1.2 30°，45°，60°角的三角函数值（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级下册

**北师大版数学九年级下册 1.2 30°、45°、60° 角的三角函数值 专项练习**（沿用同一模板：分值 60、题量 16、约 1600 字） --- # 北师大版数学九年级下册 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 专项练习 （满分 60 分　建议用时 40 分钟　姓名＿＿＿　得分＿＿＿） ## 一、知识梳理 - 需要牢记的特殊值（按正弦、余弦、正切三列来记）： - 30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3。 - 45°：sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1。 - 60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。 - 记忆规律：30° 与 60° 的三角函数值恰好互换，sin30°=cos60°；45° 的正弦、余弦相等，正切为 1。 - 值的来源：含 30° 的直角三角形三边比为 1:√3:2，含 45° 的等腰直角三角形三边比为 1:1:√2；按定义代入，就能得到上面的全部特殊值。 - 常用“约掉”的式子：sin60°-cos30°=0，tan60°·tan30°=1，sin²45°+cos²45°=1，sin30°+cos60°=1。 - 由值定角：sinA=1/2 则∠A=30°，sinA=√2/2 则∠A=45°，sinA=√3/2 则∠A=60°；余弦、正切反过来查表即可。 - 计算要求：先把每个函数值代成具体数，再按运算顺序算，结果能保留根号就保留，不要随意取小数近似值。 ## 二、选择题（每题 3 分，共 21 分） 1. cos45° 的值是（　　） A. 1/2　　B. √3/2　　C. √2/2　　D. 1 2. sin30° 的值是（　　） A. 1/2　　B. √2/2　　C. √3/2　　D. 1 3. 若 tanA=√3，则锐角 A 的度数为（　　） A. 30°　　B. 45°　　C. 75°　　D. 60° 4. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，则 BC 的长为（　　） A. 4√3　　B. 4　　C. 2　　D. 8 5. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AC=3，则 BC 的长为（　　） A. 3√2　　B. 3/2　　C. 3　　D. 6 6. 下列等式正确的是（　　） A. sin45°=cos45°　　B. sin60°=1/2　　C. cos30°=1/2　　D. tan30°=√3 7. tan60°·tan30° 的值等于（　　） A. √3　　B. 1/2　　C. 3　　D. 1 ## 三、填空题（每题 3 分，共 15 分） 8. 计算：sin60°-cos30°=＿＿＿。 9. 若 2sinA=√2，且∠A 为锐角，则∠A=＿＿＿。 10. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，则 AB=＿＿＿，AC=＿＿＿。 11. 若 tan(α-10°)=√3/3，且 α 为锐角，则 α=＿＿＿。 12. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2√3，则 AC=＿＿＿。 ## 四、解答题（每题 6 分，共 24 分） 13. 计算：2sin60°-3tan30°+cos45°。 14. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6。求 AB 与 AC 的长。 15. 某时刻太阳光线与水平地面成 45° 角，一棵竖直的旗杆在地上的影长为 9 m。求这棵旗杆的高度。 16. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，AB=6√2。求 BC、AC 的长，并求 sinA+cosA 的值。 ## 五、参考答案与解析 1. C。cos45°=√2/2。45° 的正弦与余弦相等，都记成 √2/2，只有正切是 1，三者别混；若记成 1/2，那就是 60° 的余弦了。 2. A。sin30°=1/2。30° 的正弦最小，正好是 1/2，这是三个特殊角里最好记的一个。 3. D。tan60°=√3，所以∠A=60°。查表时注意 tan30°=√3/3、tan60°=√3，两者互为倒数。 4. B。∠A 的对边是 BC，斜边是 AB，sin30°=BC/AB=1/2，所以 BC=8×1/2=4。已知斜边求对边用正弦；用余弦算出的 4√3 是 AC。 5. C。∠B=45°，则∠A=45°，三角形是等腰直角三角形，AC 与 BC 是相等的两条直角边，所以 BC=3。∠B=45° 是本题隐藏条件，用上它就不必再算三角函数值。 6. A。sin45°=cos45°=√2/2，故 A 正确；sin60°=√3/2、cos30°=√3/2、tan30°=√3/3，B、C、D 都不对。 7. D。tan60°·tan30°=√3·√3/3=1。30° 与 60° 的正切值互为倒数，乘积恒为 1。 8. 0。sin60°=√3/2，cos30°=√3/2，两式相等，差为 0。sin60°=cos30° 本身就是常用结论。 9. 45°。由 2sinA=√2 得 sinA=√2/2，所以∠A=45°。解这类题先化为 sinA 的标准形式再查表。 10. 10；5√3。sin30°=BC/AB=5/AB=1/2，得 AB=10；再用 cos30°=AC/AB 得 AC=10×√3/2=5√3。也可用勾股定理 AC=√(100-25)=√75=5√3，两种算法结果一致。 11. 40°。tan30°=√3/3，所以 α-10°=30°，α=40°。代回检验：40° 为锐角，符合题意。 12. 6。∠B=60°，它的对边是 AC，邻边是 BC，tan60°=AC/BC=√3，所以 AC=2√3×√3=6。求 tanB 时，对边、邻边要按∠B 重新确认。 13. 原式=2×√3/2-3×√3/3+√2/2=√3-√3+√2/2=√2/2。前两项恰好相消是本题的关键；先把每个函数值代成数，再逐项约简，最后结果保留根号，不必写成 0.707 之类的近似值。 14. sin30°=BC/AB=6/AB=1/2，所以 AB=12；cos30°=AC/AB，所以 AC=12×√3/2=6√3。也可用勾股定理：AC=√(144-36)=√108=6√3。求 AB 用正弦、求 AC 用余弦，两条边不能混用同一个函数。 15. 旗杆、影长与光线构成直角三角形，光线与地面所成的 45° 角是影长一端的锐角，旗杆高与影长是相等的两条直角边。所以旗杆高=9×tan45°=9×1=9（m）。此题也可由等腰直角三角形的性质直接得出，写清理由更稳妥。 16. ∠A=45°，则∠B=45°，BC=AC。sin45°=BC/AB，所以 BC=6√2×√2/2=6，AC=6；sinA+cosA=√2/2+√2/2=√2。等腰直角三角形中两条直角边相等，这一特征可以用来检验答案：算出 BC 后应先看看 AC 是否与之相等，再核对斜边是否为直角边的 √2 倍，即 6√2，检验通过说明计算无误。 ## 六、方法小结 这一节的核心是把九个特殊值背准、用熟。背的时候按角排，30° 一行、45° 一行、60° 一行，每行依次写正弦、余弦、正切；记不住就靠两条规律推：30° 与 60° 的正弦、余弦互换，45° 的正弦余弦相等、正切为 1。计算题一律先代值再运算，遇到 √3 与 √3/3 相乘、sin60° 与 cos30° 相减这类结构，往往能直接约掉或抵消，先观察再动笔可省一半功夫。由值定角的题，先化成 sinA、cosA、tanA 的标准形式，再对照表格取值，最后代回检验角是否落在锐角范围内。实际应用题要先判断已知边是斜边还是直角边：已知斜边求对边用正弦，已知邻边求对边用正切，弄清楚这一步，后面只是代一个特殊值而已。最后提醒一句：特殊角的三角函数值都是纯数，代入长度计算时单位仍要写在结果后，例如 9 m、6√3 m，不要因为式子干净就漏掉单位。 --- 配分核对：21+15+24=60 分；题号 1—16 与答案 1—16 对应；全文不含“如图”“按图”等依赖插图的表述，可直接复制打印。需要接着做 1.3 三角函数的有关计算或 1.4 解直角三角形，说一声即可。 北师大版（新教材）数学九年级下册 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第一章 直角三角形的边角关系 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，知道30°，45°，60°角的三角函数值，能进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。 2.能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算。 3.能根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角的度数。 学习目标 2 问题 观察一副三角尺(如图)，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? 一副三角尺，有4个锐角。 它们分别是45°，45°；30°，60°。 情境导入 问题 观察一副三角尺(如图)，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? (1) sin 30°等于多少?你是怎样得到的? sin 30°= 。 利用“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的 一半”这一特性进求解。 设30°角的对边的长为1，则斜边的长为2， 所以sin 30°= 。 1 2 探究新知 问题 观察一副三角尺(如图)，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? (2) cos 30°等于多少?tan 30°呢? 设30°角的对边的长为1，则斜边的长为2， 30°角的邻边的长为， 所以cos 30°= ， tan 30°= 。 1 2 探究新知 操作·思考 (1)sin 60°，cos 60°，tan 60°分别等于多少?你是怎样得到的? 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 60°，∴∠A=30°， 设BC = a，则AB = 2a， ∴AC = = a， ∴sin 60°= = = ， cos 60°= = = ， tan 60°= = = 。 知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值 a 2a a B A C 探究新知 操作·思考 (2)sin 45°，cos 45°，tan 45°分别等于多少?你是怎样得到的? 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 45°， ∴∠A= ∠B = 45°，∴BC = AC。 设BC = AC = a，则AB == a， ∴sin 45°= = = ， cos 45°= = = ， tan 45°= = = 1。 知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值 a a B A C 探究新知 操作·思考 (3)完成下表，你有什么发现? ∠α 三角函数 sin α cos α tan α 30°       45°       60°       1 知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值 探究新知 操作·思考 (3)完成下表，你有什么发现? sin 30° = cos 60°，sin 60° = cos 30°， sin 45° = cos 45°，tan 30° = 。  ∠α 三角函数 sin α cos α tan α 30°       45°       60°       1 知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值 探究新知 知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值 30°，45°，60°角的三角函数值： ∠α 三角函数 sin α cos α tan α 30°       45°       60°       1 说明：特殊角的度数 特殊角的任一三角函数值。 探究新知 返回 C 举一反三 11 A 返回 举一反三 12 C 举一反三 13 知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值 30°，45°，60°角的三角函数值的图形记忆法： 图示 依据 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半 含45°角的直角三角形是等腰三角形 探究新知 计算： (1)sin 30°·cos 45°·tan 60°； (2)sin² 60°+cos² 60°−tan 45°。 解：(1)sin 30°·cos 45°·tan 60°= ×× = ； (2)sin² 60°+cos² 60°−tan 45°= ()2+()2−1= + 1 = 0。 例1 知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值 注意：sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示(cos60°)2，其余类推。 探究新知 如图，一个小孩正在荡秋千。假设秋千链子的长度为2.5m，当秋千前后摆动时，摆过的角度∠BOD恰好为60°，且前后摆动的角度相同，求秋千摆至最高位置(点B，D)时与摆至最低位置(点A)时的高度之差(结果精确到0.01m)。 例2 知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值 解：连接BD，交OA于点C。根据题意可知， ∠AOD = ∠BOD = 60°= 30°，OD = 2.5m， ∴OC = ODcos30°= 2.5× ≈ 2.165(m)。 ∴AC = OA−OC ≈ 2.5−2.165 ≈ 0.34(m)。 所以，秋千最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m。 探究新知 知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值 利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤 (1)把实际问题转化为数学问题，画出示意图； (2)构造出含有特殊角的直角三角形； (3)利用特殊角的三角函数值求解。 探究新知 C 返回 举一反三 18 返回 举一反三 19 返回 举一反三 20 返回 举一反三 21 －2 举一反三 22 举一反三 23 返回 举一反三 24 A 举一反三 25 30°，45°，60°角的 三角函数值 ∠α 三角函数 sin α cos α tan α 30°       45°       60°       1 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1. 下列各式不正确的是(　　) A. cos 30°＝sin 60° B. tan 45°＝2sin 30° C. sin 30°＋cos 30°＝1 D. tan 60°·cos 60°＝sin 60° 2. 在△ABC中，若＋(－cos B)2＝0，则∠C为(　　) A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 3. 已知∠A为锐角，且cos A＝tan 30°，则(　　) A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90° 4. 按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是(　　) A. α＝60°，β＝45° B. α＝30°，β＝45° C. α＝30°，β＝30° D. α＝45°，β＝30° 5. 若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则此三角形中最小的锐角的正切值为________. 6. [2025聊城月考]如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为________. 7. 如图，一束平行于主光轴的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点. 若∠1＝160°，∠2＝25°，则∠3的余弦值为________. 8. 若∠A为锐角，且tan A是方程x2＋4x－5＝0的一个实数根，则2sin2A＋cos2A－tan(A＋15°)－＝________. 9. 计算： (1)－－tan 45°； 【解】原式＝－(－1)－1＝＋－＝. 【解】原式＝1＋(－2)＋－3×＝1－2＋1－－＝－. (2)(－π)0＋＋|tan 30°－1|－3cos 30°. 10. 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等. 若∠BOC＝120°，则tan A的值为(　　) A. B. C. D. $