专题05 分段函数10种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以10类题型为框架，系统整合分段函数求函数值、单调性等考法，通过核心逻辑+解题步骤+易错提醒构建方法体系，知识由基础应用到综合拓展递进，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |10类分段函数考法|每题型1例+3变式|各题型核心逻辑（如分段讨论、区间匹配）、解题步骤（如分层求值、端点验证）、易错提醒（如区间边界混淆）|从基础函数值计算到图像、性质（单调性/奇偶性），再到值域、max/min型及狄利克雷函数，形成从具体到抽象、从简单到综合的知识链|

专题05 分段函数10种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 分段函数求函数值 题型 02 已知函数值求参数 题型 03 解分段函数不等式 题型 04 分段函数的图象 题型 05 分段函数的单调性 题型 06 分段函数的奇偶性 题型 07 分段函数的值域或最值 题型 08 根据分段函数的值域（最值）求参数范围 题型 09 max/min型分段函数 题型 10 狄利克雷函数 ▌题型01 分段函数求函数值 1.核心逻辑 先判断给出的自变量属于哪一段定义域，再代入该段解析式计算；多层嵌套函数值，从内向外逐层求解。 2.解题步骤 (1)观察自变量的数值，匹配分段的区间范围； (2)选用对应区间的函数表达式代入计算； (3)若是嵌套形式，先算内层函数值，再用结果继续匹配区间算外层； (4)化简得到最终函数值。 3.易错提醒 (1)区间边界混淆，把端点代入错误解析式； (2)嵌套求值先算外层再算内层，计算顺序颠倒； (3)计算代数式时分式、根式化简出错。 【例1】（2026高二·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 【变式1-1】（2026高二·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数时，利用二项式定理或同余算出除以余数为，通过周期性转化为，代入解析式求得结果． 【详解】， 所以除以余数为，即存在，使得， 时，， 所以． 【变式1-2】（2026高二·江西南昌·期末）已知函数则_______. 【答案】 【详解】 根据分段函数定义，, 因此. 【变式1-3】（2026·湖南长沙·模拟预测）设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由已知， 所以. ▌题型02 已知函数值求参数 1.核心逻辑 已知，无法确定在哪一段，必须分段分类讨论，求出解后检验解是否落在本段区间内，舍去不符合的增根。 2.解题步骤 (1)对每一段区间，分别列方程：本段解析式； (2)分别解每一段对应的方程，得到候选解； (3)检验每个解是否满足该段自变量范围，不在区间内直接舍去； (4)整合全部有效解，写出答案。 3.易错提醒 (1)不检验解对应的区间，保留增根； (2)只计算其中一段，漏掉其他分段的解。 【例2】（2026高二·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 【变式2-1】（2026高一·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 【变式2-2】（2026高二·浙江温州·学业考试）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性，结合代入法、函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，， 所以一定有， 由 ，或， 当时，解得， 当时，因为该一元二次方程根的判别式为， 所以该方程没有实数根， 综上所述：. 【变式2-3】（2026·浙江·模拟预测）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. ▌题型03 解分段函数不等式 1.核心逻辑 分段不等式不能统一求解，按分段区间拆分，每一段联立「自变量区间+本段不等式」，最后所有解集取并集。 2.解题步骤 (1)按分段区间分成若干组不等式组； (2)每组同时满足：①属于本段区间；②本段解析式满足题目不等关系； (3)分别求解每组不等式组，得到每一段的有效范围； (4)将所有分段解集用合并，写出最终解集。 3.易错提醒 (1)忘记搭配自变量区间，直接解函数不等式导致范围扩大； (2)各段解集不用并集连接，分开书写。 【例3】（2026高三·上海·期中）已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 【变式3-1】（2026高二·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 【变式3-2】（2026高一·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 【变式3-3】（2026高二·浙江·学业考试）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得. 综上，不等式的解集为. ▌题型04 分段函数的图象 1.核心逻辑 一段一段画图，每一段只保留定义域内图像；区间端点空心/实心区分：包含等号画实心点，不含等号画空心圈；含绝对值函数先去绝对值化为分段函数再作图。 2.解题步骤 (1)拆分每一段解析式与对应范围； (2)单独画出每一段基础函数图像，截去定义域外部分； (3)标记分段端点：有等于号实心，无等于号空心； (4)组合所有分段图像，检查端点无重叠、无空缺。 3.易错提醒 (1)端点虚实标记错误； (2)绝对值函数不去绝对值直接画图； (3)多段图像漏画其中某一段。 【例4】（2026高一·云南昭通·期中）在图中，作出下列函数的图象. (1)，； (2)已知函数 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数解析式即可直接作图； （2）由函数解析式即可直接作图； 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-1】（2026高一·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)   【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 【变式4-2】（2026高一·天津和平·期中）已知函数. (1)求 的值； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)求关于的方程的实数根． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的解析式由内到外计算可得出的值； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象； （3）分、两种情况解方程，可得其实数根. 【详解】（1）因为，则，. （2）作出函数的图象如下图所示：    （3）当时，由，可得， 当时，，此时，方程无解. 综上所述，方程的实数根为. 【变式4-3】（2026高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可； （2）根据一次函数图象性质进行画图，根据图象求最值即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）由（1）得 由此画出的图象如下图所示： 由图象知，的值域为. ▌题型05 分段函数的单调性 1.核心逻辑 两层要求：①每一段自身单独单调；②相邻两段在分界点处，左边终点函数值右边起点函数值（递增），左边终点右边起点（递减），两层条件同时满足才是整体单调。 2.解题步骤 考法1：求单调区间 (1)分别判断每一段函数自身增减； (2)对比分界点左右函数值，满足衔接条件则区间可合并； (3)写出整体单调区间。 考法2：已知整体单调性求参数 (1)根据每段函数单调性，列出参数初步范围； (2)列分界点函数值大小不等式； (3)联立所有不等式，取交集得到参数范围。 3.易错提醒 只保证每段单调，忽略分界点函数值大小关系，造成参数范围出错。 【例5】（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）函数的单调递增区间是_________． 【答案】， 【分析】利用分类讨论法解决含绝对值的二次函数单调性问题. 【详解】当时，，对称轴为，在上单调递减，上单调递增； 当时，，对称轴为，在上单调递减，上单调递增， 综上所述，的递增区间为，， 故答案为：，. 【变式5-1】（2026高一·江西吉安·期中）设函数，则满足的k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断出函数的单调性，再利用单调性建立不等式求解． 【详解】画出分段函数图象如下： 可知分段函数在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 故答案为：． 【变式5-2】（2026高一·福建福州·阶段检测）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 【变式5-3】（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． ▌题型06 分段函数的奇偶性 1.核心逻辑 判断奇偶性前提：定义域整体关于原点对称；任取，分、、三段验证与关系；求解析式、求参均依靠（奇）、（偶）。 2.解题步骤 (1)第一步检验定义域是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶； (2)分区间讨论：设则，用负区间解析式求； (3)对比和，满足对应等式即为奇/偶函数； (4)求解析式/参数：利用奇偶等式列方程求解。 3.易错提醒 (1)跳过定义域对称检验直接判断； (2)求时代入同一段解析式，未切换对应区间。 【例6】（2026高二·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，因为是奇函数，所以，所以． 【变式6-1】（2026高二·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 【变式6-2】（2026高二·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义求出时的解析式，可得答案. 【详解】因为函数为奇函数，设，则， 所以 又因为时，， 所以， 即当时，， 所以. 故选：B. ▌题型07 分段函数的值域或最值 1.核心逻辑 分段函数整体值域=每一段函数值域的并集；最值对比各段最大、最小值，从中选出全局最值。 2.解题步骤 (1)单独求出每一段自变量对应的函数取值范围； (2)将各段值域全部取并集，得到函数整体值域； (3)对比各段区间的最大值、最小值，确定全局最大、最小值。 3.易错提醒 (1)值域取交集而非并集； (2)忽略分段端点函数值，漏掉最值。 【例7】（2026高一·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 【变式7-1】函数的值域为_________ 【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得. 【详解】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 【变式7-2】（2026高一·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的解析式，再分段求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 【变式7-3】（2026高一·四川成都·期末）若在函数定义域的某个区间上定义运算则函数，的最小值为______． 【答案】1 【分析】先解不等式，进而得，作出函数的图象，进而求解. 【详解】由，所以，所以或， 所以， 作出函数的图象： 由图可知：， 故答案为：. ▌题型08 根据分段函数的值域（最值）求参数范围 1.核心逻辑 先分别写出不含参时每一段的值域，结合题目给定整体值域，对分界点、端点函数值列不等式，解出参数。 2.解题步骤 (1)分别写出各分段含参的值域； (2)结合题目给定的整体值域限制，建立关于参数的不等式； (3)联立分界点函数值约束，求解参数； (4)检验参数边界是否符合题意。 3.易错提醒 只看单段值域，忽略两段值域合并后整体范围限制。 【例8】（2026高三·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 【变式8-1】（2026高一·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 【变式8-2】（2026·广东茂名·模拟预测）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 【变式8-3】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 【答案】 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． ▌题型09 max/min型分段函数 1.核心逻辑 取两个函数中较大值；取较小值；先求交点，以交点为界分成两段分段函数。 2.解题步骤 (1)联立，求出分界交点横坐标； (2)划分区间：区间内用，反之用； (3)转化为标准分段函数，再求值、解不等式、画图像； (4)数形结合观察图像快速求值域、最值。 3.易错提醒 分界点判断错误，大小函数解析式混用。 【例9】（2026高一·福建宁德·期末）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先确定函数的解析式，再分段求函数的最小值即可. 【详解】由或. 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得，. 故选：B 【变式9-1】【多选】（2026高一·湖南娄底·期末）设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．的值域为 C．为偶函数 D．在上单调递增 【答案】BC 【分析】根据题中定义，结合一元二次不等式的解法化简函数的解析式，最后根据函数值域的性质、偶函数的定义、函数的单调性逐一判断即可. 【详解】在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示：    根据题中定义，得： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 画出函数的图象如下图所示：    由数形结合思想可以判断： 函数有最小值为，无最大值，函数的值域为； 图形关于纵轴对称，是偶函数，函数在不单调递增. 故选：BC 【变式9-2】【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 【答案】BD 【分析】首先理解新定义函数，然后根据定义确定函数的分段表达式，最后分析每个选项的正确性. 【详解】根据定义，当时，，解不等式得， 当时，，解不等式得或， 因此，，作出函数的图象，如图所示， 根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误； 根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确； 由，得或，解得：或， 得不等式的解集为，所以C错误； 由图象得，的单调递减区间为，所以D正确. 故选：BD. 【变式9-3】（2026高一·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 【答案】1 【分析】根据定义写出函数解析式的分段形式，数形结合确定其单调性并求最小值. 【详解】令，则，可得或， 令，则，可得， 所以的图象如下， 由图，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. ▌题型10 狄利克雷函数 1.核心逻辑 狄利克雷函数： 核心性质：定义域全体实数；值域；无单调区间、不存在最值、为偶函数；任意区间内既有有理数也有无理数。 2.解题步骤 (1)判断是有理数还是无理数，直接代入对应函数值； (2)利用性质判断奇偶、单调性、值域； (3)解不等式时根据有理、无理分类讨论。 3.易错提醒 误认为狄利克雷函数存在单调区间、存在最大最小值。 【例10】【多选】（2026高一·贵州遵义·阶段检测）狄利克雷（Dirichlet），德国数学家，是解析数论的创始人，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献，创立了现代函数的正式定义．狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门用符号来表示，该函数的解析式为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．对任意 【答案】BCD 【分析】对于AB，根据狄利克雷函数的定义求解即可；对于C，根据偶函数定义判断即可；对于D，根据狄利克雷函数的定义分类讨论判断即可． 【详解】对于A，是分数形式的有理数，根据定义，当时，，因此，故A错误； 对于B，的值始终为有理数，根据定义，当时，，故B正确； 对于C，对任意x，若，则，故； 若，则，故； 因此对所有x成立，是偶函数，故C正确； 对于D，对任意，若，，则， 故； 若，，则， 故， 因此对任意，成立，故D正确． 故选：BCD． 【变式10-1】【多选】（2026高一·贵州·期中）19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数，设，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．的解集为空集 【答案】BCD 【分析】根据所给函数，结合奇偶性的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为，所以，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 综上，对于任意，是偶函数，故C正确； 选项D：当时，，解得，故不成立，无解； 当时，，解得，故不成立，无解； 综上，的解集为空集，故D正确. 故选：BCD 【变式10-2】（2026高一·北京丰台·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论： ①的值域为； ②； ③； ④任意一个非零有理数，对任意恒成立. 其中所有正确结论的序号是_______. 【答案】②③④ 【分析】根据所给函数，结合函数的性质等，逐一分析①②③④，即可得答案. 【详解】对于①：由题意得取值为0或1，即值域为，故①错误； 对于②：因为，，为有理数，所以，故②正确； 对于③：当x为有理数时，也都是有理数，所以， 则， 当x为无理数时，也都是无理数，所以， 则，所以，故③正确； 对于④：当x为有理数时，T为非零有理数，则为有理数， 所以，，则， 当x为无理数时，则为无理数， 所以，则， 所以对任意恒成立，故④正确. 故答案为：②③④ 【变式10-3】（2026高一·江苏苏州·期中）19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解. 【详解】， 因为，故A正确； 因为， 当是有理数时，即，即，与有理数矛盾， 当是无理数时，即，即，与无理数矛盾，所以在有理数和无理数范围内均无解，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分段函数10种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 分段函数求函数值 题型 02 已知函数值求参数 题型 03 解分段函数不等式 题型 04 分段函数的图象 题型 05 分段函数的单调性 题型 06 分段函数的奇偶性 题型 07 分段函数的值域或最值 题型 08 根据分段函数的值域（最值）求参数范围 题型 09 max/min型分段函数 题型 10 狄利克雷函数 ▌题型01 分段函数求函数值 1.核心逻辑 先判断给出的自变量属于哪一段定义域，再代入该段解析式计算；多层嵌套函数值，从内向外逐层求解。 2.解题步骤 (1)观察自变量的数值，匹配分段的区间范围； (2)选用对应区间的函数表达式代入计算； (3)若是嵌套形式，先算内层函数值，再用结果继续匹配区间算外层； (4)化简得到最终函数值。 3.易错提醒 (1)区间边界混淆，把端点代入错误解析式； (2)嵌套求值先算外层再算内层，计算顺序颠倒； (3)计算代数式时分式、根式化简出错。 【例1】（2026高二·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（2026高二·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高二·江西南昌·期末）已知函数则_______. 【变式1-3】（2026·湖南长沙·模拟预测）设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． ▌题型02 已知函数值求参数 1.核心逻辑 已知，无法确定在哪一段，必须分段分类讨论，求出解后检验解是否落在本段区间内，舍去不符合的增根。 2.解题步骤 (1)对每一段区间，分别列方程：本段解析式； (2)分别解每一段对应的方程，得到候选解； (3)检验每个解是否满足该段自变量范围，不在区间内直接舍去； (4)整合全部有效解，写出答案。 3.易错提醒 (1)不检验解对应的区间，保留增根； (2)只计算其中一段，漏掉其他分段的解。 【例2】（2026高二·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【变式2-1】（2026高一·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【变式2-2】（2026高二·浙江温州·学业考试）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·浙江·模拟预测）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． ▌题型03 解分段函数不等式 1.核心逻辑 分段不等式不能统一求解，按分段区间拆分，每一段联立「自变量区间+本段不等式」，最后所有解集取并集。 2.解题步骤 (1)按分段区间分成若干组不等式组； (2)每组同时满足：①属于本段区间；②本段解析式满足题目不等关系； (3)分别求解每组不等式组，得到每一段的有效范围； (4)将所有分段解集用合并，写出最终解集。 3.易错提醒 (1)忘记搭配自变量区间，直接解函数不等式导致范围扩大； (2)各段解集不用并集连接，分开书写。 【例3】（2026高三·上海·期中）已知，，则不等式的解是___________. 【变式3-1】（2026高二·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高一·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026高二·浙江·学业考试）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． ▌题型04 分段函数的图象 1.核心逻辑 一段一段画图，每一段只保留定义域内图像；区间端点空心/实心区分：包含等号画实心点，不含等号画空心圈；含绝对值函数先去绝对值化为分段函数再作图。 2.解题步骤 (1)拆分每一段解析式与对应范围； (2)单独画出每一段基础函数图像，截去定义域外部分； (3)标记分段端点：有等于号实心，无等于号空心； (4)组合所有分段图像，检查端点无重叠、无空缺。 3.易错提醒 (1)端点虚实标记错误； (2)绝对值函数不去绝对值直接画图； (3)多段图像漏画其中某一段。 【例4】（2026高一·云南昭通·期中）在图中，作出下列函数的图象. (1)，； (2)已知函数 【变式4-1】（2026高一·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【变式4-2】（2026高一·天津和平·期中）已知函数. (1)求 的值； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)求关于的方程的实数根． 【变式4-3】（2026高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. ▌题型05 分段函数的单调性 1.核心逻辑 两层要求：①每一段自身单独单调；②相邻两段在分界点处，左边终点函数值右边起点函数值（递增），左边终点右边起点（递减），两层条件同时满足才是整体单调。 2.解题步骤 考法1：求单调区间 (1)分别判断每一段函数自身增减； (2)对比分界点左右函数值，满足衔接条件则区间可合并； (3)写出整体单调区间。 考法2：已知整体单调性求参数 (1)根据每段函数单调性，列出参数初步范围； (2)列分界点函数值大小不等式； (3)联立所有不等式，取交集得到参数范围。 3.易错提醒 只保证每段单调，忽略分界点函数值大小关系，造成参数范围出错。 【例5】（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）函数的单调递增区间是_________． 【变式5-1】（2026高一·江西吉安·期中）设函数，则满足的k的取值范围是___________． 【变式5-2】（2026高一·福建福州·阶段检测）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． ▌题型06 分段函数的奇偶性 1.核心逻辑 判断奇偶性前提：定义域整体关于原点对称；任取，分、、三段验证与关系；求解析式、求参均依靠（奇）、（偶）。 2.解题步骤 (1)第一步检验定义域是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶； (2)分区间讨论：设则，用负区间解析式求； (3)对比和，满足对应等式即为奇/偶函数； (4)求解析式/参数：利用奇偶等式列方程求解。 3.易错提醒 (1)跳过定义域对称检验直接判断； (2)求时代入同一段解析式，未切换对应区间。 【例6】（2026高二·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式6-1】（2026高二·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【变式6-2】（2026高二·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． ▌题型07 分段函数的值域或最值 1.核心逻辑 分段函数整体值域=每一段函数值域的并集；最值对比各段最大、最小值，从中选出全局最值。 2.解题步骤 (1)单独求出每一段自变量对应的函数取值范围； (2)将各段值域全部取并集，得到函数整体值域； (3)对比各段区间的最大值、最小值，确定全局最大、最小值。 3.易错提醒 (1)值域取交集而非并集； (2)忽略分段端点函数值，漏掉最值。 【例7】（2026高一·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 【变式7-1】函数的值域为_________ 【变式7-2】（2026高一·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026高一·四川成都·期末）若在函数定义域的某个区间上定义运算则函数，的最小值为______． ▌题型08 根据分段函数的值域（最值）求参数范围 1.核心逻辑 先分别写出不含参时每一段的值域，结合题目给定整体值域，对分界点、端点函数值列不等式，解出参数。 2.解题步骤 (1)分别写出各分段含参的值域； (2)结合题目给定的整体值域限制，建立关于参数的不等式； (3)联立分界点函数值约束，求解参数； (4)检验参数边界是否符合题意。 3.易错提醒 只看单段值域，忽略两段值域合并后整体范围限制。 【例8】（2026高三·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【变式8-1】（2026高一·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【变式8-2】（2026·广东茂名·模拟预测）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． ▌题型09 max/min型分段函数 1.核心逻辑 取两个函数中较大值；取较小值；先求交点，以交点为界分成两段分段函数。 2.解题步骤 (1)联立，求出分界交点横坐标； (2)划分区间：区间内用，反之用； (3)转化为标准分段函数，再求值、解不等式、画图像； (4)数形结合观察图像快速求值域、最值。 3.易错提醒 分界点判断错误，大小函数解析式混用。 【例9】（2026高一·福建宁德·期末）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式9-1】【多选】（2026高一·湖南娄底·期末）设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．的值域为 C．为偶函数 D．在上单调递增 【变式9-2】【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 【变式9-3】（2026高一·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． ▌题型10 狄利克雷函数 1.核心逻辑 狄利克雷函数： 核心性质：定义域全体实数；值域；无单调区间、不存在最值、为偶函数；任意区间内既有有理数也有无理数。 2.解题步骤 (1)判断是有理数还是无理数，直接代入对应函数值； (2)利用性质判断奇偶、单调性、值域； (3)解不等式时根据有理、无理分类讨论。 3.易错提醒 误认为狄利克雷函数存在单调区间、存在最大最小值。 【例10】【多选】（2026高一·贵州遵义·阶段检测）狄利克雷（Dirichlet），德国数学家，是解析数论的创始人，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献，创立了现代函数的正式定义．狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门用符号来表示，该函数的解析式为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．对任意 【变式10-1】【多选】（2026高一·贵州·期中）19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数，设，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．的解集为空集 【变式10-2】（2026高一·北京丰台·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论： ①的值域为； ②； ③； ④任意一个非零有理数，对任意恒成立. 其中所有正确结论的序号是_______. 【变式10-3】（2026高一·江苏苏州·期中）19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是（    ） A．0 B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分段函数10种常见考法归类 ▌题型01 分段函数求函数值 【例1】【答案】C 【详解】，，则． 【变式1-1】【答案】C 【分析】由分段函数时，利用二项式定理或同余算出除以余数为，通过周期性转化为，代入解析式求得结果． 【详解】， 所以除以余数为，即存在，使得， 时，， 所以． 【变式1-2】【答案】 【详解】 根据分段函数定义，, 因此. 【变式1-3】【答案】C 【详解】由已知， 所以. ▌题型02 已知函数值求参数 【例2】【答案】或2 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 【变式2-1】【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 【变式2-2】【答案】B 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性，结合代入法、函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，， 所以一定有， 由 ，或， 当时，解得， 当时，因为该一元二次方程根的判别式为， 所以该方程没有实数根， 综上所述：. 【变式2-3】【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. ▌题型03 解分段函数不等式 【例3】【答案】 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 【变式3-1】【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 【变式3-2】【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 【变式3-3】【答案】D 【详解】当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得. 综上，不等式的解集为. ▌题型04 分段函数的图象 【例4】【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数解析式即可直接作图； （2）由函数解析式即可直接作图； 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-1】【答案】(1)， (2)或1或 (3)   【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 【变式4-2】【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的解析式由内到外计算可得出的值； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象； （3）分、两种情况解方程，可得其实数根. 【详解】（1）因为，则，. （2）作出函数的图象如下图所示：    （3）当时，由，可得， 当时，，此时，方程无解. 综上所述，方程的实数根为. 【变式4-3】【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可； （2）根据一次函数图象性质进行画图，根据图象求最值即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）由（1）得 由此画出的图象如下图所示： 由图象知，的值域为. ▌题型05 分段函数的单调性 【例5】【答案】， 【分析】利用分类讨论法解决含绝对值的二次函数单调性问题. 【详解】当时，，对称轴为，在上单调递减，上单调递增； 当时，，对称轴为，在上单调递减，上单调递增， 综上所述，的递增区间为，， 故答案为：，. 【变式5-1】【答案】 【分析】先判断出函数的单调性，再利用单调性建立不等式求解． 【详解】画出分段函数图象如下： 可知分段函数在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 故答案为：． 【变式5-2】【答案】A 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 【变式5-3】【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． ▌题型06 分段函数的奇偶性 【例6】【答案】C 【详解】依题意，因为是奇函数，所以，所以． 【变式6-1】【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 【变式6-2】【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 【变式6-3】【答案】B 【分析】利用奇函数的定义求出时的解析式，可得答案. 【详解】因为函数为奇函数，设，则， 所以 又因为时，， 所以， 即当时，， 所以. 故选：B. ▌题型07 分段函数的值域或最值 【例7】【答案】2 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 【变式7-1】【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得. 【详解】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 【变式7-2】【答案】C 【分析】首先求出的解析式，再分段求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 【变式7-3】【答案】1 【分析】先解不等式，进而得，作出函数的图象，进而求解. 【详解】由，所以，所以或， 所以， 作出函数的图象： 由图可知：， 故答案为：. ▌题型08 根据分段函数的值域（最值）求参数范围 【例8】【答案】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 【变式8-1】【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 【变式8-2】【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 【变式8-3】【答案】 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． ▌题型09 max/min型分段函数 【例9】【答案】B 【分析】先确定函数的解析式，再分段求函数的最小值即可. 【详解】由或. 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得，. 故选：B 【变式9-1】【答案】BC 【分析】根据题中定义，结合一元二次不等式的解法化简函数的解析式，最后根据函数值域的性质、偶函数的定义、函数的单调性逐一判断即可. 【详解】在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示：    根据题中定义，得： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 画出函数的图象如下图所示：    由数形结合思想可以判断： 函数有最小值为，无最大值，函数的值域为； 图形关于纵轴对称，是偶函数，函数在不单调递增. 故选：BC 【变式9-2】【答案】BD 【分析】首先理解新定义函数，然后根据定义确定函数的分段表达式，最后分析每个选项的正确性. 【详解】根据定义，当时，，解不等式得， 当时，，解不等式得或， 因此，，作出函数的图象，如图所示， 根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误； 根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确； 由，得或，解得：或， 得不等式的解集为，所以C错误； 由图象得，的单调递减区间为，所以D正确. 故选：BD. 【变式9-3】【答案】1 【分析】根据定义写出函数解析式的分段形式，数形结合确定其单调性并求最小值. 【详解】令，则，可得或， 令，则，可得， 所以的图象如下， 由图，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. ▌题型10 狄利克雷函数 【例10】【答案】BCD 【分析】对于AB，根据狄利克雷函数的定义求解即可；对于C，根据偶函数定义判断即可；对于D，根据狄利克雷函数的定义分类讨论判断即可． 【详解】对于A，是分数形式的有理数，根据定义，当时，，因此，故A错误； 对于B，的值始终为有理数，根据定义，当时，，故B正确； 对于C，对任意x，若，则，故； 若，则，故； 因此对所有x成立，是偶函数，故C正确； 对于D，对任意，若，，则， 故； 若，，则， 故， 因此对任意，成立，故D正确． 故选：BCD． 【变式10-1】【答案】BCD 【分析】根据所给函数，结合奇偶性的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为，所以，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 综上，对于任意，是偶函数，故C正确； 选项D：当时，，解得，故不成立，无解； 当时，，解得，故不成立，无解； 综上，的解集为空集，故D正确. 故选：BCD 【变式10-2】【答案】②③④ 【分析】根据所给函数，结合函数的性质等，逐一分析①②③④，即可得答案. 【详解】对于①：由题意得取值为0或1，即值域为，故①错误； 对于②：因为，，为有理数，所以，故②正确； 对于③：当x为有理数时，也都是有理数，所以， 则， 当x为无理数时，也都是无理数，所以， 则，所以，故③正确； 对于④：当x为有理数时，T为非零有理数，则为有理数， 所以，，则， 当x为无理数时，则为无理数， 所以，则， 所以对任意恒成立，故④正确. 故答案为：②③④ 【变式10-3】【答案】B 【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解. 【详解】， 因为，故A正确； 因为， 当是有理数时，即，即，与有理数矛盾， 当是无理数时，即，即，与无理数矛盾，所以在有理数和无理数范围内均无解，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $