专题33.1 投影（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学下册
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内容正文：
简一数理 初中专题讲义
专题33.1 投影
知识点一.投影 2
知识点二.平行投影 2
知识点三.中心投影 3
知识点四.正投影 3
【题型 1 正投影】 3
【题型 2 平行投影】 4
【题型 3 中心投影】 5
【题型 4 视点、视角和盲区】 6
【题型 5 平行投影与中心投影辨析区分】 8
【题型 6 投影光源定位与作图原理】 9
【题型 7 分段投影实际应用（重难点）】 10
【题型 8 投影综合概念辨析与易错点】 13
【探究式学习】 14
【课后检测】 16
【复盘笔记】 20
知识点一.投影
投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
形成投影需满足三个条件：1）光源；2）投影面；3)物体.
知识点二.平行投影
平行投影的定义：太阳光线可以看成平行光线，像这样由平行光线形成的投影叫做平行投影.
平行投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图1），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的影子一样长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图2），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，并且都等于物体本身的长度.
3）不等高的物体垂直地面放置时（图3），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的物高与影长成正比例，即：（或），利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
图1 图2 图3
知识点三.中心投影
中心投影的定义：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）
中心投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图4），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图5），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
图4 图5
知识点四.正投影
正投影：在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，当就称为正投影.
平面图形的正投影记忆口诀：平行形状不变，倾斜形状改变，垂直变成线段.（简称;平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段.）
【题型 1 正投影】
· 正投影定义：平行光线垂直于投影面产生的投影，属于特殊的平行投影
· 常见几何体正投影规律：线段、平面图形（矩形、圆形、三角形）的投影形态变化
· 物体与投影面平行、垂直、倾斜三种位置下的投影大小、形状变化
· 正投影的特性：平行性、等比性，垂直投影可缩为点、线段
【例 1】如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【变式 1‑1】如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【变式 1‑2】下列说法正确的有（ ）
①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式 1‑3】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（ ）
A． B． C． D．
【题型 2 平行投影】
· 平行投影定义：平行光线（太阳光）形成的投影，光线永不相交
· 平行投影核心性质：同一时刻，不同物体高度与影长成正比
· 阳光下影子的动态变化：早晚影长、方向变化规律
· 平行投影与正投影的包含关系：正投影是特殊的平行投影
【例 2】如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（ ）
A． B． C． D．
【变式 2‑1】一张长方形卡纸在太阳光的照射下落在地面上的影子的形状不可能是（ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【变式 2‑2】某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（ ）
A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米
【变式 2‑3】如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【题型 3 中心投影】
· 中心投影定义：点光源（灯光、手电筒）发出的汇聚光线形成的投影
· 核心特征：光线交于一点，影长与物体、光源的距离密切相关
· 动态规律：物体靠近/远离光源、投影面时，影子长短的变化规律
· 中心投影的成像特点：近大远小，无固定高度影长比例
【例 3】手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（ ）
A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米
【变式 3‑1】如图，将木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒照射木棒，在墙面上形成投影，过点作，分别与，交于点，，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式 3‑2】如图，晚上小明从路灯走向路灯．当他走到点时，他身后的影子的顶部刚好落在点处；当他再向前步行一段距离到达点时，他身前影子的顶部刚好落在点处．两个路灯的高度都是9m，则与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式 3‑3】一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（ ）
A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米
【题型 4 视点、视角和盲区】
· 基础概念：视点（观测点）、视角（视线夹角）、盲区（视线遮挡区域）
· 人与障碍物距离变化对视角、盲区大小的影响
· 生活应用：座位设计、遮挡视野、观景范围分析
· 盲区的判定逻辑：视线被遮挡的不可观测区域
【例 4】“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度
【变式 4‑1】如图，从点观测建筑物的视角是（ ）
A． B． C． D．
【变式 4‑2】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A． B． C． D．四边形
【变式 4‑3】为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）．
测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为．
问题解决：
(1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）；
(2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积；
(3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）；
②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）
【题型 5 平行投影与中心投影辨析区分】
· 本质区分：光线平行（平行投影）vs 光线汇聚（中心投影）
· 判定方法：连接物体顶端与影子顶端，光线平行/相交判定投影类型
· 场景分类：天然光（太阳光）、人工点光源（灯光）投影归属
· 两种投影的性质差异：是否存在固定高影比、成像缩放规律差异
【例 5】下列关于投影的描述，不正确的是（ ）
A．在阳光下，同一时刻不同物体的高度与影长的比值是一个定值
B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形
C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关
D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图
【变式 5‑1】下列判断正确的是（ ）
A．两点之间垂线段最短
B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．点关于y轴的对称点在第一象限
D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等
【变式 5‑2】下列描述正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形
B．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影
C．若点C是线段的黄金分割点，，则
D．正三棱柱的俯视图为等边三角形
【变式 5‑3】以下说法错误的是（ ）
A．三角形的外心到三角形各边的距离相等
B．由平行光线形成的投影叫做平行投影
C．由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影
D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
【题型 6 投影光源定位与作图原理】
· 中心投影光源定位：利用两组物体与影子的顶端连线，交点即为点光源
· 已知光源，绘制物体影子的作图逻辑
· 平行投影光线绘制：所有光线互相平行
· 根据光源/光线位置，判断影子的方位、有无
【例 6】在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，某条道路上安装路灯的路面比旁边农田的地面高（即），在路灯的照射下，路基在农田地面上留下的影长为，已知点E、P、Q在同一直线上，于点B，于点P，．
(1)此光源下形成的投影属于_______；（填“平行投影”或“中心投影”）
(2)求路灯的高度．
【变式 6‑1】三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）．
(1)根据竹竿和灯光下的影子，确定光源的位置；
(2)画出影子为的竹竿（用线段表示）；
(3)若将光源竖直向上移动，则影子的长度__________（单选题）
A．变长 B．不变 C．变短 D．无法确定
【变式 6‑2】如图，白鹭洲国家湿地公园广场有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和．测得的影长等于，且点N，B，C在同一条直线上．
(1)请画出标杆的影子；
(2)若，求灯柱的高度．
【变式 6‑3】（1）三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）．
（2）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率．
【题型 7 分段投影实际应用（重难点）】
· 分段投影模型：影子分为地面、墙面、坡面、平台多段组合形式
· 平行投影相似比例应用：利用同一时刻高影比恒定求解物体高度
· 分段拆解思想：拆分不同接触面的投影，分别计算再整合
· 光线角度变化对分段影子长度、高度的影响分析
【例 7】为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为1.5米，落在地面上的影长为3米．
(1)该小组同学是利用______投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）
(2)求这棵树的高度．
【变式 7‑1】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影．
(1)【画图操作】画出图1中光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长；
(2)【数学思考】
如图2，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______；
(3)【解决问题】
如图3，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处，测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度．
【变式 7‑2】综合与实践：投影中的数学．
(1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置．
①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹）
②已知木杆，则影长 m， m；
(2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影．
①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹）
②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度．
【变式 7‑3】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆平行于轴，木杆两端的坐标分别为．
(1)画出木杆在轴上的投影；
(2)求出其投影的长．
【题型 8 投影综合概念辨析与易错点】
· 三类投影（正投影、平行投影、中心投影）的包含与并列关系
· 高频易错点：正投影≠全部投影、中心投影无固定影长比例
· 投影形状误区：平面图形投影不一定与原图形全等、相似
· 结合视点盲区的综合场景判断，整合本章所有基础概念
【例 8】下列关于投影的说法正确的是（ ）
A．平行投影中的光线是聚成一点的
B．线段的正投影还是线段
C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆
D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同
【变式 8‑1】下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（ ）
A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影
B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形
C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影
D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理
【变式 8‑2】下列说法中，正确的是（ ）
A．物体在手电筒的光线下产生的投影是平行投影
B．所有的长方形都相似
C．点在反比例函数的图象上
D．正三棱柱的俯视图一定是正三角形
【变式 8‑3】以下结论正确的是（ ）
A．相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直弦
C．若的边长同时扩大两倍，不变 D．线段的正投影是线段
【探究式学习】
1．数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下：
实践探究一：
如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况．
(1)请判断长度的变化情况为：______________；
A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．不变
(2)请证明（1）的结论；
实践探究二：
(3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度．
2．
探究活动主题
物体在不同光源下的影子
情境一：阳光下的测量
如图1，广场上的景观灯与地面垂直．某日上午，身高的小陈刚好站在景观灯影子的顶端点A处，并做了标记．测量发现景观灯底座中心O，影子顶端A，小陈影子顶端M三点共线．此时小陈的影子长，且点A到景观灯底座中心O的距离．
情境二：灯光下的变化
如图2，到了晚上，小陈从做了标记的A点沿着A→O方向走了到达B点．
问题解决
（1）请根据情境一中的数据求出景观灯的高度；
（2）请在图2中画出小陈站在A点和B点时，在景观灯（点P为光源）照射下形成的影子；
（3）判断小陈在B点时影子的长度比在A点时影子的长度变长了还是变短了，并求出变化了多少米．
【课后检测】
1．晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（ ）
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长
2．夜晚路灯下行人的影子属于（ ）
A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影
3．小志的身高和小明的身高一样，在同一路灯下比较他们的影子，则（ ）
A．小明的长 B．小志的长 C．一样长 D．无法判断
4．唐代李白在《日出行》一诗中这样写着：“日出东方隈，似从地底来．”描述的是日出的景象，意思是太阳从东方升起，好像从地底出来．如图，此时观测到海平线和太阳所成的图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列判断正确的是（ ）
A．4的平方根是
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．若点关于x轴的对称点在第二象限，则
D．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长
6．在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（ ）
A．的面积为 B．的周长为
C． D．
8．下列不是中心投影的是（ ）
A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影
C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子
9．下面四幅图是两个物体在不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（ ）
A．①→②→③→④ B．②→①→④→③
C．③→④→①→② D．①→③→②→④
10．下列说法正确的是（ ）
A．两个正五边形一定互为位似图形
B．物体在夜晚路灯照射下所形成的影子长度只与该物体的高度有关
C．取菱形四边的中点连成的中点四边形一定也是菱形
D．经过矩形对角线交点的任意直线，都能将这个矩形的面积平分
11．教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______．
12．如图小树高，在路灯M的照射下形成投影，树与路灯的距离．则路灯高为______．
13．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______．
14．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆为，它的影长为，同一时刻旗杆的影长EF为，已知点，，，在同一水平线上，则旗杆的高度为________．
15．三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________．
16．如图，成都公园内有一塔楼，其垂直于水平地面，有一天，小明去该公园玩耍，看到此塔，他萌生了测量其高度的想法．他观察到阳光下塔的影子落在地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为100米，坡面上的影长为20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米．
(1)求点C到水平地面的距离；
(2)求小明测得的塔楼高度．
【复盘笔记】
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简一数理 初中专题讲义
专题33.1 投影
知识点一.投影 2
知识点二.平行投影 2
知识点三.中心投影 3
知识点四.正投影 3
【题型 1 正投影】 3
【题型 2 平行投影】 6
【题型 3 中心投影】 9
【题型 4 视点、视角和盲区】 12
【题型 5 平行投影与中心投影辨析区分】 15
【题型 6 投影光源定位与作图原理】 17
【题型 7 分段投影实际应用（重难点）】 21
【题型 8 投影综合概念辨析与易错点】 27
【探究式学习】 29
【课后检测】 33
【复盘笔记】 43
知识点一.投影
投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
形成投影需满足三个条件：1）光源；2）投影面；3)物体.
知识点二.平行投影
平行投影的定义：太阳光线可以看成平行光线，像这样由平行光线形成的投影叫做平行投影.
平行投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图1），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的影子一样长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图2），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，并且都等于物体本身的长度.
3）不等高的物体垂直地面放置时（图3），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的物高与影长成正比例，即：（或），利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
图1 图2 图3
知识点三.中心投影
中心投影的定义：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）
中心投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图4），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图5），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
图4 图5
知识点四.正投影
正投影：在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，当就称为正投影.
平面图形的正投影记忆口诀：平行形状不变，倾斜形状改变，垂直变成线段.（简称;平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段.）
【题型 1 正投影】
· 正投影定义：平行光线垂直于投影面产生的投影，属于特殊的平行投影
· 常见几何体正投影规律：线段、平面图形（矩形、圆形、三角形）的投影形态变化
· 物体与投影面平行、垂直、倾斜三种位置下的投影大小、形状变化
· 正投影的特性：平行性、等比性，垂直投影可缩为点、线段
【例 1】如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可．
【详解】解：如图，过作，交于点，
∵一条线段在平面内的正投影为，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴锐角，
即与的夹角为．
【变式 1‑1】如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正投影的概念，熟练掌握平行光线垂直于投影面时的投影为正投影是解题关键．
当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓．
【详解】解：当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱边在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓．
故选：C ．
【变式 1‑2】下列说法正确的有（ ）
①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是投影的含义，由投影的含义结合图形的形状逐一分析判断即可．
【详解】解：①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点，正确；
②当长方形的对角线垂直于投影面时，其正投影是一条线段；错误；
③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；正确；
④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．正确；
故选：C
【变式 1‑3】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B作于点C，利用锐角三角函数求出的长即可．
【详解】解：过点B作于点C，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
【题型 2 平行投影】
· 平行投影定义：平行光线（太阳光）形成的投影，光线永不相交
· 平行投影核心性质：同一时刻，不同物体高度与影长成正比
· 阳光下影子的动态变化：早晚影长、方向变化规律
· 平行投影与正投影的包含关系：正投影是特殊的平行投影
【例 2】如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解．
【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长，
此时物高与影长的比为，
树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为，
该点距大树的水平距离为，
设大树的高度为，
，
解得，
大树的高度约是．
【变式 2‑1】一张长方形卡纸在太阳光的照射下落在地面上的影子的形状不可能是（ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【答案】A
【分析】太阳光线是平行光线，属于平行投影，根据平行投影的特点判断即可．
【详解】解：∵太阳光是平行投影，长方形卡纸的两组对边互相平行，
∴平行直线在平行投影下得到的投影仍然互相平行，
因此长方形影子的两组对边依然分别平行，影子一定是对边平行的平行四边形，矩形，正方形都是特殊的平行四边形，都可以形成，
梯形只有一组对边平行，不可能满足两组对边分别平行的特点，因此不可能得到梯形的影子．
【变式 2‑2】某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（ ）
A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米
【答案】C
【分析】如图，延长，交的延长线于点，同一时刻物高与影长成比例，可得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可．
【详解】解：如图，延长，交的延长线于点，
根据题意得：米，米，米，米，
∵同一时刻物高与影长成比例，
∴，
∴，
∴，
又，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（米）．
【变式 2‑3】如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了平行投影，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长．
【详解】作于点，如图，
则四边形为矩形，，，
根据题意得，
即，
解得，
所以．
故选：．
【题型 3 中心投影】
· 中心投影定义：点光源（灯光、手电筒）发出的汇聚光线形成的投影
· 核心特征：光线交于一点，影长与物体、光源的距离密切相关
· 动态规律：物体靠近/远离光源、投影面时，影子长短的变化规律
· 中心投影的成像特点：近大远小，无固定高度影长比例
【例 3】手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（ ）
A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示手影，则，作于点，延长交于，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，如下图：
即，
又，
∴，
∴，
即，
∴光源与小明的距离应减小米．
【变式 3‑1】如图，将木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒照射木棒，在墙面上形成投影，过点作，分别与，交于点，，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
【变式 3‑2】如图，晚上小明从路灯走向路灯．当他走到点时，他身后的影子的顶部刚好落在点处；当他再向前步行一段距离到达点时，他身前影子的顶部刚好落在点处．两个路灯的高度都是9m，则与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【详解】解：由题意可知：，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
．
【变式 3‑3】一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（ ）
A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵米，米，米
则米，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，则米，
∴，
∴米，
故选：B．
【题型 4 视点、视角和盲区】
· 基础概念：视点（观测点）、视角（视线夹角）、盲区（视线遮挡区域）
· 人与障碍物距离变化对视角、盲区大小的影响
· 生活应用：座位设计、遮挡视野、观景范围分析
· 盲区的判定逻辑：视线被遮挡的不可观测区域
【例 4】“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度
【答案】B
【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可．
【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误；
选项B，减少盲区，正确；
选项C，不可能改变光点，错误；
选项D，不是增加亮度，选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区．
【变式 4‑1】如图，从点观测建筑物的视角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．
【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为，
故选：A．
【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义．
【变式 4‑2】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A． B． C． D．四边形
【答案】C
【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可．
【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断．
【变式 4‑3】为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）．
测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为．
问题解决：
(1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）；
(2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积；
(3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）；
②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）
【答案】(1)如图所示：
盲区长度为；
(2)如图所示
；
(3)①减小；②增大
【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解；
（2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）结合（1）（2）求解即可．
【详解】（1）解：图略
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴盲区长度为；
（2）解：图略
作于，交于，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴（平方米）；
（3）解：①∵，即，
∴，
当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小；
②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变，
∴视野盲区面积会增大．
【题型 5 平行投影与中心投影辨析区分】
· 本质区分：光线平行（平行投影）vs 光线汇聚（中心投影）
· 判定方法：连接物体顶端与影子顶端，光线平行/相交判定投影类型
· 场景分类：天然光（太阳光）、人工点光源（灯光）投影归属
· 两种投影的性质差异：是否存在固定高影比、成像缩放规律差异
【例 5】下列关于投影的描述，不正确的是（ ）
A．在阳光下，同一时刻不同物体的高度与影长的比值是一个定值
B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形
C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关
D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图
【答案】C
【详解】解：A.阳光下的投影为平行投影，同一时刻不同物体的高度与影长的比值为定值，说法正确，不符合题意；
B.矩形纸板在平行投影下，对边的投影仍可以互相平行，投影可以是平行四边形，说法正确，不符合题意；
C.物体在光线下的投影大小不仅和物体本身大小有关，还与光线方向、物体和投影面的位置关系有关，说法错误，符合题意；
D.主视图是平行光线垂直投影面时的平行投影，物体在平行投影下可以得到自己的主视图，说法正确，不符合题意.
【变式 5‑1】下列判断正确的是（ ）
A．两点之间垂线段最短
B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．点关于y轴的对称点在第一象限
D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等
【答案】C
【详解】解：A、两点之间线段最短，点到直线的距离中才是垂线段最短，概念混淆，错误；
B、平行四边形只是中心对称图形，不是轴对称图形，错误；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴点在第二象限，
∴点关于轴的对称点横纵坐标都为正，故对称点在第一象限，正确；
D、只有同一时刻同一地点，身高相同且直立的人在阳光下的影长才相等，选项缺少前提条件，错误．
【变式 5‑2】下列描述正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形
B．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影
C．若点C是线段的黄金分割点，，则
D．正三棱柱的俯视图为等边三角形
【答案】D
【分析】本题为概念辨析题，考查菱形判定、投影分类、黄金分割定义和几何体三视图的基础概念，逐一辨析选项即可得到结果．
【详解】解：∵对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线垂直的任意四边形不一定是菱形，故A错误；
∵灯光属于点光源，点光源下的影子是中心投影，平行投影由平行光线形成，故B错误；
∵点C是线段的黄金分割点，题目未说明是较长线段，因此有两种情况，即或，故C错误；
∵正三棱柱上下底面为等边三角形，其俯视图为等边三角形，描述正确，故D正确，
综上，描述正确的是D．
【变式 5‑3】以下说法错误的是（ ）
A．三角形的外心到三角形各边的距离相等
B．由平行光线形成的投影叫做平行投影
C．由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影
D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
【答案】A
【分析】本题考查三角形外心性质、平行投影与中心投影的定义、切线长定理，需逐一辨析各选项的正误
【详解】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，到各边距离相等的是三角形的内心（角平分线交点），选项A说法错误；
B．平行投影的定义是由平行光线形成的投影，选项B说法正确；
C．中心投影的定义是由同一点发出的光线形成的投影，选项C说法正确；
D．根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，选项D说法正确．
故选A．
【题型 6 投影光源定位与作图原理】
· 中心投影光源定位：利用两组物体与影子的顶端连线，交点即为点光源
· 已知光源，绘制物体影子的作图逻辑
· 平行投影光线绘制：所有光线互相平行
· 根据光源/光线位置，判断影子的方位、有无
【例 6】在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，某条道路上安装路灯的路面比旁边农田的地面高（即），在路灯的照射下，路基在农田地面上留下的影长为，已知点E、P、Q在同一直线上，于点B，于点P，．
(1)此光源下形成的投影属于_______；（填“平行投影”或“中心投影”）
(2)求路灯的高度．
【答案】(1)中心投影
(2)路灯的高度为4.5米
【分析】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
（1）根据由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影解答即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例得出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵路灯是点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影．
故答案为：中心投影；
（2）解：由题意，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：路灯的高度为4.5米．
【变式 6‑1】三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）．
(1)根据竹竿和灯光下的影子，确定光源的位置；
(2)画出影子为的竹竿（用线段表示）；
(3)若将光源竖直向上移动，则影子的长度__________（单选题）
A．变长 B．不变 C．变短 D．无法确定
【答案】(1)
如图所示，点为光源的位置；
(2)如图所示，为所求；
(3)C
【分析】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．
（1）作射线与射线，交点G即为所求；
（2）作射线，作交于点C，即为所求；
（3）画出升高后的光源，再作出的影子即可得出答案．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由图可知，影子的长度变短．
故选：C．
【变式 6‑2】如图，白鹭洲国家湿地公园广场有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和．测得的影长等于，且点N，B，C在同一条直线上．
(1)请画出标杆的影子；
(2)若，求灯柱的高度．
【答案】(1)
如图所示的影子为；
(2)灯柱的高度为
【分析】（1）本题考查投影，根据光沿直线传播，连接并延长，交的延长线于点，即可画出标杆的影子．
（2）本题考查相似三角形的性质和判定，设灯柱的高度为x m，根据题意证明，得到，再证明，得到，利用等量代换建立等式，即可解题．
【详解】（1）略
（2）解：由题意可知，，，
即，
设灯柱的高度为x m，根据题意，得由，得，
即，
代入数据，化简得，
由，得，，
即，
代入数据，化简得，
，
（m），
答：灯柱的高度为．
【变式 6‑3】（1）三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）．
（2）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率．
【答案】
（1）如图，光源的位置，线段即为所求：
（2）
【分析】本题考查了中心投影、概率的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）延长与交于点，连接，再过点作交于点，则图形即为所求；
（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可．
【详解】解：（1）略
（2）画出树状图如下：
由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种，
则概率为，
答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为．
【题型 7 分段投影实际应用（重难点）】
· 分段投影模型：影子分为地面、墙面、坡面、平台多段组合形式
· 平行投影相似比例应用：利用同一时刻高影比恒定求解物体高度
· 分段拆解思想：拆分不同接触面的投影，分别计算再整合
· 光线角度变化对分段影子长度、高度的影响分析
【例 7】为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为1.5米，落在地面上的影长为3米．
(1)该小组同学是利用______投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）
(2)求这棵树的高度．
【答案】(1)平行
(2)5.25米
【分析】（1）太阳光可认为是平行光线，故太阳光线下形成的投影是平行投影；
（2）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【详解】（1）太阳光可认为是平行光线，故太阳光线下形成的投影是平行投影；
（2）设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则
解得：x=3.75．
∴树高是3.75+1.5=5.25（米），
答：树高为5.25米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【变式 7‑1】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影．
(1)【画图操作】画出图1中光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长；
(2)【数学思考】
如图2，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______；
(3)【解决问题】
如图3，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处，测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度．
【答案】(1)
(2)D
(3)灯杆的高度为
【分析】（1）利用中心投影中“光线、物体顶端、影子顶端”三点共线的性质确定光源位置，进而画出影长；
（2）分析小明经过路灯正下方前后，影长随距离变化的趋势（先变短后变长），从而匹配函数图象；
（3）利用相似三角形对应边成比例，建立关于未知线段长度的方程，求出相关线段长，进而求出灯杆高度．
【详解】（1）略
（2）解：小明从点A出发走向路灯C的正下方，随着他与路灯水平距离的减小，他的影长y逐渐变短；当他经过路灯正下方后继续走向点B，随着他与路灯水平距离的增大，他的影长y逐渐变长．
观察选项，只有D符合．
（3）解：∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴灯杆的高度为．
【变式 7‑2】综合与实践：投影中的数学．
(1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置．
①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹）
②已知木杆，则影长 m， m；
(2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影．
①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹）
②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度．
【答案】(1)①如图，投影，即为所求；②3，；
(2)①如图，灯泡P即为所求；
②
【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可；
②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可；
（2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可．
【详解】（1）解：①作图见答案；
②由平行投影可得，，，
∵地面，
∴
∴，
∵
∴，解得（舍负）
（2）解：①略
②过点分别作，，垂足为点，
由题意得，，
∴
∵，
∴
∴，
∵，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，即路灯灯泡距离地面的高度为．
【变式 7‑3】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆平行于轴，木杆两端的坐标分别为．
(1)画出木杆在轴上的投影；
(2)求出其投影的长．
【答案】(1)如图所示，投影即为所求；
(2)
【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）连接，并延长分别交x轴于点C，D即为所求；
（2）如图，过作轴于，交于，证明出，得到，然后代入求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过作轴于，交于，
．
，
，
，
，
，
．
【题型 8 投影综合概念辨析与易错点】
· 三类投影（正投影、平行投影、中心投影）的包含与并列关系
· 高频易错点：正投影≠全部投影、中心投影无固定影长比例
· 投影形状误区：平面图形投影不一定与原图形全等、相似
· 结合视点盲区的综合场景判断，整合本章所有基础概念
【例 8】下列关于投影的说法正确的是（ ）
A．平行投影中的光线是聚成一点的
B．线段的正投影还是线段
C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆
D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同
【答案】C
【分析】根据平行投影和视图的关系进行判断即可．
【详解】解：A、平行投影中的光线是平行的，故此选项不符合题意；
B、线段的正投影可能是线段，有可能是点，故此选项不符合题意；
C、圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆，故此选项符合题意；
D、若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高不一定相同，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影，解题的关键是掌握平行投影的性质和投影的意义．
【变式 8‑1】下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（ ）
A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影
B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形
C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影
D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理
【答案】A
【分析】本题主要考查投影，熟练掌握投影与视图是解题的关键．根据投影和视图的定义进行判断即可．
【详解】解：生活中，由灯泡发出的光线形成的投影不叫做正投影，故选项A错误，符合题意；
正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形，故选项B正确，不符合题意；
日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影，故选项C正确，不符合题意；
三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理，故选项D正确，不符合题意；
故选A．
【变式 8‑2】下列说法中，正确的是（ ）
A．物体在手电筒的光线下产生的投影是平行投影
B．所有的长方形都相似
C．点在反比例函数的图象上
D．正三棱柱的俯视图一定是正三角形
【答案】C
【分析】本题考查了投影，相似图形，反比例函数图象上点的坐标特征，三视图；
【详解】解：A.物体在手电筒的光线下产生的投影是中心投影，原说法错误；
B.长方形的对应边不一定成比例，故不一定都相似，原说法错误；
C.当时，，故点在反比例函数的图象上，说法正确；
D.正三棱柱的俯视图根据摆放方式的不同而变化，不一定是正三角形，原说法错误；
故选：C．
【变式 8‑3】以下结论正确的是（ ）
A．相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直弦
C．若的边长同时扩大两倍，不变 D．线段的正投影是线段
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的推论，三角函数的定义，投影的定义．根据垂径定理的推论，三角函数的定义，投影的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、相等的弦所对的圆周角不一定相等，本选项不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直弦，本选项不符合题意；
C、若的边长同时扩大两倍，不变，本选项符合题意；
D、线段的正投影是线段也可能是一个点，本选项不符合题意；
故选：C．
【探究式学习】
1．数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下：
实践探究一：
如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况．
(1)请判断长度的变化情况为：______________；
A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．不变
(2)请证明（1）的结论；
实践探究二：
(3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度．
【答案】(1)C
(2)证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为，
∴、、的值不变，
∴的值不变，即长度不变，
∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变；
(3)
【分析】（1）（2）根据中心投影的特点可得，接着证明，利用相似三角形对应边成比例推出，然后由、、均为定值即可得出结论；
（3）证明，，再根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例推出，，代入数据可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为，
∴、、的值不变，
∴的值不变，即长度不变，
∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变；
（2）略
（3）解：∵，，，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴此时投影的长度为．
2．
探究活动主题
物体在不同光源下的影子
情境一：阳光下的测量
如图1，广场上的景观灯与地面垂直．某日上午，身高的小陈刚好站在景观灯影子的顶端点A处，并做了标记．测量发现景观灯底座中心O，影子顶端A，小陈影子顶端M三点共线．此时小陈的影子长，且点A到景观灯底座中心O的距离．
情境二：灯光下的变化
如图2，到了晚上，小陈从做了标记的A点沿着A→O方向走了到达B点．
问题解决
（1）请根据情境一中的数据求出景观灯的高度；
（2）请在图2中画出小陈站在A点和B点时，在景观灯（点P为光源）照射下形成的影子；
（3）判断小陈在B点时影子的长度比在A点时影子的长度变长了还是变短了，并求出变化了多少米．
【答案】（1）景观灯的高为17米；
（2）如图所示，线段和线段分别是小陈站在A点和B点时，在景观灯照射下形成的影子；
（3）小陈影子的长度变短了，变短了1米
【分析】本题考查了平行投影和中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可；
（2）根据中心投影画出图形即可；
（3）先证明，，再根据相似三角形的性质，，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得，，
，
，
，
，
答：景观灯的高为17米；
（2）略
（3）如（2）图所示，根据题意得，，
，
，
，，，
，
解得：，
，，
，
，
，，，
，
解得：，
，
答：小陈影子的长度变短了，变短了1米．
【课后检测】
1．晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（ ）
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长
【答案】D
【分析】从一天中太阳高度的变化规律切入，推导纪念碑影子的长度变化.
【详解】解：从早到晚，太阳高度先变大后变小. 同一物体在太阳光下的影子长度随太阳高度增大而变短，随太阳高度减小而变长. 因此纪念碑的影子先变短后变长.
2．夜晚路灯下行人的影子属于（ ）
A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影
【答案】A
【分析】从路灯光源类型入手，结合投影的分类定义判断.
【详解】解：∵路灯属于点光源，点光源形成的投影为中心投影.
∴夜晚路灯下行人的影子属于中心投影.
3．小志的身高和小明的身高一样，在同一路灯下比较他们的影子，则（ ）
A．小明的长 B．小志的长 C．一样长 D．无法判断
【答案】D
【分析】根据影长由身高和人到路灯的距离共同决定，即可判断．
【详解】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
4．唐代李白在《日出行》一诗中这样写着：“日出东方隈，似从地底来．”描述的是日出的景象，意思是太阳从东方升起，好像从地底出来．如图，此时观测到海平线和太阳所成的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】海平线以下的部分是看不见的，用虚线表示，海平线以上的是看得见的，用实线表示，据此可得答案．
【详解】解：根据题意可知此时观测到海平线和太阳所成的图形是．
5．下列判断正确的是（ ）
A．4的平方根是
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．若点关于x轴的对称点在第二象限，则
D．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长
【答案】C
【分析】本题考查平方根的定义，垂线的性质，关于x轴对称点的坐标特征，中心投影的特点，逐一分析各选项涉及的知识点，即可判断正误得到答案．
【详解】解：选项A：的平方根是，不是只有，则A错误；
选项B：垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项缺少“同一平面内”的前提，表述不严谨，则 B错误；
选项C：点关于x轴的对称点坐标为，若对称点在第二象限，则纵坐标，可得，则C正确；
选项D：夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长由长变短，则D错误．
6．在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的应用，分式方程的应用，如图，设直射灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、，根据题意知：，，证明，，进一步推出，代入数据求解即可．解题的关键是正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
【详解】解：如图，设直射筒灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、，
根据题意知：，，
∴，；，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴直射筒灯距离城墙大约．
故选：A．
7．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（ ）
A．的面积为 B．的周长为
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质，掌握中心投影的概念找出相似比是解题关键．
分别求出、、，再依据中心投影的概念，根据距离相等推出相似比为，利用相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：由题意，得，
，，
由题意，得，，，
由中心投影的性质，可知，相似比为，
∴，故A选项错误；
，故B选项正确；
，，故C、D选项错误，
故选：B．
8．下列不是中心投影的是（ ）
A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影
C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子
【答案】A
【分析】本题考查了中心投影的判断，根据中心投影是指光线从一个点（投影中心）发散形成的投影逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵ 中心投影的光线需从一点发散，
而A中阳光为平行光，光线不从一个点发散，
∴ A不是中心投影，
B、C、D中光源均为点光源，光线从一点发散，是中心投影，
故选：A．
9．下面四幅图是两个物体在不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（ ）
A．①→②→③→④ B．②→①→④→③
C．③→④→①→② D．①→③→②→④
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行投影（太阳光下影子）的变化规律，熟练掌握“从早晨到傍晚物体影子的指向及影长变化特点”是解题的关键．根据太阳光下影子的变化规律（从早晨到傍晚，物体影子的指向从西→西北→北→东北→东，且影长先变短后变长），判断四幅图的时间先后．
【详解】解：∵太阳光下影子的变化规律（从早晨到傍晚，物体影子的指向从西→西北→北→东北→东，且影长先变短后变长）
∴ 影子指向：③（西）→④（西北）→①（北）→②（东北），对应时间先后为③→④→①→②．
故选：C．
10．下列说法正确的是（ ）
A．两个正五边形一定互为位似图形
B．物体在夜晚路灯照射下所形成的影子长度只与该物体的高度有关
C．取菱形四边的中点连成的中点四边形一定也是菱形
D．经过矩形对角线交点的任意直线，都能将这个矩形的面积平分
【答案】D
【分析】本题考查位似图形、影子形成、中点四边形和矩形性质．选项A错误，因为位似图形需要特定位置关系；选项B错误，因为影子长度还受光源和物体距离影响；选项C错误，因为菱形的中点四边形是矩形，不一定是菱形；选项D正确，因为矩形是中心对称图形，经过对称中心的直线平分面积．
【详解】选项A：两个正五边形不一定位似，因为位似要求对应点连线交于一点，而正五边形可能旋转或平移；
选项B：影子长度还取决于物体与光源的距离和角度，不仅与高度有关；
选项C：连接菱形四边中点所得四边形，对边平行于对角线，由于菱形对角线垂直，中点四边形是矩形，但只有当对角线相等时才是菱形，故不一定．
选项D：∵ 矩形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，∴ 经过该点的任意直线将矩形分成两个全等图形，面积相等，故选项D正确．
故选D．
11．教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______．
【答案】
【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度．
【详解】解：因为同一时刻物高与影长成比例，
所以：，
即：，
解得落在地上的影长对应的树的高，
所以树的高度为：．
12．如图小树高，在路灯M的照射下形成投影，树与路灯的距离．则路灯高为______．
【答案】
【分析】根据 得到 ，利用相似三角形对应边成比例列出方程，代入数据求解即可.
【详解】解：∵， ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵，， ，
∴ ，
∴ ，
∴．
13．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______．
【答案】，
【分析】明确投影的分类，投影分为平行投影和中心投影， 再根据各字母投影的光线特征，确定与字母“”投影类型相同的字母．
【详解】平行投影时光线是平行的，光线之间互不相交，如太阳光；中心投影时光线从同一个点发射出来，光线交汇于一点，离光源越近，影子越大，灯光、手电筒等．
观察字母“”的投影，其光线呈现平行特征，因此字母“”的投影属于平行投影；
观察字母“”的投影，其光线交于一点，符合中心投影的特征，故字母“”的投影为中心投影；
观察字母“ ”和“ ”的投影，其光线互相平行，符合平行投影的特征，故字母“ ”和“ ”的投影为平行投影；
∴与字母“”属于同一种投影的字母是，．
14．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆为，它的影长为，同一时刻旗杆的影长EF为，已知点，，，在同一水平线上，则旗杆的高度为________．
【答案】/12米
【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，代入数值计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
、，
，
，
，
，
（）．
15．三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________．
【答案】72
【分析】过点E作于点G，则，在中，根据，设，，根据勾股定理构造方程，可求出．延长交于点H，证明四边形是矩形，得到，．根据三个相同的叶片均匀分布，得到，，从而根据“三线合一”得到，因此通过解直角三角形得到，结合可求出，即可解答．
【详解】解：过点E作于点G，则，
∵在中，，
∴设，，
∵，
∴，解得，（不合题意，舍去），
∴．
延长交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵三个相同的叶片均匀分布，
∴，，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
∴叶片的长度为．
16．如图，成都公园内有一塔楼，其垂直于水平地面，有一天，小明去该公园玩耍，看到此塔，他萌生了测量其高度的想法．他观察到阳光下塔的影子落在地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为100米，坡面上的影长为20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米．
(1)求点C到水平地面的距离；
(2)求小明测得的塔楼高度．
【答案】(1)点C到水平地面的距离为米
(2)小明测得的塔楼高度米
【分析】（1）过作于，根据得到点C到水平地面的距离为；
（2）延长与交于点，先求出，，再根据身高和影长比例一样列式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
过作于，
∴点C到水平地面的距离为（米）；
（2）解：延长与交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米，
∴，
∴，
∴由得到，
由得到，∴小明测得的塔楼高度米．
【复盘笔记】
“化繁为简，一通百通”
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