1.3 三角函数的应用 课件 -2026--2027学年北师大版九年级数学下册

1.3 三角函数的应用 第一章 直角三角形的 边角关系 1.能够把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算，并能进一步对结果的意义进行说明。 2.会画示意图分析实际问题中的数量关系，积累三角函数解决实际问题的经验。 学习目标 2 问题 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁。一艘货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，向东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎么想的? 这船继续向东航行是否安全，取决于小岛A到航线BC的距离是否大于 10 n mile。 若这个距离大于10 n mile，则不会有触礁危险，否则有危险。 课堂导入 过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，BD = ADtan 55°， 在Rt△ACD中，CD = ADtan 25°。 ∵BD − CD = BC = 20 n mile， 即ADtan 55° − ADtan 25° = 20 ， ∴AD ≈ 20.79 n mile>10 n mile， ∴货轮没有触礁的危险。 D 课堂导入 实际问题中的常见术语： 方位角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的角 。 如右图所示，目标方向线OA，OB，OC的方位角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西45°。 其中南偏东45°习惯上又叫作东南方向，北偏西45°习惯上又叫作西北方向。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 新知讲解 思考 如图，小明想测量塔CD的高度。他在A处测得塔顶的仰角为30°，再朝塔的方向前进50 m至B处，测得塔顶的仰角为60°。如果不考虑测倾器的高度，请你帮他计算一下这座塔的高度(结果精确到1m)。 在Rt△BCD中， BC = 。 在Rt△ACD中， AC = 。 ∵AC − BC = AB， ∴ − = 50， ∴CD ≈ 43 m。 ∴这座塔的高度约为43 m。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 30° 60° 50m 新知讲解 实际问题中的常见术语： 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角。 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 新知讲解 思考 如图，某博物馆准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原有楼梯的长度为4 m，调整后的楼梯应加长多少?楼梯多占多长一段地面(结果精确到0.01m)? 知识点1 利用三角函数解决实际问题 A B D C ┌ 4m 35° 40° 新知讲解 如图所示，AD为原楼梯长，且AD = 4 m，AB为改建后的楼梯长。 已知∠ADC = 40°，∠ABC = 35°， 在Rt△ADC中，AC = AD·sin40°≈ 2.571 m。 DC = AD·cos40°≈ 3.064 m。 在Rt△ABC中，AB = ≈ 4.482 m。 BC = ≈ 3.672 m。 ∴调整后的楼梯应加长AB − AD ≈ 4.482 − 4 ≈ 0.48(m)， 楼梯多占的一段地面的长度为BD = BC − DC ≈ 3.672 − 3.064 ≈ 0.61(m)。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 新知讲解 实际问题中的常见术语： 坡度：斜坡起止点的高度差与水平距离的比值。 坡度是坡角的正切。用i表示： i = tanα = 。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 新知讲解 湖中有两个小岛， 分别用点A，B表示，B在A的北偏东37°方向上。为了测量A，B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点D，测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示。已知C，D间的距离为660 m，求A，B间的距离(精确到0.1 m)。 参考数据：sin56°≈ 0.83，cos56°≈ 0.56， sin53°≈ 0.80，cos53°≈ 0.60， sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80。 例1 知识点1 利用三角函数解决实际问题 新知讲解 解：由题意可得∠CAD = 90°，∠BAD = 90° − 37° = 53°， ∠BDA = 90° − 53° = 37°， ∴∠ABD = 180° − 37° − 53° = 90°。 在Rt△CAD中，∠ACD = 56°， ∴AD = CD·sin∠ACD = CD·sin56°≈ 660×0.83 = 547.8(m)。 在Rt△ABD中，∠BDA = 37°， ∴AB = AD·sin∠BDA = AD·sin37°≈ 547.8×0.60≈328.7(m)， ∴A，B间的距离约为328.7 m。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 新知讲解 利用三角函数解决实际问题的一般步骤 知识点1 利用三角函数解决实际问题 一审题：弄清题中的名词、术语（仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等）的意义，根据题意画出示意图，建立数学模型； 二转化：将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； 三计算：构造和利用直角三角形，选择合适的三角函数进行计算； 四作答：按照题目要求的精确度确定答案（注意单位），并得到实际问题的答案。 新知讲解 1.如图，飞机A在目标B正上方1 000 m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是 。 1 000m 随堂练习 2.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离为________ km 。 2 随堂练习 3.一座信号塔的示意图如图所示。信号塔AB被钢缆CD固定，CD与地面成40°角，且DB = 50 m。 在C点上方20 m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少(结果精确到0.1m)? 解：在Rt△CBD中，DB = 50 m，∠CDB = 40°， ∴BC = 50tan40°≈ 41.95(m)， ∴EB = EC+CB ≈ 20+41.95 = 61.95(m)。 在Rt△EBD中，ED = ≈ ≈ 79.6(m)。 ∴钢缆ED的长度约为79.6m。 随堂练习 4.如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD = 6 m， 坡长CD = 8 m，坡底BC = 30 m，∠ADC = 135°。 (1)求∠ABC的度数； (2)如果坝长100 m，那么建筑这个大坝共需多少土石料(结果精确到0.01m³)? 随堂练习 4.如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD = 6 m， 坡长CD = 8 m，坡底BC = 30 m，∠ADC = 135°。 (1)求∠ABC的度数； 解：(1)如图所示，过点A，D分别作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F。 ∵∠ADC = 135°，AD∥BC，∴∠C = 45°， ∴DF = 8sin45° = 4(m)，FC = 8cos45° = 4(m)， ∴BE = BC − EF − FC = (24 − 4)m。 ∵AE = DF = 4m， ∴在Rt△ABE中，tan∠ABE = = ≈ 0.308 4，即∠ABC ≈ 17°8′21″。 随堂练习 4.如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD = 6 m， 坡长CD = 8 m，坡底BC = 30 m，∠ADC = 135°。 (2)如果坝长100 m，那么建筑这个大坝共需多少土石料(结果精确到0.01m³)? 解：(2)由题意可得，[×(6+30)×]×100 ≈ 10 182.34(m³)。 ∴建筑这个大坝共需约10 182.34 m³土石料。 随堂练习 5.如图，一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3尺，第二次露出水平面4尺，已知两次与水平面的夹角分别是53°与62°，求竹竿的长度与水底固定处到水平面 的距离。(sin53°≈ ，sin62°≈ ) . . 解：如图，过点B作BP∥AE，过点D作DH⊥BP于点H， 交AE于点M，过点C作CG⊥BP于点G，交AE于点N， 则四边形MHGN是矩形，∠EBG = ∠CEN = 53°， ∠DAM = ∠DBH = 62°。 ∴MH = NG。 随堂练习 设BD = BC = x尺， 在Rt△DAM中，DM = AD·sin∠DAM = 4×sin62°≈ 4× = (尺)， 在Rt△DBH中，DH = BD·sin∠DBH = x×sin62°≈ x(尺)， 在Rt△CEN中，CN = CE·sin∠CEN = 3×sin 53°≈ 3× = (尺)， 在Rt△CBG中，CG = BC·sin∠CBG = x×sin 53°≈ x(尺)。 ∵MH = NG，即DH − DM = CG − CN， ∴x − = x − ， ∴x = 13，∴x − = 8。 答：竹竿的长度约为13尺，水底固定处到水平面的距离 约为8尺。 随堂练习 与坡度、坡角有关的实际问题； 与俯角、仰角有关的实际问题； 与方位角有关的实际问题； 其他有关的实际问题。 三角函数 的应用 问题类型 一般步骤 审题，画示意图； 将实际问题转化为解直角三角形问题； 根据条件构造直角三角形，选择合适的三角函数进行计算； 作答，得到实际问题的解。 课堂小结 $