32.1 正弦、余弦和正切（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十二章 锐角三角函数 32.1 正弦、余弦和正切 知识点一 正弦、余弦、正切 名称 定义 数学语言 图形 正弦 在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A 余弦 在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A 正切 在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A 即学即练 1．（26-27九年级上·上海闵行·期中）在中，已知，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，如图： 由图可得，的对边为，邻边为，斜边为， ∴，，． 2．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如果把一个的三边都扩大为原来的倍，那么锐角的余弦值（     ） A．扩大为原来的倍 B．保持不变 C．缩小为原来的 D．不能确定 【答案】B 【分析】设的三边长分别为、、，，，根据三边都扩大为原来的倍，结合勾股定理逆定理得出新三角形是直角三角形，可得，即可得出答案． 【详解】解：设的三边长分别为、、，，， ∵的三边都扩大为原来的倍， ∴新三角形的三边长分别为、、， ∵， ∴新三角形是直角三角形， ∴， ∴锐角的余弦值保持不变． 3．（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在中，，若，，则等于（     ） A．10 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：在中，， ， ， ， ． 4．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】构造直角三角形，利用正切定义求解即可. 【详解】 解：如图，过点作交于点. 网格小正方形边长为1， ，. 在中，. 知识点二 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角. 即学即练 1．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 3．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ． 4．（26-27九年级上·山东烟台·期中）计算：__________________． 【答案】1 【分析】代入特殊角的三角函数值，进行计算，利用分式基本性质约分化简． 【详解】解：∵，，，， ∴ ． 知识点三 锐角三角函数的性质 定义 取值范围 增减性 关系 正弦 sin A随∠A的增大而增大 （1）互为余角的三角函数： ①若∠A+∠B=90°，那么sin A = cos B或sin B = cos A ② （2）同角的三角函数值： 余弦 cos A随∠A的增大而减小 正切 tan A随∠A的增大而增大 （表格中的∠A为锐角） 即学即练 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了正弦、余弦的性质，掌握当锐角时，正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小是解题的关键． 根据正弦、余弦的性质求解即可． 【详解】解：∵正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小， ∴， ∴，即． 故答案为：<． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 【答案】45（答案不唯一） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据锐角余弦函数的增减性，结合特殊角的余弦值确定的取值范围，再选取符合条件的角度． 【详解】解：在到的锐角范围内，余弦函数值随角度的增大而减小， 由特殊角的余弦值可知：，， ， ， 可取． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 【答案】 【分析】由题干给出的例子归纳得到，代入已知的值，结合即可求出结果． 【详解】解：由题干给出的例子可归纳得：任意锐角满足 ∵， ∴． 4．（25-26九年级下·广西崇左·阶段检测）已知α为锐角，，则____． 【答案】 【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵α为锐角， ∴． 题型01 正弦、余弦、正切的概念辨析 1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，与直角三角形两边长的大小无关. 2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 3）若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”，如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时，不能省略角的符号“∠”，如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1. 典｜例｜精｜析 例1（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义，判断解答即可． 【详解】解：根据题意，得，，． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·山西·期末）在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，理解相似三角形中对应角不变，三角函数值不变是关键． 根据三角函数的定义，正弦值是对边与斜边的比值，当三边都扩大相同倍数时，比值不变． 【详解】∵在中，， ∵三边都扩大为原来的3倍，则新三角形中，对边变为，斜边变为， ∴， ∴的正弦值不变． 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，根据直角三角形中三角函数的定义，分别计算和的三角函数值，并验证各选项. 【详解】解：如下图所示， A选项：，，，，故A选项错误； B选项：，，，，故B选项错误； C选项：，，，，故C选项正确； D选项：，，，，故D选项错误． 故选：C. 3．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）在Rt中，，、、的对边分别为a、b、c，则下列式子一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，掌握好三种三角函数的定义是解题关键． 根据锐角三角函数的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵在Rt中，， ∴c为斜边， A、，即，故A不一定成立，不符合题意； B、，即，故B一定成立，不符合题意； C、，即，故C不一定成立，不符合题意； D、，即，故D不一定成立，不符合题意． 故选：B． 题型02 求角的正弦值、余弦值、正切值 求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解. 典｜例｜精｜析 例2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，设为射线上一点，于点于点E，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查正弦函数的定义，勾股定理求直角三角形第三边，解题的关键是能构造直角三角形．过点作交的延长线于点，利用勾股定理求的长，再用正弦函数的定义解答． 