精品解析：青海西宁市第十四中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性学情诊断数学试卷

高二年级第一学期阶段性学情诊断 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 2. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 4. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 4 8. 已知，.若点在线段上，则的最大值为( ) A. B. 3 C. 7 D. 8 二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的斜率为 C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为 10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线，若，则______ 13. 求直线与直线的夹角为________. 14. 在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 四、解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． （1）求经过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 16. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 18. 如图，边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 19. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第一学期阶段性学情诊断 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 2. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线与直线垂直， 则，即，解得或； 因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件. 故选B 【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型. 3. 设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 4. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 5. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 6. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 7. 已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 8. 已知，.若点在线段上，则的最大值为( ) A. B. 3 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由点斜式求得线段的方程并用表示以求得的最大值即可. 【详解】由题意得，线段的方程：，， ∴， 当时等号成立，即的最大值为7. 【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握． 二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的斜率为 C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误. 【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误； 因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确； 取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确. 故选：CD 10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于选项D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 13. 求直线与直线的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 14. 在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 因为平面，则，即， 所以， 因为，则当时，取最小值， 即的最小值为. 四、解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． （1）求经过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. 【小问2详解】 因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. 【小问3详解】 设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 16. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接， ，分别为，中点 为的中位线 且 又为中点，且， 且 ， 四边形为平行四边形 ，又平面，平面 平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线和，可证得，，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论； （2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点到平面的距离，得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在菱形中，为中点，，所以是等边三角形，所以， 根据题意有，， 因为棱柱为直棱柱，平面，平面，故， 又，，平面， 所以平面，平面， 所以，所以， 设点到平面的距离为， 根据题意有，则有， 解得， 所以点到平面的距离为. 17. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】（1）证明：由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 18. 如图，边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 【答案】 （1）［方法一］：【最优解】判定定理 由题设知，平面平面，交线为. 因为平面. 所以平面，因平面，则. 又因为上异于的点，且为直径，所以. 又 平面，所以平面. 又平面，故平面平面. ［方法二］：判定定理 由题设知，平面平面，交线为. 因为，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为M为上异于的点，且为直径，所以. 又平面，所以平面， 而平面，故平面平面． ［方法三］：空间向量法 因正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直, 故可以点为原点，所在直线分别为轴， 过点且垂直于平面竖直向上方向为轴建立空间直角坐标系如图2. 则，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则，故可取 因为点在以为圆心，半径为的圆上， 所以，即， 而，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：先证平面，得，再证，由线面垂直的判定定理可得平面，即可根据面面垂直的判定定理证出； 方法二：先证平面，得，再证，由线面垂直的判定定理可得平面，即可根据面面垂直的判定定理证出； 方法三：如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，由两法向量垂直可完成证明； （2）方法一：先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值． 方法二：过点作，易证为所求二面角的平面角，据此可得答案； 方法三：取和的中点分别为和，注意到在平面上的射影图形正好是，然后由射影面积公式可得答案； 方法四：由题设平面与平面的交线过点，通过证明，故可得是面与面所成二面角的平面角，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）［方法一］：【通性通法】向量法 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 当三棱锥体积最大时，为的中点. 由题设得， ， 设是平面的法向量，则 即，可取. 是平面的一个法向量， 因此，则， 所以面与面所成二面角的正弦值是. ［方法二］：几何法（作平行线找公共棱） 如图3，当点与圆心连线时，三棱锥体积最大． 过点作，易证为所求二面角的平面角． 在中，，即面与面所成二面角的正弦值是． ［方法三］：【最优解】面积射影法 设平面与平面所成二面角的平面角为． 由题可得在平面上的射影图形正好是． 取和的中点分别为和，则可得，， 所以由射影面积公式有， 所以，即面与面所成二面角的正弦值是． ［方法四］：定义法 如图4，可知平面与平面的交线过点，可以证明． 分别取的中点，联结，可证得直线平面， 于是平面，所以，故是面与面所成二面角的平面角． 在中，，则， 所以，即面与面所成二面角的正弦值为． 【整体点评】（1）方法一：利用面面垂直的判定定理寻找合适的线面垂直即可证出，是本题的最优解； 方法二：同方法一，只不过找的线面垂直不一样； 方法三：利用向量法，计算两个平面的法向量垂直即可，思路简单，运算较繁． （2）方法一：直接利用向量法解决无棱二面角问题，是该类型题的通性通法； 方法二：作平行线找公共棱，从而利用二面角定义找到二面角的平面角，是传统解决无棱二面角问题的方式； 方法三：面积射影法也是传统解决无棱二面角问题的方式，是本题的最优解； 方法四：同方法二，通过找到二面角的公共棱，再利用定义找到平面角，即可解出． 19. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】 （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由，，平面知，平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】（1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $