1.2 解直角三角形（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级下册

**北师大版数学九年级下册 1.4 解直角三角形 专项练习**（沿用同一个模板：满分 60 分、16 题、约 1600 字） --- # 北师大版数学九年级下册 1.4 解直角三角形 专项练习 （满分 60 分　建议用时 40 分钟　姓名＿＿＿　得分＿＿＿） ## 一、知识梳理 - 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外还有三条边和两个锐角，共五个元素；由已知元素求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形。 - 三边关系：a²+b²=c²（勾股定理），其中 c 为斜边。 - 两角关系：∠A+∠B=90°。 - 边角关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b；同理 sinB=b/c，cosB=a/c，tanB=b/a。 - 两类基本题型：已知一边和一锐角，先由互余关系求另一锐角，再用正弦或余弦求斜边、用正切求另一直角边；已知两边，先用勾股定理求第三边，再用三角函数求角。 - 选函数的要领：求对边用正弦，求邻边用余弦，两条直角边之间用正切；已知哪个角，就按那个角重新确认对边和邻边。 - 结果若含根号可以保留，题目要求近似值时才按精度取近似；最后一定要检查三边是否满足勾股定理。 ## 二、选择题（每题 3 分，共 21 分） 1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，则 AC 的长为（　　） A. 3√2　　B. 3　　C. 6　　D. 3√3 2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=3，b=4，则斜边 c 的长为（　　） A. 5　　B. 7　　C. √7　　D. 25 3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，a=5，则 c 的长为（　　） A. 10√2　　B. 5√2　　C. 10　　D. 5 4. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，c=8，则 b 的长为（　　） A. 4　　B. 2　　C. 4√3　　D. 8√3 5. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=6，∠B=30°，则 b 的长为（　　） A. 3　　B. 3√3　　C. 2　　D. 2√3 6. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=10，sinA=3/5，则 a 的长为（　　） A. 8　　B. 6　　C. 10　　D. 6√2 7. 下列条件中，不能唯一确定一个直角三角形的是（　　） A. 已知两个锐角　　B. 已知两条直角边　　C. 已知斜边和一条直角边　　D. 已知一条直角边和一个锐角 ## 三、填空题（每题 3 分，共 15 分） 8. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，b=4√3，则 a=＿＿＿。 9. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，则 c=＿＿＿，sinA=＿＿＿。 10. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，c=8，则 a=＿＿＿。 11. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=10，∠A=60°，则 b=＿＿＿。 12. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=3/4，c=20，则 a=＿＿＿。 ## 四、解答题（每题 6 分，共 24 分） 13. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，c=8。解这个直角三角形。 14. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5√3，b=5。解这个直角三角形。 15. 在距塔底 30 m 的地面上一点，测得塔顶的仰角为 30°。求塔高（结果保留根号）。 16. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=8，∠B=45°。求 b、c 的长以及△ABC 的面积。 ## 五、参考答案与解析 1. D。AC 是∠A 的邻边，AB 是斜边，所以 AC=AB·cos30°=6×√3/2=3√3。若把 AC 当成对边用正弦，会误得 3。 2. A。由勾股定理 c=√(3²+4²)=√25=5。解直角三角形已知两边时，第一步总是先求第三边。 3. B。∠A=45°，则三角形是等腰直角三角形，a=b=5，由勾股定理 c=√(25+25)=5√2。也可用 c=a/sin45°=5÷√2/2=5√2。 4. C。b 是∠B 的对边，c 是斜边，所以 b=c·sin60°=8×√3/2=4√3。已知的是斜边，求对边用正弦而不是正切。 5. D。tanB=b/a，所以 b=a·tan30°=6×√3/3=2√3。∠B 的对边是 b、邻边是 a，两个角色不能对调。 6. B。sinA=a/c=3/5，所以 a=10×3/5=6。也可先由 3-4-5 的比例直接读出 a:b:c=3:4:5。 7. A。只知两个锐角只能确定形状，大小可以任意缩放，边长无法确定；其余三种条件都至少给出一条边，能唯一确定。 8. 4。tanA=a/b，所以 a=b·tan30°=4√3×√3/3=4。也可先想到这是含 30° 的三角形，三边比为 1:√3:2，b 对应 √3 份。 9. 13；5/13。由勾股定理 c=√(25+144)=13；sinA=a/c=5/13。顺手核对 5²+12²=13²，能抓住大部分计算失误。 10. 4√2。∠B=45°，则∠A=45°，a 是∠A 的对边，c 是斜边，所以 a=c·sin45°=8×√2/2=4√2。等腰直角三角形中 a=b，也可用勾股定理反求。 11. 5。b 是∠A 的邻边，c 是斜边，所以 b=c·cos60°=10×1/2=5。此时 a=c·sin60°=5√3，可回代检验。 12. 12。tanA=3/4 说明 a:b=3:4，斜边占 5 份，c=20 对应 5 份即每份 4，所以 a=3×4=12，b=16。用比例法最快。 13. ∠B=90°-∠A=60°；a=c·sinA=8×1/2=4；b=c·cosA=8×√3/2=4√3。所求的三个元素为 ∠B=60°、a=4、b=4√3，回代检验：4²+(4√3)²=16+48=64=8²，符合勾股定理。 14. 由勾股定理 c=√((5√3)²+5²)=√(75+25)=√100=10；tanA=a/b=5√3/5=√3，所以∠A=60°，∠B=90°-60°=30°。三边恰为 5、5√3、10，正是含 30° 的三角形 1:√3:2 的比例。 15. 塔、地面与视线构成直角三角形，塔高是 30° 角的对边，30 m 是邻边，所以塔高=30×tan30°=30×√3/3=10√3（m），约为 17.3 m。已知邻边求对边要用正切，这里不能用正弦。 16. ∠A=90°-∠B=45°，所以 b=a=8；c=a/sin45°=8÷√2/2=8√2；面积=1/2×a×b=1/2×8×8=32。等腰直角三角形中两直角边相等，可使计算省去不少步骤。 ## 六、方法小结 解直角三角形按“先定角、再选函数、最后验算”三步走最稳。先看题目给的角是 ∠A 还是 ∠B，把这个角的对边、邻边、斜边在图上点清楚；再按所求的边选函数：求对边用正弦，求邻边用余弦，两条直角边之间用正切，已知两边求角则用正切或正弦反查；算完后用勾股定理或两锐角互余回头验一遍，误差往往就在这一步被发现。两类题型要分清：已知一边一角，先补角再求边，通常一次正弦、一次余弦就能解完；已知两边，先补边再求角，注意别把 a、b 的位置搞反。应用题多一步翻译：把“仰角”“坡角”与三角形中的角对应起来，明确已知长度是斜边还是直角边，再决定用哪个函数，最后按要求取近似并写清单位。 --- 配分核对：21+15+24=60 分；题号 1—16 与答案 1—16 对应；全文不含“如图”“按图”等指代插图的表述，可直接复制打印。括号里提示一句：若你要的其实是教材 1.2 节（特殊角三角函数值）那一份，我上面已经发过，可告诉我按哪个节号重排。 北师大版（新教材）数学九年级下册 1.2 解直角三角形 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第一章 直角三角形的边角关系 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 1.了解解直角三角形的含义。 2.会用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，并能解决简单的实际问题，发展模型观念。 3.会将求斜三角形的边角关系的问题转化为解直角三角形的问题，体会转化思想的运用。 学习目标 2 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题。为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角，但怎么确定直角三角形的边和角呢？ 直角三角形中各元素之间的关系： 元素之间的关系(△ABC，∠C = 90°) 锐角之间的关系 三边之间的关系  边角之间的关系 ∠A+∠B = 90° a²+b² = c²(勾股定理) sin A = ，cos A = ，tan A = ， sin B = ，cos B = ，tan B = 。 A C B 情境导入 3 问题 直角三角形中有六个元素，分别是三条边和三个角。那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢? 情况1：已知一个锐角，能求另一锐角，但三边无法确定； 情况2：已知一边，另两边及两锐角无法确定； 结论：已知除直角外的一个元素无法全部求出其他未知元素。 A C B 探究新知 问题 直角三角形中有六个元素，分别是三条边和三个角。那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢? 情况3：已知两个锐角，三边无法确定； 情况4：已知两边，第三边可以确定，利用锐角三角函 数也可以确定两个锐角； 情况5：已知一边及一锐角，可以先确定另一个锐角， 再根据锐角三角函数和勾股定理确定另两边。 结论：已知两边或已知一边一锐角可以求出其他未知元素。 A C B 探究新知 问题 直角三角形中有六个元素，分别是三条边和三个角。那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢? A C B 至少知道除直角外的2个元素，且2个元素中必须至少有一条边，就可以求出其他的元素。 探究新知 尝试·交流 在Rt△ABC中，如果已知其中两条边的长，那么你能求出这个三角形的其他哪些元素?你能确定这个三角形吗? 知识点1 解直角三角形 探究新知 在△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a = ，b = ，求这个三角形的其他元素。 解：在Rt△ABC中，a²+b² = c²，a = ，b = ， ∴c = = = 2。 在Rt△ABC中，sinB = = = ， ∴∠B = 30°。 ∴∠A = 90°−∠B = 90°−30° = 60°。 例1 知识点1 解直角三角形 A C B 还有没有其他解题思路? 探究新知 在△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a = ，b = ，求这个三角形的其他元素。 例1 知识点1 解直角三角形 A C B tanA= （或tanB=） ∠A=60° (或∠B=30°) sinA=，∠B=30° (或sinB=，∠A=60°) 边c 探究新知 返回 B 举一反三 10 A 返回 举一反三 11 返回 举一反三 12 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形。 知识点1 解直角三角形 探究新知 思考·交流 在Rt△ABC中，如果已知一条边和一个锐角，那么你能求出这个三角形的其他元素吗? 知识点1 解直角三角形 探究新知 在△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知b = 30，∠B = 25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1)。 解：在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 25°， ∴∠A = 90°−∠B = 90°−25° = 65°。 ∵sinB = ，b = 30， ∴c = = ≈ 71。 ∵tanB = ，b = 30， ∴a = = ≈ 64。 例2 知识点1 解直角三角形 A C B 探究新知 解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 示意图 解法 两边   (1)两条直角边a，b (2)斜边和一条直角边(如a ，c) ①由tan A = ，求∠A； ②∠B = 90°−∠A； ③c = 。 ①由sin A = = cos B，求∠A，∠B； ② = 。 知识点1 解直角三角形 回顾·反思 回顾本节的学习过程，总结解直角三角形的各种情况，反思解决问题的经验。 探究新知 已知条件 示意图 解法 一边 一锐角 (3)一个锐角及其对边(如a，∠A) (4)一个锐角及其邻边(如b，∠A) (5)一个锐角及斜边(如∠A，c) ①∠B = 90°−∠A； ②c = ， = 。 ①∠B = 90°−∠A； ②a = btan A，c = 。 ①∠B = 90°−∠A； ②a = csin A，b = ccos A。 知识点1 解直角三角形 探究新知 返回 举一反三 18 举一反三 19 返回 举一反三 20 举一反三 21 返回 举一反三 22 D 举一反三 23 A 举一反三 24 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形 已知两边：①已知两直角边;②已知斜边、一直角边 解直角三角形 定义 依据 ∠A+∠B = 90°，a²+b² = c²(勾股定理) sin A = ，cos A = ，tan A = ， sin B = ，cos B = ，tan B = 。 基本类型 已知一边、一锐角：①已知一锐角及其对边; ②已知一锐角及其邻边;③已知一锐角、斜边 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，sin C＝，BC＝4，则AB的长为(　　) 　A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，且EC平分∠BED，AB＝，∠ABE＝30°，则DE的长为(　　) A. 1　 B. 　 C. D. 2 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则cos＝________. 625 4. 劳动教育是德智体美劳全面发展的主要内容之一，现有一块如图所示的四边形劳动教育基地，则此基地的面积为__________m2. 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素. (1)已知a＝8，b＝8； 【解】∵a＝8，b＝8，∠C＝90°， ∴c＝＝＝16. ∵tan A＝＝＝，∴∠A＝30°.∴∠B＝60°. 【解】∵∠B＝60°，∠C＝90°，∴∠A＝30°. ∵sin A＝，c＝25，∴a＝c·sin A＝25×sin 30°＝. ∵sin B＝，c＝25， ∴b＝c·sin B＝25×sin 60°＝. (2)已知∠B＝60°，c＝25. 【解】∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8. ∵tan∠ACB＝＝1，∴CD＝AD＝6. ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14. 6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. (1)求BC的长； 【解】∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝BC＝7.∴DE＝CE－CD＝7－6＝1. ∵AD⊥BC， ∴AE＝＝＝. ∴sin∠DAE＝＝＝. (2)求sin∠DAE的值. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作CD的垂线，分别交BC，CD于点E，F. 若tan∠CAE＝，AE＝26，则CD的长为(　　) A. 39 B. 8 C. 6 D. 19. 5 8. 如图，∠BAD＝90°，∠ADC＝15°，∠ABC＝30°，AB＝2，AD＝2，则阴影部分的面积为(　　) A. 2 B. C. 2＋ D. 3－ $