专题05 指对幂混合运算9种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题05 指对幂混合运算 （题型突破·举一反三） 题型 01 根式的化简求值 题型 02 分数指数幂与根式的互化 题型 03 指数幂的化简、求值 题型 04 整体代换法求分数指数幂 题型 05 指数式和对数式的互化 题型 06 对数的运算 题型 07 换底公式的应用 题型 08 用已知对数表示其他对数 题型 09 指对幂的综合 ▌题型01 根式的化简求值 1. 核心逻辑 区分奇次根式、偶次根式；偶次根式开方结果要加绝对值，再根据条件去掉绝对值符号。 2. 解题步骤 ① 看根指数奇偶：奇数直接得底数；偶数先写绝对值； ② 结合题干给出字母取值范围，去掉绝对值； ③ 合并化简得到结果。 3. 易错提醒 • 偶次根式直接去掉绝对值，忽略符号； • 是常见错误，正确是 。 【例1】（26-27高一·江苏·期中）计算：___________． 【变式1-1】（26-27高一·江苏镇江·阶段检测）已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 【变式1-2】（26-27高一·全国·课后作业）计算或化简： (1)； (2). 【变式1-3】（26-27高一·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) ▌题型02 分数指数幂与根式的互化 1. 核心逻辑 正数的根式和分数指数幂互相转化；根号内幂次作分子，根指数作分母；负指数代表取倒数。 2. 解题步骤 ① 根式转分数指数幂：； ② 分数指数幂转根式：； ③ 负指数先写成倒数，再转化根式； ④ 字母默认 再化简。 3. 易错提醒 分子分母写颠倒；负数随意使用分数指数幂（底数必须大于0）。 【例2】（26-27高三·上海松江·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27高一·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【变式2-2】（2026高一·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2-3】（2026高一·湖南衡阳·期中）设，则_____.（结果用分数指数幂表示） ▌题型03 指数幂的化简、求值 1. 核心逻辑 运用指数幂四则运算法则，同底幂合并指数；小数先化为分数，带分数化为假分数。 2. 解题步骤 ① 把小数、带分数统一化为分数； ② 把根式全部改写成分数指数幂； ③ 同底数幂进行指数加减运算； ④ 整理结果，可写根式或分数指数幂。 3. 易错提醒 不能拆成 ；运算指数加减时符号出错。 【例3】（26-27高一·黑龙江·期中）______． 【变式3-1】（26-27高一·广东广州·期中）的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27高一·安徽·期中）求值：_____． 【变式3-3】（26-27高一·甘肃庆阳·期中）计算______． ▌题型04 整体代换法求分数指数幂 1. 核心逻辑 已知 或者 ，利用完全平方： ； 立方和：，整体代入，不解出 。 2. 解题步骤 ① 对已知等式两边平方/立方； ② 移项得到目标代数式整体的值； ③ 注意开方之后符号，根据题意判断正负取舍。 3. 易错提醒 平方之后忘记常数项2；开方不判断符号，多取负根。 【例4】（26-27高一·全国·暑假作业）若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式4-1】（2026高一·上海·暑假作业）已知 ，求： (1)； (2)． 【变式4-2】【多选】（2026高一·全国·暑假作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026高三·全国·专题练习）若，则=______________；=_____________． ▌题型05 指数式和对数式的互化 1. 核心逻辑 互化关系：，底数保持不变；，负数没有对数。 2. 解题步骤 ① 找准底数 ，指数 ，幂 ； ② 指数式转对数式：指数作为对数结果，幂作为真数； ③ 对数式转指数式：对数结果作为指数，真数作为幂； ④ 进行进一步计算。 3. 易错提醒 真数 不能写成对数；互化时底数写错。 【例5】（26-27高三·贵州毕节·阶段检测）若，则________. 【变式5-1】（26-27高一·江苏·期中）已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【变式5-2】（26-27高一·上海普陀·阶段检测）已知，，则__________． 【变式5-3】（2026·江苏南通·模拟预测）已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 ▌题型06 对数的运算 1. 核心逻辑 同底对数才可以使用加减运算； 不能拆分；灵活使用 、。 2. 解题步骤 ① 统一底数； ② 乘变加，除变减，幂次提到对数前面； ③ 合并化简； ④ 遇到 、 直接按常用、自然对数运算。 3. 易错提醒 ；对数运算把对数符号丢掉。 【例6】（2026高一·广东惠州·阶段检测）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【变式6-1】（26-27高三·黑龙江哈尔滨·期中）=________． 【变式6-2】（2026高二·甘肃·学业考试真题）______. 【变式6-3】（26-27高一·北京昌平·期中）求值： ▌题型07 换底公式的应用 1. 核心逻辑 不同底数对数计算，用换底公式统一中间底数；连乘题型利用推论约分。 2. 解题步骤 ① 多个不同底对数，换成同一个底数； ② 使用推论 处理底数、真数带幂次； ③ 连乘题型约分消去中间对数； ④ 算出结果。 3. 易错提醒 换底公式分子分母颠倒；推论 分子分母搞反。 【例7】（26-27高一·全国·课堂例题）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式7-1】（26-27高一·上海静安·期中）已知，，则可用，表示为_____． 【变式7-2】（26-27高三·安徽合肥·阶段检测）已知，，则______． 【变式7-3】（26-27高三·山东青岛·阶段检测）已知，且，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 ▌题型08 用已知对数表示其他对数 1. 核心逻辑 把目标对数的真数、底数拆解为已知条件数字的乘、除、乘方，借助换底公式展开后代入。 2. 解题步骤 ① 对目标对数真数、底数做因式分解； ② 用对数运算性质、换底公式展开； ③ 代入题目给的已知对数，整理表达式。 3. 易错提醒 拆分真数出错；幂次系数放置错误。 【例8】（26-27高一·江苏盐城·期中）设，且，则t＝________；若，则________．（用表示） 【变式8-1】（26-27高一·上海徐汇·期中）（1）已知，求及的值； （2）已知，，用，分别表示、、和． 【变式8-2】（26-27高一·上海虹口·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】【多选】（26-27高一·江苏·期中）设，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． ▌题型09 指对幂的综合 1. 核心逻辑 一道题同时包含根式、分数指数幂、对数；分开处理指数部分与对数部分，分步运算。 2. 解题步骤 ① 根式全部化为分数指数幂； ② 指数部分单独计算；对数部分单独化简； ③ 两部分再做加减乘除； ④ 得到最终数值。 3. 易错提醒 运算顺序混乱；指数、对数公式混用。 【例9】（2026高一·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式9-1】（2026届天津市耀华中学高三开学考数学试卷（含答案））式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【变式9-2】（2026高一·广东中山·阶段检测）（1）计算：； （2）计算：． 【变式9-3】（2026高一·广东东莞·期中）计算的结果是______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指对幂混合运算 （题型突破·举一反三） 题型 01 根式的化简求值 题型 02 分数指数幂与根式的互化 题型 03 指数幂的化简、求值 题型 04 整体代换法求分数指数幂 题型 05 指数式和对数式的互化 题型 06 对数的运算 题型 07 换底公式的应用 题型 08 用已知对数表示其他对数 题型 09 指对幂的综合 ▌题型01 根式的化简求值 1. 核心逻辑 区分奇次根式、偶次根式；偶次根式开方结果要加绝对值，再根据条件去掉绝对值符号。 2. 解题步骤 ① 看根指数奇偶：奇数直接得底数；偶数先写绝对值； ② 结合题干给出字母取值范围，去掉绝对值； ③ 合并化简得到结果。 3. 易错提醒 • 偶次根式直接去掉绝对值，忽略符号； • 是常见错误，正确是 。 【例1】（26-27高一·江苏·期中）计算：___________． 【答案】1 【分析】由根式的运算公式求解. 【详解】. 【变式1-1】（26-27高一·江苏镇江·阶段检测）已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 因为，所以，， 故. 【变式1-2】（26-27高一·全国·课后作业）计算或化简： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)-7 【解析】（1）根据n次根式的性质化简即可； （2）根据实数指数幂的运算法则计算即可． （1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式1-3】（26-27高一·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可. 【详解】（1）. （2）， 因为，所以， 所以. （3）. ▌题型02 分数指数幂与根式的互化 1. 核心逻辑 正数的根式和分数指数幂互相转化；根号内幂次作分子，根指数作分母；负指数代表取倒数。 2. 解题步骤 ① 根式转分数指数幂：； ② 分数指数幂转根式：； ③ 负指数先写成倒数，再转化根式； ④ 字母默认 再化简。 3. 易错提醒 分子分母写颠倒；负数随意使用分数指数幂（底数必须大于0）。 【例2】（26-27高三·上海松江·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将根式转化为分数指数幂形式，结合同底数幂的乘法运算法则化简，匹配对应选项即可. 【详解】，故D正确. 【变式2-1】（26-27高一·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【详解】. 【变式2-2】（2026高一·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 【变式2-3】（2026高一·湖南衡阳·期中）设，则_____.（结果用分数指数幂表示） 【答案】 【分析】根据分数指数幂的计算公式即可求解. 【详解】. 故答案为： ▌题型03 指数幂的化简、求值 1. 核心逻辑 运用指数幂四则运算法则，同底幂合并指数；小数先化为分数，带分数化为假分数。 2. 解题步骤 ① 把小数、带分数统一化为分数； ② 把根式全部改写成分数指数幂； ③ 同底数幂进行指数加减运算； ④ 整理结果，可写根式或分数指数幂。 3. 易错提醒 不能拆成 ；运算指数加减时符号出错。 【例3】（26-27高一·黑龙江·期中）______． 【答案】8 【详解】，， ， 所以. 【变式3-1】（26-27高一·广东广州·期中）的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数指数幂的运算法则直接计算即可. 【详解】 . 【变式3-2】（26-27高一·安徽·期中）求值：_____． 【答案】 【详解】原式． 【变式3-3】（26-27高一·甘肃庆阳·期中）计算______． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可. 【详解】原式 . ▌题型04 整体代换法求分数指数幂 1. 核心逻辑 已知 或者 ，利用完全平方： ； 立方和：，整体代入，不解出 。 2. 解题步骤 ① 对已知等式两边平方/立方； ② 移项得到目标代数式整体的值； ③ 注意开方之后符号，根据题意判断正负取舍。 3. 易错提醒 平方之后忘记常数项2；开方不判断符号，多取负根。 【例4】（26-27高一·全国·暑假作业）若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. 【变式4-1】（2026高一·上海·暑假作业）已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解； （2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 【详解】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 【变式4-2】【多选】（2026高一·全国·暑假作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 【变式4-3】（2026高三·全国·专题练习）若，则=______________；=_____________． 【答案】 7 【分析】利用完全平方公式及立方和公式结合分数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】由题意，所以. 由题意， 所以. 故答案为：7；. ▌题型05 指数式和对数式的互化 1. 核心逻辑 互化关系：，底数保持不变；，负数没有对数。 2. 解题步骤 ① 找准底数 ，指数 ，幂 ； ② 指数式转对数式：指数作为对数结果，幂作为真数； ③ 对数式转指数式：对数结果作为指数，真数作为幂； ④ 进行进一步计算。 3. 易错提醒 真数 不能写成对数；互化时底数写错。 【例5】（26-27高三·贵州毕节·阶段检测）若，则________. 【答案】 【分析】先利用分数指数幂的运算法则计算等式右侧，再根据对数的定义求出. 【详解】由，得. 根据对数的定义，得. 【变式5-1】（26-27高一·江苏·期中）已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】已知，故， ，故． 【变式5-2】（26-27高一·上海普陀·阶段检测）已知，，则__________． 【答案】/ 【分析】利用指数和对数的互化公式，结合同底数幂的运算即可求解. 【详解】由题知，，， 所以， 所以. 【变式5-3】（2026·江苏南通·模拟预测）已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. ▌题型06 对数的运算 1. 核心逻辑 同底对数才可以使用加减运算； 不能拆分；灵活使用 、。 2. 解题步骤 ① 统一底数； ② 乘变加，除变减，幂次提到对数前面； ③ 合并化简； ④ 遇到 、 直接按常用、自然对数运算。 3. 易错提醒 ；对数运算把对数符号丢掉。 【例6】（2026高一·广东惠州·阶段检测）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，. 所以原式 . （2）因为. ，. 所以原式 . 【变式6-1】（26-27高三·黑龙江哈尔滨·期中）=________． 【答案】10 【详解】 . 【变式6-2】（2026高二·甘肃·学业考试真题）______. 【答案】 【详解】. 【变式6-3】（26-27高一·北京昌平·期中）求值： 【答案】 【分析】根据指数、对数运算性质运算求解即可。 【详解】因为， 所以， 所以 ▌题型07 换底公式的应用 1. 核心逻辑 不同底数对数计算，用换底公式统一中间底数；连乘题型利用推论约分。 2. 解题步骤 ① 多个不同底对数，换成同一个底数； ② 使用推论 处理底数、真数带幂次； ③ 连乘题型约分消去中间对数； ④ 算出结果。 3. 易错提醒 换底公式分子分母颠倒；推论 分子分母搞反。 【例7】（26-27高一·全国·课堂例题）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又， 所以. 【变式7-1】（26-27高一·上海静安·期中）已知，，则可用，表示为_____． 【答案】 【分析】先将化为对应对数式，再通过换底公式与对数运算性质拆解目标对数，再代入已知关系化简可得. 【详解】由，根据对数定义可得； 由，根据换底公式，得. 再根据换底公式 . 因此. 【变式7-2】（26-27高三·安徽合肥·阶段检测）已知，，则______． 【答案】 【详解】由，得， 则， 即， 所以． 【变式7-3】（26-27高三·山东青岛·阶段检测）已知，且，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】A 【详解】由，得，而， 因此，即， 则，又，所以. ▌题型08 用已知对数表示其他对数 1. 核心逻辑 把目标对数的真数、底数拆解为已知条件数字的乘、除、乘方，借助换底公式展开后代入。 2. 解题步骤 ① 对目标对数真数、底数做因式分解； ② 用对数运算性质、换底公式展开； ③ 代入题目给的已知对数，整理表达式。 3. 易错提醒 拆分真数出错；幂次系数放置错误。 【例8】（26-27高一·江苏盐城·期中）设，且，则t＝________；若，则________．（用表示） 【答案】 【详解】由、，可得，，且， 则，， 故 即，即，因，则； 由，得，又， 所以. 【变式8-1】（26-27高一·上海徐汇·期中）（1）已知，求及的值； （2）已知，，用，分别表示、、和． 【答案】（1），；（2），，， 【分析】（1）利用平方法和换元法，结合完全平方公式进行求解即可； （2）利用换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）； 令， 所以； （2）； ； ； . 【变式8-2】（26-27高一·上海虹口·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算法则化简即可. 【详解】由题可得. 【变式8-3】【多选】（26-27高一·江苏·期中）设，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先将已知对数统一底数为2，再结合对数运算公式和基本不等式逐个验证选项即可. 【详解】因为，，故，且，因此即. 选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：设，，则 ，， 故. 时，， 所以，等号当且仅当时成立，故D正确. ▌题型09 指对幂的综合 1. 核心逻辑 一道题同时包含根式、分数指数幂、对数；分开处理指数部分与对数部分，分步运算。 2. 解题步骤 ① 根式全部化为分数指数幂； ② 指数部分单独计算；对数部分单独化简； ③ 两部分再做加减乘除； ④ 得到最终数值。 3. 易错提醒 运算顺序混乱；指数、对数公式混用。 【例9】（2026高一·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）（2）（3）根据指对幂运算法则逐一求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） . 【变式9-1】（2026届天津市耀华中学高三开学考数学试卷（含答案））式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题意利用指数与指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得到结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式9-2】（2026高一·广东中山·阶段检测）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算性质，进行运算，即可求解； （2）根据题意，利用指数幂的运算性质和对数的运算性质，进行运算，即可求解. 【详解】解：（1）由对数的运算性质，可得； （2）由指数幂与对数的运算性质，可得： 原式. 【变式9-3】（2026高一·广东东莞·期中）计算的结果是______． 【答案】 【分析】根据指数幂及对数的运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05 指对幂混合运算 ■题型01根式的化简求值 三典例精析 【例1】【答案】1 【分析】由根式的运算公式求解， 【详解】π-3+（元-4）=π-3+m-4=π-3+4-元=1. 举一反三 【变式1-1】【答案】B 【详解】因为a2-2a+1=(a-12,ad2-8a+16=(a-4)2, 所以V2-2a+1+va2-8a+16=V(a-12+Va-4}=a-1+a-4, 因为1<a<3,所以a-1>0,a-4<0, 故la-l+la-4=a-1+4-a=3. 【变式1-2】【答案】(10 (2)-7 【解析】(1)根据n次根式的性质化简即可： (2)根据实数指数幂的运算法则计算即可. (1)解：原式=b-a+a-b=0 9 7 (2)解：原式=4+1- 8 -22 3 9+1-2 22 -8=-7 【变式1-3】【答案】(1)π-11 (2)0 1114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)2V2 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可 【详解】(1)(-8)3+3-π)=-8+π-3=π-11. (2)(a-b)+f(b-a)=a-b+lb-a, 因为b>a,所以b-d=b-a, 所以(a-b3+b-a)°=a-b+b-a=0. (3)0+2)3+0-√2)=1+V2+2-1=2W2】 题型02分数指数幂与根式的互化 三典例精析 【例2】【答案】D 【分析】将根式转化为分数指数幂形式，结合同底数幂的乘法运算法则化简，匹配对应选项即可 【详解】aa=aa3=a3,故D正确。 E 举一反三 5 【变式2-1】【答案】a4 1 3 3 avaa ava.a2 ava2 5 【详解】 a3.a1 a2 1=a4 a2 a2 【变式2-2】【答案】(1)ab2 2 (2)m3 3(m-n)月 (4)a3 5)a3 【分析】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案 2/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)a怀=(ab)=ab； 2 (2)m2=m3: (3)由于m>n,故m-m=(m-n)2, (4)Ja-a=ai-ai-a: s w--w--w-- 【变式23】【答案】a 【分析】根据分数指数幂的计算公式即可求解. 【详解】 =3 0 aa 故答案为：a3 题型03指数幂的化简、求值 典例精析 【例3】【答案】8 【详解】0.027 2-3 a-新号 2-3°=1， 所以02-g95--1g091-8 举一反目 【变式3-1】【答案】D 3/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】根据实数指数幂的运算法则直接计算即可 【详解】(0.008)+V(3-π)2-(25)2+π 5+n-3- 1 =π-2 1 【变式3-2】【答案】2 【详解】原式 -1+2-(6-1+32-3- 【变式3-3】 【答案】3 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可. 22+ -名日 9 99 42168+3 9_9_9+3=3. 488 1题型04整体代换法求分数指数幂 4114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三典例精析 【例4】【答案】(1)79 (2)V11 【详解】(1)因为(x+x）=x2+x2+2=81, 所以x2+x2=79 2+ =x+x+2=11,且，、 x2+x2>0 所以x2+x2= 举一反三 【变式4-1】【答案】(1)±2 (2)10√2 【分析】(1)利用完全平方公式进行求解： (2)利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 即x2+2+1 =8,2+ =8-2=6. 1 〔-2-2* 因为+曰=6，所以(6-2=4，则x-2 2r+气+e--(+-+) 已知x+2,2+=6,所以+-22x6-)=25x5=105. 【变式4-2】【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案 5114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】A.25+a25=(a5+a-2=9-2=7,故A正确： B.5+a5=(a5+a(a25-1+a2）=3x6=18,故B错误： 5 C.由a5+a5=3可知a>0,故a2+a2>0, 因为a2+a=a+2+a35,所以9+25，放c正确 D.因为a2a5+1335 =a2+a2 a25√a a2+a2 =a+心+2=20，所以原式-25放D正第 故选：ACD 【变式4-3】【答案】 7 【分析】利用完全平方公式及立方和公式结合分数指数幂的运算法则计算即可 【详解】由题意；，}，所以a+a a2+a2 2=32-2=7. a2+a2=3 由题意a2+a2-3, 33 所以a2+a2-3 [ataia-d.dita-3 3×(7-1)-3_15_1 a2+a2-2 (a+a2-4 72-4453 故答案为：7；3 1题型05 指数式和对数式的互化 E 典例精析 【例5】【答案】 6114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 49 【分析】先利用分数指数幂的运算法则计算等式右侧，再根据对数的定义求出x. 【详解】由16,5=164=(24)4=23=8，得10g2x=8-6=2. 根据对数的定义，得x=72=49, 举一反三 【变式5-1】【答案】C 【详解】已知a=l0g23,故x=3, 2-品=22556故2治-5 33 1 【变式5-2】【答案】20.5 【分析】利用指数和对数的互化公式，结合同底数幂的运算即可求解. 【详解】由题知，a=log,2,b=log,8, 所以3°=2,3=8,320=(3=4， 所以326=32、41 =35821 【变式53】【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，loga2=m,log3=n」 所以a=2,a=3,所以a2m*0=(a2(a）=2.32=108 题型06 对数的运算 典例精析 7114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17 【例6】【答案】(1)18 【详解】 (1)因 6-81c-0 所以原式2 417 918 (2)因为log,27=10g,3=3 3 41 lg25+lg4=lg100=2,7e2=2. 3 3 所以原式=。+2-2=3 4 4 E 举一反王 【变式6-1】【答案】10 【详解】 4 +(π-e)°+l1g8+lg125+2,4 +1+1g(8×125)+4 +1+lg1000+4=2+1+3+4=10. 【变式6-2】【答案】0 【详解】 2 -(π-1)°+2g5+lg4-e3=2-1+2(g5+lg2)-3=2-1+2-3=0. 【变式6-3】【答案】-48 【分析】根据指数、对数运算性质运算求解即可。 ①详解1因为0g,36=10g,4x9=1+l0g,9=+10g,3,1g2=1og3-1og4=1og,3-2 所以loe,36-loe}-0+hb83)-0o83-2)=3, 8114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以s××名-e,(e36-}-e =8×2x1-1og,3-(e7y-2×2-1-49=2-1-49=48 题型07换底公式的应用 典例精析 【例7】【答案】C 【详解】因为6-12，所以b=1og612,又a=log,6, 所以b+&-l1og612+06=1og612+1ogs3=l1og.(12×3)=1og636=1bg.6=2 1 a log;6 举一反三 mn+2n+1 【变式7-1】【答案】2(n+) 【分析】先将3”=5化为对应对数式m=1og,5,再通过换底公式与对数运算性质拆解目标对数log,690,再 代入已知关系化简可得 【详解】由3"=5，根据对数定义可得m=log,5: 由n=log,3,根据换底公式，得1l0g,2=1 n 再根据换底公式1og690=10g,0-1og,32×2x_1og,32+1g,2+10g,5 1og3361og,(32×22)1og332+1og,22 2+1+m 2+,2+10522-m+2n+1 2+210g,22+2 n2(n+1) 9114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因此l0g690=mn+2n+1 2(n+1)· 【变式7-2】【答案】81 【详解】由x=3,得a=log23, 1og23 a b=l0g 3= 则 08.10g28 1 3, 即3b-a=-2a, 所以4=420=20=(2)=3= Γ81 【变式73】【答案】A 12=2 【详解】由4=3y=k'得x=log4k,y=lg,k,而xy 1 +2 因此iogk+iog,k-2,即2=lbg:4+21og:3=1og:36: 则k2=36,又k>0,所以k=6. 1题型08用已知对数表示其他对数 典例精析 _3n+1 【例8】【答案】 2V5 mn+n+1 【详解】由2=t、3=t,可得a=log2t,b=log31,且t>0,t≠1， 11=10g2,61og,1 则alog2t 11=1og3, 放2+621g,2+1og3=1og,22+1og3=1og,4×3)=ogd 即log,12=2,即2=12，因1>0，则1=2V3: 10/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由1og,2=n,得10g27=1 ,又1og23=m, 10g2(23×7)3+log27 31 3n+1 所以l0g4256= log,(2x3x7)1+log2 3+log27 1+m+ 1 mn+n+l' n 举一反三 【变式8-1】【答案】(1)a2+a2=34,a2-a2=2:(2)lg2=1-a,lg3=a+b-1, lg300=a+b+1,logn15=2a+b-1 b-a+1 【分析】(1)利用平方法和换元法，结合完全平方公式进行求解即可： (2)利用换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可 【详解】(1)ad2+a2=(a+a-2-aa=6-2=34, 所以a2-a2=2: (2)lg2=lg(10÷5)=lg10-lg5=1-a, g3=lg(6÷2)=lg6-lg2=b-(1-a)=a+b-1: 1g300=lg3x102）=lg3+lg102=a+b-1+2=a+b+1: 1og215=g15-lg3x5）-lg3+lg5-a+b-1+a2a+h-1 gl2lg(3×22）lg3+lg22a+b-1+21-ab-a+1· 【变式8-2】【答案】D 【分析】根据对数的运算法则化简即可： 【详1南圈可得e于-g2-g5=8,-g-2g,gy=24- y 2 【变式8-3】【答案】ACD 【分析】先将已知对数统一底数为2，再结合对数运算公式和基本不等式逐个验证选项即可· 11/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】因为a=1og2m,b=1og:m=21o82”,故1og,n=2b,且n>1因此1ogn=2b>0即b>0 2 选项A:log2(mm)=log2m+log2n=a+2b,故A正确： 选项B:logm=log,m=。 log2(m)a+2b,故B错误； 选项C:1ogmn=)log.n=.1o8”=1.26=b 2log2m2aa,故C正确： 一族题D:设a-08,m'y=26=g,>0'则哈m三吗” log2 (m'n)2x+y, log2 n y log n= xy log,(mm2ylxomy)(x+2y)2y5x x>0时，2x2+2y2+5xy≥4xy+5xy=9xy, 所以log nx log msxy=1 9y9,等号当且仅当x=y时成立，故D正确， 1题型09 指对幂的综合 三典例精析 【例9】【答案】2 (2)8 (3)-3 【分析】(1)(2)(3)根据指对幂运算法则逐一求解即可. 【详解】(1)1og432+1g125+1g8-62+(-8)-1og,2×1og481 -log+-2-2-log,2xlog,(5+2)-4-I 12/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =5+3-5= 2· 2)8+5+2y+0+4-可=5+1+3+4-万 =3+1+V3+4-V3=8」 (3)(1og43+logs3)(1og,2+log,2)+1og,27-2:5 eg3+gg,2+g}+ig,3-5 1og24log28八 10g,9 53+3-5=3 G3+》e2+子58+ 举一反三 【变式9-1】【答案】C 【分析】根据题意利用指数与指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得到结果. 【详解】因为25=(5)°，所以log525=1og5（5°=4， 因为0125-88'=[Q门=2，所以o12s)后-y-2=4, 2 所以e3+log525+(0.125)3=3+4+4=11 故选：C 【变式9-2】【答案】(1)2：(2)3. 【分析】(1)根据题意，利用对数的运算性质，进行运算，即可求解： (2)根据题意，利用指数幂的运算性质和对数的运算性质，进行运算，即可求解. 1 【详解】解：(1)由对数的运算性质，可得lg52+2g8=2g5+2lg83=2(g5+lg2)=2lg10=2: 3 (2)由指数幂与对数的运算性质，可得： 原式=2×2+3号-1=25+3：e3-1=2+3e2-1=1+3-1=3 11 7 【变式93】【答案】+5 【分析】根据指数幂及对数的运算性质计算即可： 13/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】83+V2-V5+nve+log35-1og,7 (2形+2-5+nc2+log,5=4+5-2++1=7tV5 2 2 效莎案为：子+5 14/14