1.1.2正弦与余弦（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级下册

**北师大版数学九年级下册 1.1.2 正弦与余弦 专项练习**（延续同一模板：60 分、16 题、约 1600 字） --- # 北师大版数学九年级下册 1.1.2 正弦与余弦 专项练习 （满分 60 分　建议用时 40 分钟　姓名＿＿＿　得分＿＿＿） ## 一、知识梳理 - 正弦：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，锐角 A 的**对边**与**斜边**的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA=BC/AB。 - 余弦：锐角 A 的**邻边**与**斜边**的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA=AC/AB。 - 正弦、余弦都要用斜边作分母，正切不用斜边；它们都只与角的大小有关，与三角形的大小无关，比值是纯数，不带单位。 - 特殊值：sin30°=1/2，cos30°=√3/2；sin45°=cos45°=√2/2；sin60°=√3/2，cos60°=1/2。 - 互余关系：sinA=cos(90°-∠A)，cosA=sin(90°-∠A)。 - 取值范围与增减性：0<sinA<1，0<cosA<1，因为直角边总小于斜边；锐角的正弦值随角增大而增大，余弦值随角增大而减小。 - 同一三角形中：∠A+∠B=90°，所以 sinA=cosB，cosA=sinB。 - 平方关系：sin²A+cos²A=1。 ## 二、选择题（每题 3 分，共 21 分） 1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则 sinA 的值是（　　） A. 3/5　　B. 4/5　　C. 3/4　　D. 4/3 2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则 cosB 的值是（　　） A. 5/13　　B. 12/13　　C. 12/5　　D. 5/12 3. sin30°+cos60° 的值等于（　　） A. 1　　B. 1/2　　C. √3/2　　D. √3 4. 若 sinA=√2/2，则锐角 A 的度数为（　　） A. 30°　　B. 45°　　C. 60°　　D. 75° 5. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=3/5，则 cosA 的值是（　　） A. 3/5　　B. 4/5　　C. 3/4　　D. 4/3 6. 下列结论正确的是（　　） A. sin40°<sin50°　　B. cos40°<cos50°　　C. sin40°=cos40°　　D. sin40°>1 7. 若锐角 A 满足 sinA=cos35°，则∠A 的度数是（　　） A. 35°　　B. 45°　　C. 55°　　D. 65° ## 三、填空题（每题 3 分，共 15 分） 8. 计算：sin45°+cos45°=＿＿＿。 9. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=8，AB=17，则 sinA=＿＿＿，cosA=＿＿＿。 10. 若 cosA=1/2，且∠A 为锐角，则∠A=＿＿＿。 11. 若 sinA=5/13，∠A 为锐角，则 cosA=＿＿＿。 12. 比较大小：sin25°＿＿cos65°（填“>”“<”或“=”）。 ## 四、解答题（每题 6 分，共 24 分） 13. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，sinA=3/5。求 BC、AC 的长以及 cosA 的值。 14. 一段斜坡的坡面 AB 长 20 m，坡角 α=30°。求这段斜坡的铅直高度与水平宽度（结果保留根号）。 15. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA=12/13，AB=26。求 AC、BC 的长以及 sinA 的值。 16. 已知∠A 为锐角，sinA=3/5。求 cosA 的值，并验证 sin²A+cos²A=1。 ## 五、参考答案与解析 1. A。由勾股定理得 AB=√(9+16)=5；sinA 表示∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比，即 3/5。选 B 的人把邻边 AC 当成了对边。 2. B。BC=√(13²-5²)=12。∠B 的对边是 AC=5，邻边是 BC=12，斜边 AB=13，所以 cosB=BC/AB=12/13。选 A 是把正弦当成了余弦。 3. A。sin30°=1/2，cos60°=1/2，所以原式=1。正弦与余弦的特殊值要成对记，30° 与 60° 恰好互换。 4. B。sin45°=√2/2，所以∠A=45°。选 C 的人把 √3/2 对应的 60° 记混了。 5. B。sinA=3/5 说明对边:斜边=3:5，邻边占 4 份，所以 cosA=4/5。也可直接用 sin²A+cos²A=1 求。 6. A。正弦值随锐角增大而增大，40°<50°，故 A 正确；余弦值随锐角增大而减小，所以 cos40°>cos50°，B 错误；正弦值恒小于 1，D 也错。 7. C。sinA=cos(90°-∠A)，所以 90°-∠A=35°，∠A=55°。互余关系是本节的常用工具。 8. √2。sin45°=cos45°=√2/2，所以原式=√2。 9. 8/17；15/17。由勾股定理得 AC=√(17²-8²)=15，sinA=BC/AB=8/17，cosA=AC/AB=15/17。这两空对应同一个三角形，分母都是斜边 17，分子分别是∠A 的对边 8 和邻边 15。 10. 60°。cos60°=1/2，所以∠A=60°。注意别与 sin30°=1/2 混淆，正弦得 1/2 时角是 30°。 11. 12/13。由 sin²A+cos²A=1 得 cos²A=1-25/169=144/169，∠A 为锐角，故 cosA=12/13，负根要舍去。也可画一个两直角边为 5、12、斜边为 13 的直角三角形，直接读出 12/13。 12. =。因为 cos65°=sin(90°-65°)=sin25°，所以两式相等。遇到正弦与余弦比较，先化成同一个函数再判断。 13. 由 sinA=BC/AB=3/5 且 AB=10 得 BC=6；由勾股定理得 AC=√(100-36)=8；所以 cosA=AC/AB=8/10=4/5。先由正弦求对边，再用勾股定理补邻边，是本类题的标准顺序。 14. 铅直高度 BC=AB·sin30°=20×1/2=10（m）；水平宽度 AC=AB·cos30°=20×√3/2=10√3（m）。坡角所对的边用正弦求，与坡角相邻的边用余弦求，两条边别用反；也可先由正弦求出高，再用勾股定理求水平宽度，结果同样是 10√3 m。 15. AC=AB·cosA=26×12/13=24；BC=√(26²-24²)=√100=10；sinA=BC/AB=10/26=5/13。本题已知余弦与斜边，先用余弦求邻边，再用勾股定理求对边；若只想求 sinA，直接用 sin²A+cos²A=1 更快。 16. 由 sin²A+cos²A=1 得 cos²A=1-9/25=16/25，∠A 为锐角，所以 cosA=4/5 而不取负值。验证：sin²A+cos²A=(3/5)²+(4/5)²=9/25+16/25=1，等式成立。这一关系对任意锐角都成立，可用来在正弦、余弦之间互相推算。 ## 六、方法小结 认边是第一步：正弦用“对边比斜边”，余弦用“邻边比斜边”，正切用两条直角边相比，只有正弦、余弦的分母是斜边，所以求它们时一般先弄清哪条边是斜边。第二步是选工具：已知一个锐角的函数值和一条边求其他边，用函数值列比例即可；已知两边求函数值，则先用勾股定理补出第三条边。第三步是记牢特殊值与两条性质：特殊值按 30°、45°、60° 成对记，互余关系 sinA=cos(90°-∠A) 用来把正弦余弦互相转化，平方关系 sin²A+cos²A=1 用来在已知一个函数值时求另一个。最后留意正弦、余弦的增减方向相反：正弦随角增大而增大，余弦随角增大而减小，比较大小前先把它们化成同名函数，比如把 cos65° 写成 sin25°，再按正弦的单调性判断。 --- 配分核对：21+15+24=60 分；题号 1—16 与答案 1—16 对应；全文不含“如图”“按图”等依赖插图的表述，可直接复制打印。下一课时 1.1.3（30°、45°、60° 角的三角函数值）需要的话我接着做。 北师大版（新教材）数学九年级下册 1.1.2正弦与余弦 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第一章 直角三角形的边角关系 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦、余弦的意义及表示方法，知道正弦、余弦可以描述梯子的倾斜程度。 2.会运用sin A，cos A表示直角三角形中两边的比，并能根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。 学习目标 2 问题 如图，当Rt△ABC中的锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比便随之确定。此时，其他边之间的比也确定吗? 比如，∠A的对边与斜边的比确定吗？ 设∠A的对边与邻边的比值为k，邻边为a， 则∠A的对边为ka,由勾股定理可知斜边为a， 所以∠A的对边与斜边的比为ka∶a= 是确定的。 情境导入 问题 如图，当Rt△ABC中的锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比便随之确定。此时，其他边之间的比也确定吗? ∠A的邻边与斜边的比确定吗？ ∠A的邻边与斜边的比为a∶a=， 也是确定的。 结论：在Rt△ABC中，如果锐角A确定， 那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。 探究新知 如图，∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦， 记作sin A，即sin A = 。 ∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦， 记作cos A，即cos A = 。 知识点1 正弦、余弦 探究新知 知识点1 正弦、余弦 注意： 1. sinA，cosA均是一个完整的符号，分别表示∠A的正弦值、余弦值，代表一个“比”或“比值”。 2. 当用一个字母表示角时，如sinA ，sinα ，习惯省去角的符号“∠”；当用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示角时，如sin∠BAC，sin∠1，要保留角的符号“∠”。余弦同样如此。 3.tanA，sinA，cosA的大小只与Rt△ABC中∠A的大小有关，而与该直角三角形的大小无关。 探究新知 返回 C 举一反三 7 C 返回 举一反三 8 知识点1 正弦、余弦 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。 tan∠CAB， tan∠CAB， tan∠CAB。       当锐角A变化时，相应的正弦值、余弦值和正切值也随之变化。 说明：其中∠A是自变量，取值范围是0°＜∠A＜90°，三个比值是因变量。 当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应。 探究新知 思考·交流 在图中，梯子的倾斜程度与sin A和cos A有怎样的关系? sin A的值越大，梯子越陡； cos A的值越小，梯子越陡。 知识点1 正弦、余弦 探究新知 如图，在△ABC中，∠B = 90°，AC = 200，sin A = 0.6， 求 BC 的长。 解：在Rt△ABC中， ∵sin A = ， 即 = 0.6， ∴BC = 200×0.6 = 120。 例1 C A B 知识点1 正弦、余弦 探究新知 操作·思考 如图，在△ABC中，∠C = 90°。 (1)已知cos A = ，AC = 10，求AB和sin B。 在Rt△ABC中，∵cos A = ，AC = 10， ∴ = ， ∴AB = ， ∴sin B = = = 。 B C A 知识点1 正弦、余弦 探究新知 操作·思考 如图，在△ABC中，∠C = 90°。 (2)cos A与sin B有什么关系?sin A与cos B呢? B C A 知识点1 正弦、余弦 一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦值。 cos A = sin B=； sin A = cos B=。 探究新知 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，求sin A，cos A，tan A的值。 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB = = = 3。 所以sin A = = ， cos A = = ， tan A = = = 。 例2 知识点1 正弦、余弦 他们之间有什么关系吗？ tanA 。 发现 探究新知 锐角三角函数之间的关系 知识点1 正弦、余弦 锐角A的三角函数之间的关系 平方关系 sin²A + cos²A = 1 商的关系 tan A = 互余两角的三角函数之间的关系 (∠A + ∠B = 90°) sin A = cos B = cos(90°-∠A)， cos A = sin B = sin(90°-∠A) tan A · tan B = 1 探究新知 ∠BAC的余弦值越小，梯子越陡(答案不唯一) 返回 举一反三 16 返回 举一反三 17 返回 举一反三 18 举一反三 19 返回 举一反三 20 B 举一反三 21 B 举一反三 22 举一反三 23 举一反三 24 梯子的倾斜程度与sin A，cos A的关系： sin A的值越大，梯子越陡； cos A的值越小，梯子越陡 正弦：sin A = = = ； 余弦：cos A = = = 。 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数 正弦、余弦 定义 应用 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值，错误的是(　　) A. 　 B. C. 　 D. 2. △ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长均为1)，AD⊥BC于点D，下列四个选项中，错误的是(　　) A. sin α＝cos α B. tan∠ACB＝2 C. sin β＝cos β D. tan α＝1 3. 如图，学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关. 请你用∠BAC的余弦(或正弦)的大小来描述梯子的倾斜程度：________________________________________________________________________. 4. 如图，点P(6，a)在反比例函数y＝的图象上，PH⊥x轴于点H，连接OP，则cos∠OPH的值为________. 5. 如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BE＝4，BC＝6，则sin∠DAC＝________. 【解】如图，过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1.∴AE＝＝1.在Rt△ABE中，∵tan B＝，∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝4. 6. 如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝. 求： (1)BC的长； 【解】∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.∴DE＝CD－CE＝1.在Rt△AED中，AD＝＝， ∴sin∠ADC＝＝，cos∠ADC＝＝. (2)∠ADC的正弦值和余弦值. 7. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成一个正方形(如图)，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”. 若“弦图”中小正方形的面积与每个直角三角形的面积均为4，则∠α的正弦值为(　　) A. 2　 B. C. 　 D. 8. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则cos∠AEC的值为(　　) A. B. C. D. 9. [2025扬州模拟]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为________. 10. 如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1 m到A′时，梯脚B滑到B′，此时A′B′与地面的夹角为β，若tan α＝，B′B＝1 m，则sin β＝________. $