【详解】解：如图过点作交的延长线于点， 则,, ∴, ∴． 2．（26-27九年级下·全国·期末）已知与关于原点位似，且相似比为，若锐角的正弦值为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】位似图形的对应角相等，锐角三角函数值由角度大小决定，与边长的缩放无关． 【详解】解：∵与关于原点位似， ∴与相似， ∴， ∵， ∴． 3．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）如图，点是锐角的边上任意一点，过点作于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据已知比例设边长，用勾股定理求出斜边，再结合余弦的定义计算即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， ∵，设，则， ∴在中，根据勾股定理得， ∴． 4．（2027九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据余弦的定义判断，再结合相似的判定和性质，可推得同角的余弦值相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴在中，，即②满足要求； ∵是斜边上的高， ∴在中，，即①满足要求； 由题可知，， 则，， ∴， ∴， ∴， 则，即④满足要求； 综上，比值与的值相等的个数为个． 5．（26-27九年级下·全国·期末）如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，进而求出，，即可解决问题． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数是1，，且， ∴， ∴， ∴． 题型03 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 典｜例｜精｜析 例3．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 【答案】 12 9 【分析】先利用正弦的定义求出，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵在中，已知，，且， ∴，即，解得：， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则________． 【答案】 【分析】结合光的反射，利用等角的余角相等推导出，再在直角三角形中借助余弦的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意，法线垂直于平面镜， ，． ， ， ． 在中，， ，即， 解得． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，则的长为_______________． 【答案】或 【分析】过点作，垂足为，结合已知的值与长度求出、的长度，利用勾股定理求出的长度，再分垂足在线段上、垂足在线段的延长线上两种情况，进而计算的长． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵在中，， ∴设，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴，， 在中，， 由勾股定理得 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时，； ②当垂足在线段的延长线上时，． 综上所述，的长为或． 3．（2022·宁夏银川·一模）如图，是的弦，是的直径，，于，如果，则_____． 【答案】9 【分析】由垂径定理，圆周角定理推出，由的正弦求出的长，即可求出长． 【详解】解：连接，， 直径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，是上一点，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先解直角三角形求出，再根据勾股定理求出，根据已知得出，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：． 题型04 根据特殊角的三角函数值求解 典｜例｜精｜析 例4（26-27九年级上·全国·课后作业）用特殊角的三角函数填空： ______=______；______=______；1=______；______． 【答案】 【分析】只需熟记，，的三角函数值，对应匹配即可． 【详解】解：根据特殊锐角的三角函数值推导如下： ∵ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）若，则的值是________． 【答案】 【详解】解： ， ∴． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）若是锐角，，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的定义，熟记特殊角三角函数的定义是解决本题的关键． 根据 的值得出，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025九年级·全国·专题练习）在中，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． 由可得，进而求得，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 题型05 特殊角三角函数值的混合运算 有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 典｜例｜精｜析 例5．（2024·山东潍坊·模拟预测）计算：________． 【答案】5 【分析】先分别计算式子中每一项的值，首先回忆特殊角的三角函数值，因为需要计算，所以确定的取值后代入计算该项．计算负整数指数幂项，因为负指数幂的运算规则是（），所以用该规则计算．计算绝对值项，因为负数的绝对值是它的相反数，所以据此计算．化简二次根式项，因为可分解为，所以根据二次根式的性质化简该项．最后将所有项的计算结果进行加减运算，得到最终结果． 【详解】 原式 ． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（26-27九年级上·吉林长春·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（26-27九年级上·山东济南·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型06 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 利用题目条件中已知的三角函数值，求出其中的特殊角，待求出三角形的所有内角后，即可判断三角形的形状. 典｜例｜精｜析 例6（26-27九年级上·湖南永州·期中）在中，，为锐角，满足，则是（     ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用绝对值与平方的非负性求出和的度数，再结合三角形内角和求出的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵ ，，且 ∴ ， ∴ ， ∵ ，为锐角 ∴ ， ∴ ∵ ，，均为锐角 ∴ 是锐角三角形． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答． 【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是根据绝对值和平方的非负性质，得到和的值，进而求出α和β的度数，从而确定三角形的形状．本题据此求解即可． 【详解】解：∵若，是一个三角形的两个锐角，且满足， ∴， ∴， ∴三角形中另外一个角为， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 3．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 题型07 用计算器求锐角三角函数值 典｜例｜精｜析 例7（2022·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据度分秒格式角度的输入按键规则，输入即可． 【详解】 解：首先按下功能键，激活正切计算模式，再输入度数值，按下度分秒转换键，确认的单位为度，最后输入数值，按下度分秒转换键，确认的单位为分，由此可得用计算器的按键顺序正确的是或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，掌握计算器是解题的关键．根据按键顺序，列出算式，求出，的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ； 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了计算器-三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子． 简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【详解】解：利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是： 故选：A． 3．（2025九年级·全国·专题练习）利用计算器求值时，若按键顺序为，则输出结果为___________（结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了计算器基础知识，熟练掌握特殊三角函数值的计算是关键． 先将按键顺序转化为算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意得，计算器输出的结果为， 故答案为：． 题型08 根据特殊三角函数值求角度 典｜例｜精｜析 例8（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，．再根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，，且． ∴，． ∴，． ∵、均为锐角． ∴，． ∵三角形内角和为． ∴． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值求出、的度数，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 3．（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 【答案】20 【分析】结合为锐角的取值范围，利用特殊角的余弦值确定的度数，进而求解的值． 【详解】解：∵为锐角 ∴ ∴ ∵，且 ∴ ∴． 题型09 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 典｜例｜精｜析 例9（2025九年级·全国·专题练习）已知下列各锐角的三角函数值，求这些锐角的度数（结果精确到）： （1），则______． （2），则______． （3），则______． 【答案】 【分析】（1）（2）（3）直接用计算器计算即可． 【详解】解：（1）， 则． （2）， 则． （3）， 则． 【点睛】本题主要考查了用计算器计算三角函数，解题的关键是掌握计算方法． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知三角函数值求角度，需要先按第二功能键调出反正切，再输入数值，最后按等号． 【详解】解：根据计算器功能键，用计算器求锐角的大小，先按反三角2ndF，再按正切值， 故按键顺序：，，，． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是一个锐角，且，利用计算器求的度数，按键方法及计算结果正确的是（　　） A．，结果为 B．，结果为 C．，结果为 D．，结果为 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是结合计算器的用法，考查特殊角三角函数值，解题关键是熟记有关特殊角的三角函数值．根据计算器按键，写出式子，进行计算判定即可． 【详解】 解：利用计算器求的度数，按键方法及计算结果正确的是，结果为， 故选：B 题型10 已知角度比较三角函数值大小 典｜例｜精｜析 例10（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，特殊角三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值是关键．根据锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值，先判断，再判断，再结合， 即可判断答案． 【详解】解：锐角的余弦值随角度增大而减小，且， ， 锐角的正弦值随角度增大而增大， ， 锐角的正切值随角度增大而增大，且， ， 综上所述，的值最大． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律． 锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． 3．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 题型11 根据三角函数值判断锐角取值范围 典｜例｜精｜析 例11（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为锐角， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）若为锐角，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，锐角三角函数值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据锐角三角函数的性质，锐角的余弦值范围是0到1之间，代入表达式列出不等式求解． 【详解】解：因为为锐角， 所以， 即． 解不等式，得：． 解不等式，得． 所以m的取值范围是． 故答案为：． 题型12 利用同角三角函数关系求值 典｜例｜精｜析 例12 （25-26九年级上·江苏·寒假作业）已知为锐角，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的序号是（　　） A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4） 【答案】C 【分析】本题主要考查了同角三角函数的关系及互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．根据同角三角函数的关系及互余两角三角函数的关系进行判断即可． 【详解】解：为锐角， ． 对于（1）：取，，故（1）错误； 对于（2）：根据互余关系，恒成立，故（2）正确； 对于（3）：根据正切定义，恒成立，故（3）正确； 对于（4）：因为，所以，所以，故（4）正确． 综上，正确的结论为：（2）（3）（4）． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】作，其中，，表示出，再结合勾股定理即可作答． 【详解】解：作，其中，， 如图， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 即． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的运算，由的值可得与的比值关系，代入求出，再计算目标表达式． 【详解】解：由，根据，得 代入， 得，即 整理得， 所以 则 因此 故答案为∶． 题型13 利用互余两角三角函数关系求解 典｜例｜精｜析 例13（2026·安徽滁州·一模）在中，，若，则的值为 ______ ． 【答案】 【分析】运用一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 < = 【分析】本题考查了锐角三角函数；余弦函数与正弦函数有互余关系：，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大， ∵， 因此； 依题意，， 故答案为：<，= 2．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如果为锐角，且，那么_____． 【答案】0.619 【分析】本题考查的知识点是锐角三角函数，解题关键是熟记三角函数关系． 根据可得到结果 【详解】解：如图，中，设， 则 ∴， 故答案为0.619． 3．（2025·安徽亳州·一模）若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查三角函数之间的关系，利用三角函数的互余关系，将 转化为 即可求解. 【详解】解：∵ ， ∴. 故答案为：. 题型14 锐角三角函数与新定义问题综合 典｜例｜精｜析 例14（24-25九年级上·四川眉山·期末）定义一种运算，，例如：当，时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的锐角函数值计算、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】解：由题意得， ， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23九年级上·湖南永州·阶段检测）关于三角函数有如下公式： ， ， （其中：） 例如：．利用上述公式计算下列三角函数：①，②，③，④ 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由，，，再结合给出的新定义公式进行计算即可． 【详解】解：① ，故①正确； ② ，故②正确； ③ ，故③正确； ④ ， ∴ ，故④错误； 所以正确的个数为：3个， 故选：C． 【点睛】本题考查的是新定义运算，特殊角的三角函数值的混合运算，理解题意，按照运算公式准确的进行计算是解本题的关键． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：在平面直角坐标系中，已知过点的直线的方程为，直线的方程为，记直线与直线的夹角为（为锐），则______________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义下的运算点到直线的距离，求一次函数解析式，两点之间的距离，正切值的定义，以及勾股定理，理解点到直线的距离是解题的关键．先求出直线的解析式，交点坐标B，以及A，B两点之间的距离，然后利用点到直接的距离求出，利用勾股定理求出，最后根据正切得定义求解即可． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线， 解得：， 根据题意画图如下： 即，，， ∴， 点到直线的距离为：， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式： ， 例： (1)试仿照例题，求出的准确值； (2)我们知道：，试求出的准确值； (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较． 【答案】(1) (2) (3)，此结果与（2）中的结论一致 【分析】（1）根据给出的公式计算即可； （2）将，代入计算即可； （3）构造含的直角三角形，再在的角中切出一个的角，结合图象即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ； （3）解：如图，，，则， ∴， 此结果与（2）中的结论一致． 题型15 三角函数综合 典｜例｜精｜析 例15（2026·江苏泰州·三模）如图，过外一点A作的切线，切点为点B，为的直径，点D为上一点，且，连接， ，线段交直径于点E，交于点 F，连接． (1)求证：； (2)若 求半径的长． 【答案】(1)证明：是的切线，切点为点B， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）证明， ，结合，得到 即可得证； （2）连接， 证明，设，则；得，，证明，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 为的直径， ， 根据同弧所对的圆周角相等，得， ， ， ， ， ， ， ， 设，则； 是的切线，切点为点B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得， 解得， ， 故半径的长为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·湖北十堰·自主招生）若，为锐角且时，现有公式：，，利用三个公式求解下列问题： (1)已知，求的值； (2)求的值； (3)证明：中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用进行变形求值即可； （2）先根据题干中信息得出，然后找出规律，得出答案即可； （3）先根据三角形内角和定理得出，根据，，得出，，从而得出，再化简等式左边即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即 ∴； （2）解： ， 同理得：， ， ， …… ， ∴ ； （3）证明：如图，在中，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， 右边． 2．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求的解析式； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)图中阴影部分面积之和：______________ 【答案】(1) (2)扇形的半径为2，圆心角的度数为 (3) 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）过点作的垂线，垂足为，利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：， ∴； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图： ， ， ， 扇形的半径为2； ， ， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数为； （3）解：， ， ， 如下图：令、的交点为， 由菱形知，， ， ， ． 【点睛】本题以“鱼形”图案为载体，融合了反比例函数、勾股定理、菱形性质、扇形面积计算等核心知识点，通过“函数求参几何量计算面积拼接”的逻辑链条，充分体现了数形结合的思想． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么．通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含角的直角三角形中，存在着的关系”．             这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： (1)如图2，在中，，，，，请判断此时“”的关系是否成立？答：________． (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，，过点C作于D，设， ∵在和中，， ∴________________， ________________．（用含a，b，c，h的式子表示） ∴________________，________________．（用含a，b，c，h的式子表示） ∴． 同理，过点A作于H，可证． ∴． (3)运用上面结论解答下列问题： ①如图4，在中，如果，，，求的长． ②在中，如果，，，求内切圆的半径． 【答案】(1)成立 (2)，，，，证明见解答过程 (3)①，②内切圆的半径为或 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理及全等三角形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据正弦的定义列出式子，变形即可； （2）根据正弦的定义，变形即可证明； （3）①根据即可直接得到答案； ②根据可求出或，根据不同情况作相应辅助线，利用全等三角形的性质得出相关线段的表达式，列出方程并求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：成立． （2）证明：如图3，过点C作于点D， 在和中， 则，， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， 故答案为：，，，． （3）解：①如图， 在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即的长为； ②当是锐角时， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即是直角三角形， ∴， 如图，在内切圆的圆心O作，，，设的半径为r， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴，解得：； 当是钝角时，如图，过点C作， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形， 如图，在内切圆的圆心O作，，，设的半径为， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵为等腰三角形，， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，内切圆的半径为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十二章 锐角三角函数 32.1 正弦、余弦和正切 知识点一 正弦、余弦、正切 名称 定义 数学语言 图形 正弦 在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A 余弦 在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A 正切 在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A 即学即练 1．（26-27九年级上·上海闵行·期中）在中，已知，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如果把一个的三边都扩大为原来的倍，那么锐角的余弦值（     ） A．扩大为原来的倍 B．保持不变 C．缩小为原来的 D．不能确定 3．（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在中，，若，，则等于（     ） A．10 B．3 C．5 D．6 4．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D．3 知识点二 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角. 即学即练 1．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）的值等于（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·山东烟台·期中）计算：__________________． 知识点三 锐角三角函数的性质 定义 取值范围 增减性 关系 正弦 sin A随∠A的增大而增大 （1）互为余角的三角函数： ①若∠A+∠B=90°，那么sin A = cos B或sin B = cos A ② （2）同角的三角函数值： 余弦 cos A随∠A的增大而减小 正切 tan A随∠A的增大而增大 （表格中的∠A为锐角） 即学即练 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 4．（25-26九年级下·广西崇左·阶段检测）已知α为锐角，，则____． 题型01 正弦、余弦、正切的概念辨析 1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，与直角三角形两边长的大小无关. 2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 3）若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”，如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时，不能省略角的符号“∠”，如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1. 典｜例｜精｜析 例1（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·山西·期末）在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 2．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）在Rt中，，、、的对边分别为a、b、c，则下列式子一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 题型02 求角的正弦值、余弦值、正切值 求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解. 典｜例｜精｜析 例2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，设为射线上一点，于点于点E，则等于（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级下·全国·期末）已知与关于原点位似，且相似比为，若锐角的正弦值为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 3．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）如图，点是锐角的边上任意一点，过点作于点．若，则（     ） A． B． C． D． 4．（2027九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（26-27九年级下·全国·期末）如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 题型03 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 典｜例｜精｜析 例3．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则________． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，则的长为_______________． 3．（2022·宁夏银川·一模）如图，是的弦，是的直径，，于，如果，则_____． 4．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，是上一点，，则的长为__________． 题型04 根据特殊角的三角函数值求解 典｜例｜精｜析 例4（26-27九年级上·全国·课后作业）用特殊角的三角函数填空： ______=______；______=______；1=______；______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）若，则的值是________． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）若是锐角，，则 __________． 3．（2025九年级·全国·专题练习）在中，，则_______． 题型05 特殊角三角函数值的混合运算 有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 典｜例｜精｜析 例5．（2024·山东潍坊·模拟预测）计算：________． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1) (2) 2．（26-27九年级上·吉林长春·期中）计算． (1)； (2)． 3．（26-27九年级上·山东济南·期中）计算：． 题型06 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 利用题目条件中已知的三角函数值，求出其中的特殊角，待求出三角形的所有内角后，即可判断三角形的形状. 典｜例｜精｜析 例6（26-27九年级上·湖南永州·期中）在中，，为锐角，满足，则是（     ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 3．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 题型07 用计算器求锐角三角函数值 典｜例｜精｜析 例7（2022·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．或 C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级·全国·专题练习）利用计算器求值时，若按键顺序为，则输出结果为___________（结果保留一位小数）． 题型08 根据特殊三角函数值求角度 典｜例｜精｜析 例8（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 题型09 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 典｜例｜精｜析 例9（2025九年级·全国·专题练习）已知下列各锐角的三角函数值，求这些锐角的度数（结果精确到）： （1），则______． （2），则______． （3），则______． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是一个锐角，且，利用计算器求的度数，按键方法及计算结果正确的是（　　） A．，结果为 B．，结果为 C．，结果为 D．，结果为 题型10 已知角度比较三角函数值大小 典｜例｜精｜析 例10（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 3．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 题型11 根据三角函数值判断锐角取值范围 典｜例｜精｜析 例11（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）锐角满足，且，则的取值范围为___________． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）若为锐角，且，则的取值范围是______． 题型12 利用同角三角函数关系求值 典｜例｜精｜析 例12 （25-26九年级上·江苏·寒假作业）已知为锐角，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的序号是（　　） A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4） 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：__________． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 题型13 利用互余两角三角函数关系求解 典｜例｜精｜析 例13（2026·安徽滁州·一模）在中，，若，则的值为 ______ ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 2．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如果为锐角，且，那么_____． 3．（2025·安徽亳州·一模）若，则_______． 题型14 锐角三角函数与新定义问题综合 典｜例｜精｜析 例14（24-25九年级上·四川眉山·期末）定义一种运算，，例如：当，时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23九年级上·湖南永州·阶段检测）关于三角函数有如下公式： ， ， （其中：） 例如：．利用上述公式计算下列三角函数：①，②，③，④ 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：在平面直角坐标系中，已知过点的直线的方程为，直线的方程为，记直线与直线的夹角为（为锐），则______________． 3．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式： ， 例： (1)试仿照例题，求出的准确值； (2)我们知道：，试求出的准确值； (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较． 题型15 三角函数综合 典｜例｜精｜析 例15（2026·江苏泰州·三模）如图，过外一点A作的切线，切点为点B，为的直径，点D为上一点，且，连接， ，线段交直径于点E，交于点 F，连接． (1)求证：； (2)若 求半径的长． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·湖北十堰·自主招生）若，为锐角且时，现有公式：，，利用三个公式求解下列问题： (1)已知，求的值； (2)求的值； (3)证明：中． 2．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求的解析式； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)图中阴影部分面积之和：______________ 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么．通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含角的直角三角形中，存在着的关系”．             这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： (1)如图2，在中，，，，，请判断此时“”的关系是否成立？答：________． (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，，过点C作于D，设， ∵在和中，， ∴________________， ________________．（用含a，b，c，h的式子表示） ∴________________，________________．（用含a，b，c，h的式子表示） ∴． 同理，过点A作于H，可证． ∴． (3)运用上面结论解答下列问题： ①如图4，在中，如果，，，求的长． ②在中，如果，，，求内切圆的半径． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $