1.2 解直角三角形 课件 -2026--2027学年北师大版九年级数学下册

1.2 解直角三角形 第一章 直角三角形的 边角关系 1.了解解直角三角形的含义。 2.会用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，并能解决简单的实际问题，发展模型观念。 3.会将求斜三角形的边角关系的问题转化为解直角三角形的问题，体会转化思想的运用。 学习目标 2 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题。为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角，但怎么确定直角三角形的边和角呢？ 直角三角形中各元素之间的关系： 元素之间的关系(△ABC，∠C = 90°) 锐角之间的关系 三边之间的关系  边角之间的关系 ∠A+∠B = 90° a²+b² = c²(勾股定理) sin A = ，cos A = ，tan A = ， sin B = ，cos B = ，tan B = 。 A C B 课堂导入 3 问题 直角三角形中有六个元素，分别是三条边和三个角。那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢? 情况1：已知一个锐角，能求另一锐角，但三边无法确定； 情况2：已知一边，另两边及两锐角无法确定； 结论：已知除直角外的一个元素无法全部求出其他未知元素。 A C B 课堂导入 问题 直角三角形中有六个元素，分别是三条边和三个角。那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢? 情况3：已知两个锐角，三边无法确定； 情况4：已知两边，第三边可以确定，利用锐角三角函 数也可以确定两个锐角； 情况5：已知一边及一锐角，可以先确定另一个锐角， 再根据锐角三角函数和勾股定理确定另两边。 结论：已知两边或已知一边一锐角可以求出其他未知元素。 A C B 课堂导入 问题 直角三角形中有六个元素，分别是三条边和三个角。那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢? A C B 至少知道除直角外的2个元素，且2个元素中必须至少有一条边，就可以求出其他的元素。 课堂导入 尝试·交流 在Rt△ABC中，如果已知其中两条边的长，那么你能求出这个三角形的其他哪些元素?你能确定这个三角形吗? 知识点1 解直角三角形 新知讲解 在△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a = ，b = ，求这个三角形的其他元素。 解：在Rt△ABC中，a²+b² = c²，a = ，b = ， ∴c = = = 2。 在Rt△ABC中，sinB = = = ， ∴∠B = 30°。 ∴∠A = 90°−∠B = 90°−30° = 60°。 例1 知识点1 解直角三角形 A C B 还有没有其他解题思路? 新知讲解 在△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a = ，b = ，求这个三角形的其他元素。 例1 知识点1 解直角三角形 A C B tanA= （或tanB=） ∠A=60° (或∠B=30°) sinA=，∠B=30° (或sinB=，∠A=60°) 边c 新知讲解 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形。 知识点1 解直角三角形 新知讲解 思考·交流 在Rt△ABC中，如果已知一条边和一个锐角，那么你能求出这个三角形的其他元素吗? 知识点1 解直角三角形 新知讲解 在△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知b = 30，∠B = 25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1)。 解：在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 25°， ∴∠A = 90°−∠B = 90°−25° = 65°。 ∵sinB = ，b = 30， ∴c = = ≈ 71。 ∵tanB = ，b = 30， ∴a = = ≈ 64。 例2 知识点1 解直角三角形 A C B 新知讲解 解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 示意图 解法 两边   (1)两条直角边a，b (2)斜边和一条直角边(如a ，c) ①由tan A = ，求∠A； ②∠B = 90°−∠A； ③c = 。 ①由sin A = = cos B，求∠A，∠B； ② = 。 知识点1 解直角三角形 回顾·反思 回顾本节的学习过程，总结解直角三角形的各种情况，反思解决问题的经验。 新知讲解 已知条件 示意图 解法 一边 一锐角 (3)一个锐角及其对边(如a，∠A) (4)一个锐角及其邻边(如b，∠A) (5)一个锐角及斜边(如∠A，c) ①∠B = 90°−∠A； ②c = ， = 。 ①∠B = 90°−∠A； ②a = btan A，c = 。 ①∠B = 90°−∠A； ②a = csin A，b = ccos A。 知识点1 解直角三角形 新知讲解 1.如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C = 90°，AC = 1，BC = ，则cos A = 。 A C B 随堂练习 2.在Rt△ABC中，已知∠C = 90°，∠A = 30°，AC = 2，则BC = ( ) A．2 B．2 C．4 D．6 B A C B 随堂练习 3.在△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求△ABC的其他元素(角度精确到1°)： (1)已知a = 4，b = 8； 解：(1)在Rt△ABC中，∠C = 90°，a = 4，b = 8。 由勾股定理，得c² = a²+b² = 4²+8² = 80, ∴c = 4。 ∵tanA = = = ， ∴∠A≈27°。 ∴∠B = 90°−∠A=90°− 27° = 63°。 随堂练习 3.在△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求△ABC的其他元素(角度精确到1°)： (2)已知b = 10，∠B = 60°； 解：(2)在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 60°， ∴∠A = 90°−∠B = 90°−60° = 30°。 又∵tanB = ，即tan60° = ， ∴a = = = 。 ∴c = 2a = 2× = 。 随堂练习 3.在△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求△ABC的其他元素(角度精确到1°)： (3)已知c = 20，∠A = 60°。 解：(3)在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 60°， ∴∠B = 90°−∠A = 90°−60° = 30°。 ∴b = c = 10。 由勾股定理，得a² = c²−b² = 20²−10² = 300。 ∴a = 10。 随堂练习 4.在△ABC中，已知AB = 3，AC = 6，∠B = 45°，则BC = 。 3或3 A C B D A C B D 随堂练习 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形 已知两边：①已知两直角边;②已知斜边、一直角边 解直角三角形 定义 依据 ∠A+∠B = 90°，a²+b² = c²(勾股定理) sin A = ，cos A = ，tan A = ， sin B = ，cos B = ，tan B = 。 基本类型 已知一边、一锐角：①已知一锐角及其对边; ②已知一锐角及其邻边;③已知一锐角、斜边 课堂小结 $