精品解析：四川达州市天立学校2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

四川省达州市天立学校2026-2027学年八年级上学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，， C. ，1， D. 9，40，41 2. 五个实数：8，，，，（从左向右，相邻两个8之间依次多一个0）．其中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移4个单位，则点A平移后的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝－kx－k（k≠0）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：__． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________． 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为_____． 13. 如图，点D在的边上，已知，则的面积为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 已知x－9的平方根是±3，x＋y的立方根是3. (1)求x，y的值； (2)x－y的平方根是多少？ 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出及其关于y轴对称的图形； （2）的面积为_______； （3）在轴上找一点，使得有最小值，该最小值为_______． 17. 如图，在中，，点P，D分别在边上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，求线段的长． 18. 已知．且满足，平面内有一点（其中m是常数），请回答下列问题： （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点D在第二象限，连接，请用含m的代数式表示四边形的面积四边形，并求出当四边形时，m的值； （3）若点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的，连接，请问在四边形边上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若点在函数的图象上，则的值是_______． 20. 已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点坐标是___________． 21. 已知x，y为实数，且，则____． 22. 在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是_____米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，点C在线段上，且，动点D在内（不包括的边界），连接，过点C作的垂线交直线于点E，若，则点E的纵坐标m的取值范围是____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； （2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ （3）若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 25. 阅读下面计算过程： ； ． 试求： （1）的值为_____． （2）通过上述探究，猜想_____．（为正整数） （3）计算： ． 26. 在中，，点F为直线DE上一点，且． （1）如图1，点D在线段延长线上，若，求的度数； （2）如图2，与在图示位置时，求证：平分； （3）如图3，若，将图3中的（从与重合时开始）绕点B按顺时针方向旋转，且点C与点D不重合，当为等腰三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市天立学校2026-2027学年八年级上学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，， C. ，1， D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 根据勾股数的概念判断即可． 【详解】解：A、， ，，∴2，3，4不是勾股数，故此选项不符合题意； B、1，，不都是正整数，∴1，，不是勾股数，故此选项不符合题意； C、，1，不都是正整数，∴，1，不是勾股数，故此选项不符合题意； D、，，∴，∴ 9，40，41是勾股数，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 五个实数：8，，，，（从左向右，相邻两个8之间依次多一个0）．其中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，先把含有根号的数化简，再根据无理数的定义判断即可，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是有理数，， ，（从左向右，相邻两个8之间依次多一个0）是无理数， ∴无理数共个， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点横纵坐标正负情况即可解答． 【详解】∵点的横坐标，纵坐标， ∴这个点在第四象限． 故选：D． 【点睛】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 4. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的自变量的次数是2，故不是一次函数； B．是一次函数； C．的自变量在分母上，故不是一次函数； D．，是的一次函数，不是的一次函数． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减运算及二次根式除法运算等知识，熟练掌握二次根式性质及混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、由算术平方根定义，，错误，不符合题意； B、不是同类二次根式，错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意． 图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：根据题意得，旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为， 旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， ∴是直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：B． 7. 将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移4个单位，则点A平移后的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标平移的变化规律向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减少解答即可． 【详解】解：按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移4个单位，则点A平移后的坐标为，即； 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标平移变化规律，解题关键是明确左右平移横坐标变，右加左减；上下平移纵坐标变，上加下减． 8. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝－kx－k（k≠0）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象分别确定k的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能． 【详解】解：根据图象知： A、正比例函数y＝kx中k＜0，一次函数y＝－kx－k（k≠0）中－k＜0，－k＞0，解集没有公共部分，所以不可能； B、正比例函数y＝kx中k＜0，一次函数y＝－kx－k（k≠0）中－k＞0，－k＜0，解集没有公共部分，所以不可能； C、正比例函数y＝kx中k＞0，一次函数y＝－kx－k（k≠0）中－k＜0，－k＜0，解集有公共部分，所以可能； D、正比例函数y＝kx中k＞0，一次函数y＝－kx－k（k≠0）中－k＜0，－k＞0，解集没有公共部分，所以不可能， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象．一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：__． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、的平方，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标是. 故答案为. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为_____． 【答案】y＝2x+3 【解析】 【分析】设直线OA的解析式为：y＝kx，代入（1，2）求出直线OA的解析式，再将直线OA向上平移3个单位长度，得到平移后的直线的表达式． 【详解】设直线OA的解析式为：y＝kx， 把（1，2）代入，得k＝2， 则直线OA解析式是：y＝2x． 将其上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+3． 故答案是：y＝2x+3． 【点睛】本题考查了直线的平移问题，掌握直线的解析式以及直线平移的性质是解题的关键． 13. 如图，点D在的边上，已知，则的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角形中线的性质等知识，掌握这些知识是关键． 过点C作于点E，由勾股定理及等腰三角形的性质求得，进而求得的面积，再由三角形中线平分三角形面积即可求得的面积． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为：24． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 已知x－9的平方根是±3，x＋y的立方根是3. (1)求x，y的值； (2)x－y的平方根是多少？ 【答案】(1) x＝18， y＝9；(2) ±3 【解析】 【分析】（1）根据平方根和立方根的概念列出方程，解方程求出x，y的值； （2）根据平方根的概念解答即可． 【详解】（1） 解：∵x－9的平方根是±3， ∴x－9＝9，解得x＝18. ∵27的立方根是3， ∴x＋y＝27， ∴y＝9； （2）解：由（1）得x－y＝18－9＝9，9的平方根是±3， ∴x－y的平方根是±3. 【点睛】本题主要考查平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出及其关于y轴对称的图形； （2）的面积为_______； （3）在轴上找一点，使得有最小值，该最小值为_______． 【答案】（1） 如图，和即为所求 （2）； （3）． 【解析】 【分析】（本题主要考查了轴对称图形的绘制、三角形面积的计算（割补法）、最短路径问题（轴对称+勾股定理）．熟练掌握轴对称的性质、割补法求面积、“将军饮马”模型是解题的关键． （1）先确定、、三点坐标，画出；再根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相反，纵坐标不变）得到、的坐标，进而画出． （2）用“割补法”计算的面积，通过矩形面积减去周围三角形面积求解． （3）利用轴对称性质，作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为，此时的最小值为的长度，用勾股定理计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为 ； 【小问3详解】 解：作关于轴的对称点，连接， 则有最小值等于的长度为． 17. 如图，在中，，点P，D分别在边上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边对等角和线段垂直平分线的性质得到，，根据直角三角形两锐角互余可推出，则由平角的定义可得，据此可得结论； （2）利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． 18. 已知．且满足，平面内有一点（其中m是常数），请回答下列问题： （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点D在第二象限，连接，请用含m的代数式表示四边形的面积四边形，并求出当四边形时，m的值； （3）若点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的，连接，请问在四边形边上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求出、、的值可得结论； （2）证明，利用梯形面积公式求解，再根据题意，构建方程求解； （3）分四种情形：当点在上，时，当点在上时，，，时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：， 解得：，，， ，，； 【小问2详解】 ，，， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 ，，， ， 点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的， ， 当点在上，时， ； 当点在上时，，可得； 当时，设， 则在中，有， 解得：， ； 当时，可得． 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识及分类讨论是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若点在函数的图象上，则的值是_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征，代入求值；先把代入得到，然后整体代入代数式即可解题． 【详解】解：把代入得：， ∴， 故答案为：． 20. 已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点坐标是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标， 根据点P到两坐标轴的距离相等，可得横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，即，解方程求出a的值，再代入点P的坐标即可． 【详解】解：∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，点P坐标为； 当时，，点P坐标为. 故答案为：或． 21. 已知x，y为实数，且，则____． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴， 解得． ∴． 22. 在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是_____米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可． 【详解】解：设正三角形的边长为x， ∵正三角形的高是， ∴由三线合一和勾股定理，得：， ∴， ∴正三角形的边长为2， 如图，将木块展开，得到如图的长方形， 如图长方形的相当于是米，宽米． 在中， 米， ∴昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 10米． 故答案为：10． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，点C在线段上，且，动点D在内（不包括的边界），连接，过点C作的垂线交直线于点E，若，则点E的纵坐标m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，求出点的坐标；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，证，得，设点，则，推出；根据动点在内（不包括的边界），建立不等式，即可求解； 【详解】解：对于直线， 令，则；令，则； ∴， ∴； ∵， ∴； 设，则，解得或（舍）， ∴； 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图所示： 由题意得：且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，即； ∵动点在内（不包括的边界）， ∴，解得：， ∴， ∴点的纵坐标的取值范围是． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； （2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ （3）若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 【答案】（1）， （2）当消费10次时，选择两种消费卡的费用相同 （3）当进入生态体验园15次，采用乙方式比较划算 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入园次数的函数表达式； （2）通过联立两个函数表达式的方程，求解费用相同时的入园次数； （3）将入园次数代入两个函数表达式，比较费用大小确定划算的方式． 【小问1详解】 解：甲卡：设，由图象过点，得，解得，所以； 乙卡：设，由图象过点，得，解得，所以． 【小问2详解】 解：联立和，得，解得，即消费10次时，两种卡费用相同． 【小问3详解】 解：当时，， 因为，所以采用乙卡比较划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式，联立一次函数方程求交点，以及通过代入求值比较函数值大小是解题的关键． 25. 阅读下面计算过程： ； ． 试求： （1）的值为_____． （2）通过上述探究，猜想_____．（为正整数） （3）计算： ． 【答案】（1） （2） （3） 2024 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，分母有理化，二次根式的加减运算，掌握“把分母中的根号去掉的方法”是解题的关键. （1）分子分母都乘以，再利用平方差公式计算分母的结果，从而可得答案； （2）分子分母都乘以，再利用平方差公式计算分母的结果，从而可得答案； （3）利用（2）的规律，把每个二次根式化简，再合并同类二次根式即可得到答案. 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 ； 故答案为： 【小问3详解】 26. 在中，，点F为直线DE上一点，且． （1）如图1，点D在线段延长线上，若，求的度数； （2）如图2，与在图示位置时，求证：平分； （3）如图3，若，将图3中的（从与重合时开始）绕点B按顺时针方向旋转，且点C与点D不重合，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分； （3）16或或 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可求，即可求解； （2）由等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理可得，可得结论； （3）根据旋转轨迹，分类讨论，依次画出图形，构造勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：， 点，点，点共线， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ①当点与点重合时，此时，如图， ∵△是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， 是的垂直平分线， ， 是等腰三角形， ； ②当时，则， 如图，过点作于点，连接． ，， 垂直平分，且平分， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，； ③当时，如图，连接， 同理可得， 此时， ， ； 综上所述，的值为16或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $