和的数量关系；再证明，得到，算出长度；再利用中位线定理得到，代入等腰直角三角形的边角关系，求出； （2）先由旋转得到DQ，结合等腰，证明，得到，确定动点的轨迹是过点且垂直于BC的定直线；要求最小，作点关于这条定直线的对称点D'，根据轴对称性质，则，当，，三点共线时取最小值，最后构造直角三角形，用勾股定理算出的长，即为最小值． 【详解】（1）解：①略 ②连接，， ，分别是，边上的中线，， ，， ， ，即， ∴是等腰直角三角形， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， 点是的中点， ∵点是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：的最小值． 理由：如图，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，是等腰直角三角形， ，，，， ，即， 在和中： ， ， ， ， ∴点在与垂直且垂足为点的直线上运动， 以直线为对称轴，作的对称点，连接交直线于点， 连接交直线于点，此时，最短， 过点作于点， ∴四边形为矩形， ，， 在等腰中，， 在等腰中，， ， 过作的垂线，交的延长线于点， 则四边形为矩形， ，， ， 在中，， 的最小值． 【点睛】本题是几何变换综合题，围绕等腰直角三角形的性质、旋转的全等特性、中点模型、最值转化四大核心考点展开，解题的关键思路锚定旋转构造全等． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十二章 锐角三角函数 32.2.1 解直角三角形 知识点一 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据： 在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a、b、c 1）三边之间的关系：（勾股定理）. 2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 3）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【易错点】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 即学即练 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 2．（2022·浙江杭州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，是上的高．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北承德·二模）如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 知识点二 解直角三角形的常见类型 即学即练 1．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，则⁠___________． 2．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）在平行四边形中，，，，则的长度为__________． 3．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 4．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，是上一点，，则的长为__________． 题型01 已知两边解直角三角形 典｜例｜精｜析 例1（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，则_____________________，_________________． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，． （1）若，则的余弦值为______； （2）若，则的余弦值为______； （3）若，则的长为______，的长为______． 3．（26-27九年级下·全国·单元测试）如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 题型02 已知一锐角和一边解直角三角形 典｜例｜精｜析 例2（2022·浙江丽水·模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江杭州·二模）如图，在中，，，是边上的高线．以点C为圆心，为半径画弧，交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，，线段垂直平分，交于点，交于点，若cm，则的长为（     ） A．cm B．cm C．cm D．cm 题型03 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形 典｜例｜精｜析 例3（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图在中，，，，则的值为______． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，分别为斜边上的高和中线，，，若，则________． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为________． 3．（26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，，，，则的度数为________． 题型04 解一图多直角三角形 典｜例｜精｜析 例4．（26-27九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，于，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的相关知识后，尝试利用所学知识测量小河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿水平面向着大树的方向走米到达小河近岸边的点处（点，，在同一条直线上），在点处测得大树顶端的仰角为，则大树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（22-23九年级下·四川内江·开学考试）如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在中，，边上的高是8，当最小时，_____． 题型05 解非直角三角形 典｜例｜精｜析 例5（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长度为_________． 3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，若，，，则___________． 题型06 四边形中解直角三角形 典｜例｜精｜析 例6（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，将一副三角板拼成四边形为边的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·福建莆田·期中）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点E，连接，交于点F，若，，则的长为_______． 3．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，在中，若，，，点E是的中点，将绕点A逆时针旋转得到，连接，那么 （1）边上的高等于____________________； （2）的面积等于____________________． 题型07 网格中解直角三角形 典｜例｜精｜析 例7 （25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则______． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值是______．    题型08 坐标系中解直角三角形 典｜例｜精｜析 例8（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 变｜式｜巩｜固 1．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 2．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是_______． 3．（2023·山西忻州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线经过边的中点D，若，则k的值为________．    题型09 解直角三角形与函数 典｜例｜精｜析 例9（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，是边的中点，点在斜边上，从点出发，运动到点时停止，设为，为．如图，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列结论正确的有（   ）个 ；；；的最小值为 A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 2．（2024·河南郑州·三模）如图①，在中，，点是边的中点，点是边上一动点，设，图②是关于的函数图象，其中是图象中的最低点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·三模）如图，在中，，，点D、E、F分别是边、、上的动点且为等边三角形，设，，则y关于x的函数表达式是______． 题型10 解直角三角形与几何综合 在四边形、圆等几何问题中，若题目给出某个锐角的三角函数值，则可根据此条件，解这个角(或其等角)所在的直角三角形，得到线段长度，进而得出其他结论. 典｜例｜精｜析 例10（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，已知，以为一边作等边，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)_______；若，，，则_________． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·广西贵港·期中）【情境再现】 (1)如图1所示，在正方形中，点，分别在边，上，且．请你直接写出线段与的数量关系是__________； 【探究迁移】 (2)如图2所示，在矩形中，若，点，，，分别在矩形的边，，，上，且．请你猜测是多少，并证明你的猜测结果的正确性； 【拓展应用】 (3)如图3所示，在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，，则的长是__________． 2．（26-27九年级上·山东济南·期中）【问题发现】 (1)如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，过点E作交于点F，连接． ①的值是 ； ②线段与的数量关系是 ； 【初步探究】 (2)在（1）的条件下，将等腰绕点A顺时针旋转（），分别写出：线段与的数量关系和直线与所夹锐角的度数，并说明理由； 【拓展迁移】 (3)如图3，正方形的边长为2，等腰中，，，将绕正方形的顶点旋转一周，当，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 3．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图①，在中，，，以为斜边在上方作等腰． (1)如图②，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接．，． ①求证：； ②求线段的长； (2)如图③，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在直线上，连接，．请直接写出的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $