精品解析：青海省西宁市第十四中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

西宁市第十四中学高二数学期末考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 数列3，5，9，17，33，…的通项公式（ ） A. B. C. D. 3. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 36 B. 45 C. 63 D. 75 5. 平面的一个法向量为，为内的一点，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6. 等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 40 7. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线的右支上存在一点，使得为钝角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，E､F､G分别为的中点，则（ ） A. B. 与所成角为 C. D. 平面 10. 设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）． A. 数列是递增数列 B. C. D. ，，…，中最大的是 11. 设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的有（ ） A. 直线与垂直 B. 若点坐标为，则直线方程为 C. 若直线方程为，则点坐标为 D. 若直线方程为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列{an}中，已知，则=_______________. 13. 已知，，，则直线（为坐标原点）和平面所成角的大小为______. 14. 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）直线经过定点吗？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，说明理由. （2）若直线分别与轴正半轴，轴的正半轴交于，两点.当面积最小时，求直线的方程. 16. 已知点，圆的圆心在直线上，且与轴切于点， （1）求圆的方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 17. 已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，. （1）求，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 如图，菱形中，，为中点，将沿折起使得平面平面，与相交于点，是棱上的一点且满足. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市第十四中学高二数学期末考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出直线的斜率，计算倾斜角的正切值，结合倾斜角的范围，即可求解. 【详解】由得， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，因为， 所以， 故选：C 2. 数列3，5，9，17，33，…的通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由规律即可写出通项公式. 【详解】由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知，每一项都满足． 故选：B. 3. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的平行和垂直求出，再根据模长公式求解. 【详解】因为//，所以，所以，所以, 因为，所以，所以. 所以，所以， 所以. 故选：C. 4. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 36 B. 45 C. 63 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的前项和性质可得成等差数列，进而可得结果. 【详解】因为为等差数列的前项和， 所以成等差数列，即成等差数列， 所以，解得， 故选：B. 5. 平面的一个法向量为，为内的一点，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算中，点到平面的距离公式求解即可得. 【详解】平面的一个法向量为，为内的一点， 则点到平面的距离为. 故选：B. 6. 等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】由对数运算法则，等比数列的性质求解． 【详解】是等比数列，则， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10． 故选：C． 7. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值. 【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得. 故选：C 8. 双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线的右支上存在一点，使得为钝角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，．因为为钝角等腰三角形，则，且为钝角，所以，结合的关系求解即可． 【详解】当时，． 因为为钝角等腰三角形，则，且为钝角，所以， 即，所以，结合，解得． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，E､F､G分别为的中点，则（ ） A. B. 与所成角为 C. D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用坐标法，根据向量运算结合条件逐项分析即得. 【详解】以点D为坐标原点，所在直线分别为x､y､z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则. 对于A选项，，所以，故A选项正确； 对于B选项，， ， 所以，向量与向量的夹角是，与所成角为，故B选项正确； 对于C选项，，则，故C选项错误； 对于D选项，设平面的法向量为， 由，可得，取，可得， 又， ∵，∴，∵平面，∴平面，故D选项正确. 故选：ABD. 10. 设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）． A. 数列是递增数列 B. C. D. ，，…，中最大的是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式得到关于的不等式组进行求解，即可判定选项A错误、选项C正确；利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到判定选项B正确；利用判定选项D正确. 【详解】对于A、C：因为， 且， 所以，，又因为， 所以，解得； 所以等差数列是递减数列， 即选项A错误，选项C正确； 对于B：因为，所以， 即选项C正确； 对于选项D：因为等差数列是递减数列， 且，，则， 所以， 即选项D正确. 故选：BCD. 11. 设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的有（ ） A. 直线与垂直 B. 若点坐标为，则直线方程为 C. 若直线方程为，则点坐标为 D. 若直线方程为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用椭圆中中点弦问题的处理方法，结合弦长的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】 设，则， 两式作差，得，设线段的中点，则， 对于A，，所以A不正确. 对于B，因为点坐标为，，所以，所以直线方程为，即，所以 正确. 对于C，若直线方程为，，即，又， 解得，故点，所以C不正确. 对于D，若直线方程为，与椭圆方程 联立，得， 整理得，解得，. 所以，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列{an}中，已知，则=_______________. 【答案】20 【解析】 【详解】∵数列{an}是等差数列，且， ∴3a5=15，a5=5. . 答案为20. 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系，利用整体代换思想解答. 13. 已知，，，则直线（为坐标原点）和平面所成角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出平面法向量和直线方向向量，利用线面角的向量公式计算可得. 【详解】解：由题意，知，，. 设平面的法向量为，则， 令，可得. 设直线和平面所成的角为， 则，所以. 故答案为：. 14. 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义知|PB|＋|PF|可转化为P到准线的距离与|PB|的和，结合图象即可求解. 【详解】过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，如图， 则|P1Q|＝|P1F|． 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）直线经过定点吗？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，说明理由. （2）若直线分别与轴正半轴，轴的正半轴交于，两点.当面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1）直线 过定点 （2） 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，令参数系数为零即可求出直线的定点； （2）写出直线的截距式方程，表示出面积，可得面积最小时参数的值，从而求出直线方程. 【小问1详解】 由题意，知直线. 令 解得 故直线 过定点. 【小问2详解】 设点的坐标分别为， 因为分别在 轴，轴的正半轴，所以， 则可设直线，因为直线过定点， 代入得， ，由，得， 所以，当且仅当，即，时取等号. 故 面积最小时，直线. 因为直线的方程为与是同一条直线， 所以对应系数成比例，即，解得， 当时，直线的方程为， 其与轴、轴的交点分别为和，符合题意。 16. 已知点，圆的圆心在直线上，且与轴切于点， （1）求圆的方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知列出关于圆心坐标的方程求出圆心坐标，然后由两点间距离公式可得半径，可得圆的方程； （2）利用弦长公式求出弦心距，结合点到直线的距离公式可得斜率，再验证斜率不存在时也满足题意可得直线方程. 【小问1详解】 由题意，设圆心坐标为，则解得 所以圆心，半径. 故圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线过点，当斜率存在时，设直线的斜率为， 则其方程为，即. 又圆的圆心为，半径，弦长为，故弦心距. 故，解得. 所以直线的方程为，即. 当的斜率不存在时，的方程为. 经验证，也满足条件. 故的方程为或. 17. 已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，. （1）求，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差，利用给定等式求出公差即可求解作答. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 设的公比为q，的公差为d，因，则，解得， 而，则，又，，有， 所以，的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）可知，，令数列的前n项和为， 则， 于是得， 两式相减得，则， 所以数列的前n项和为. 18. 如图，菱形中，，为中点，将沿折起使得平面平面，与相交于点，是棱上的一点且满足. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明:由题意知，，所以. 又，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合可得，再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的性质定理可得，以为坐标原点，，，为轴，轴，轴，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）略； （2）因为平面平面，平面平面，， 又平面， 所以平面，所以， 以为坐标原点，，，为轴，轴，轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设菱形的边长为4，则点，，. 则，. 设平面的一个法向量为， ，， 即， 令，得； 易知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，则. 故二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、空间向量法求二面角，属于中档题. 19. 已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 【答案】（1） （2）1或－1. 【解析】 【详解】（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为． （2）由得． 设点M，N的坐标分别为，，则，，，． 所以|MN|===． 由因为点A（2,0）到直线的距离， 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $