江西省南昌中学三经路校区2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

南昌中学三经路校区2026-2027学年第一学期高二年级期中数学 试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知空间直角坐标系中点A(11,0),则方程 (x-1)2+(y-1)2+z2=2表示的图形是 ( A.经过点A的直线 B.经过点A的圆 C.以点A为球心的球 D.以点A为圆心的圆 2.已知两条平行直线方程l1:x+y-2026=0,2:2x+(c+1)y+2026=0,则t值为 A.1 B.-1或2 C.-2 .1或-2 3已知双曲线片-兰-1的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 Ay=士x B.y=tv7x c.y=t3x D.y=±y2x 4.已知圆C:(x-2)2+U-4)2=4,若圆C关于直线：ax+by=2(a>0,b>0)对称，则积ab最大 值为() A.1 B c D清 5.经过抛物线C:y2=-x(p>0)的焦点F,作倾斜角为30'的直线1与C交于A,B两点，则弦长 AB|=() A.1 B. C.4 D 6.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期激学三巨匠，他对圆 锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是 他的研究成果之一，指的是：己知动点M与两定点Q、P的距离之比Mg=Q>0,入≠1)，那么点M IMPI 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴 上一点，P(-,0)且入=2，若点B(1,1),则2IMPI+1MB的最小值为( ) A.5 B.2√10 C.√13 D.V10 7.已知椭圆C:总+节-1(a>b>0)的左、右焦点分别为R,,过R的直线与椭圆C交于AB两点， 若SAM5=号aB5且LRRB=LRBR,则椭圆G的离心率为() A克 B号 c号 号 8.已知限0：2+y=1,点P在椭圆C:号+片=1运动，过点P作圆0的两条切线，习点分别为A,B, 则OA+0的取值范围是() A B. c D.3 33 二、多选题：本題共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9.已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线：(m+1)x+2y-1+m=0(m∈)，则() A直线恒过定点(0,1) B.当m=1时，圆C上恰有2个点与宜线1的距离为1 C.直线被圆C截得的最小弦长为2√② D.若圆C与圆x2+y2-2x+8y+a=0恰有三条公切线，则a=9 10,若方程二+片-=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的匙( ) 第1页 A若1<t<5,则C为椭圆 B.若t>5,则C为双曲线 C.若C为焦点在x轴上双曲线，则t<1 D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则3<t<S 11.设0为坐标原点，直线过抛物线C:y2=2印x(p>0)的焦点F且与C交于A,B两点（点A在第一象限）， IAB引mn=2,1为C的准线，AM⊥L,垂足为M,Q(O,1),则下列说法正确的是() A.p=1 B.IAM川+1AQI的最小值为2 C.若LMF0=手则AB= D.x轴上存在一点N,使kAN=一kaN 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 在边长为1的等边△ABC中，向量AB在向量AC上的投影向量为 ,(用向量AC来表示 13.圆C1:(x-1)2+y2=1与C2:(x+1)2+y2=49的位置关系为：与圆C,C2都相切的动圆 圆心的轨迹方程为 4.已知双曲线：景-景=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为R,R,点A在的下支上，过点A作 的一条渐近线的垂线，垂足为H若Pz!<AH川+AFI恒成立，则E的离心事的取值范围 是 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。， 15.(本小题13分) 己知直线m:3x+y-1=0,直线n经过点P(-1,-2). (1)若mLn,求直线n的方程： (2)若直线n在两坐标轴上的截距相等，求直线n的方程， 16.(本小题15分) 已知圆C1过两点M(2,4-V3,N(3,2),圆心在直线x-y+1=0上. (1)若半径为3的圆C2与圆C外切，圆心C2在直线x-y+2=0上，求圆C2的标准方程。 (2)若过点A(4,1)的直线1与圆C交于点M,N两点，且|MWI=2V3,求直线的方程： 共2页 17.(本小愿15分) 如图，某野生保护区监测中心设置在点0处，正西、正东、正北处有3个监测点A,B,C,且IOA=OB川= IOC=30km一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接 收到信号的时间比B点接收到信号的时间早号5.（住：信号每秒传播，m) y 北 东 0 B￥ (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程： 2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证能接收到信号，扫描半径r至少 是多少？ 18.(本小愿17分) 己知点M到点F(1,0)的距离比它到直线：x+3=0的距离小2. (1)求点M的轨迹E方程 2)过点(2,0)的动直线交轨迹E于C,D两点，是否存在定点S(5,0),使得直线SC与SD的斜率之和是0，若 存在，求定点S的坐标：若不存在，说明理由， 第2页 19.(本小题17分) 已知A:A,为椭圆C音+号=10<6<V同的左，右项点，M为G上的一点N伪双曲线G:号-苦=】 上的一点(M,N两点不同于A,A2两点)，设直线AM,A,M,AN,AN的斜率分别为k1,k2,k,kg 且k1+k2+k+k,=0. (1)设0为坐标原点，证明：O,M,N三点共线。 (2)设C、C的右焦点分别为F、F2,M、W均在第一象限，直线NF,与直线MF相交于点P,G++ +=8. ①判断直线MF,与直线NF,的位置关系，并证明你的结论； ②证明：LAPP=∠A,PF 共2页 南昌中学三经路校区2026-2027学年第一学期高二年级期中测试 数学试卷参考答案 一、单选题： 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C D B A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 三、填空题： 12.c 13.内含：+若=1 14.(1) 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.解：(1)因为m1n,所以可设直线n的方程为x-3y+1=0, 因为直线n经过点P(-1,-2),所以-1+6+1=0，解得λ=-5， 所以直线n的方程为x-3y-5=0: …6分 (2)已知直线n在两坐标轴上的截距相等， 若直线n过原点，设直线n的方程为y=kx,因为直线n经过点P(-1,-2),所以k=2, 此时直线n的方程为y=2x,即2x-y=0: …9分 若直线n不过原点，设直线m的方程为+名=1，因为直线n经点P(-1,-2),所以日+是=1， 所以a=-3,此时直线n的方程为+兰=1，即x+y+3=0: 综上所述，直线n的方程为2x一y=0或x+y+3=0.…13分 16.解：(1)依题意，设圆心C1(a,a+1),半径为r,则MCl=NCl=r, 即(a-22+(a+1-4+)2=√(a-3)2+(a+1-2, 解得a=3,所以C(3,4),T=1NCl=2,所以圆C1:(x-3)2+0y-4)2=4…4分 设C2(m,m+2),由两圆外切，可知|C1C2l=3+2=5, 1 所以√(m-3)2+(m+2-4)2=5,解得m=-1或m=6,所以C2(-1,1)或(6,8)， 所以圆C2的方程为(x+1)2+0y-1)2=9或(x-6)2+0y-8)2=9.…8分 (2)设圆C到直线的距离为d,由MN=2Vr2-d亚=2V3,得d=1, 若直线的斜率不存在，即直线为x=4,符合题意，…11分 若直线的斜率存在，设y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0, 由圆心G到直线的距离为1，即B以-4+型=1，得k=-争直线方程为4x+3y-19=0, Jk2+1 综上，所求直线l1的方程为x=4或4x+3y-19=0:…15分 17解()设观察员可能出现的位置为点Pg,),得Pl-PA-铝×%=40<AB1=60, 故点P的轨迹为双曲线的左支，设双曲线方程为后-片=1Q>06>0,x<0), 又2a=40,2c=60,b2=c2-a2=500, 点P的轨迹方程为%-品=10c<0.…7分 y2 (2)设轨迹上一点为M(x,y),则IMC|=√x2+0y-30)2=√x2+y2-60y+900, x2 y2 又400-500 1，所以x2=y2+400，所以MC1=】 /3y2-60y+1300= 号6y-9)+800≥20W2,当且仅当y=时，MC取得最小值20WZ, 故扫描半径r至少是20V2km.…15分 18.解：(1)由定义得.点M的轨迹是以点F(1,0)为焦点，直线x=-1为准线的抛物线， 所以抛物线方程：y2=4x:…4分 (2)由题意直线CD的斜率不为0，设定点S的坐标S(s,0),直线CD的方程为x=my+2, 联立g=5+2可得y2-y-8=0.4>0道成立.设4小.86小， 测二gm,ks+ks=0.小头+头=9-0， (x1-)(x2-) 即y1(my2+2-t)+y2(my1+2-t)=0,化简得2my1y2+(2-t)0y1+y2)=0, 代入韦达定理得-16m+(2-t)×4m=0,解得t=-2.故定点S的坐标为(-2,0).17分 19解：（1)设M6小.N小则k=k= 因为+登=1，可知：安-5=京， y好yb2 =-5,k+k2= x1-5 因为号-=1，可知：好-5=层， 则kgk4= =2x22=2b29, g=k+4= y2 由k1+k2+k3+k4=0可知：x1y2-x2y1=0, 可知：OM/ON,因此，O,M,N三点共线 …5分 ()由k好+k经+k3+k=8可得：(k1+k2)2+(k3+k4)2-2(k1k2+k3k4)=8, 由(1)可知：k1k2+k3k4=0,由k+k2+k3+k4=0可知： (k1+k2)2=4,且M,W都在第一象限，则k1+k2=-2,k3+k4=2, 知：-务=是.=x-5-职0=6-V5+,小 试结合+=1，--， 5 5b2 b2 b2 可知：中 则M(一5，一b2 因此可得：(x1-√5-b2)y2-(x2-V5+b7)y1=x12-x2y+V5+by1- V5-b2y2=V5+b2y1-V5-b2y2=0, 由此可知：MF/NF: …10分 ()由（①可知： 63 63 76-2s6-51,ks= 62 b2 5-(5+b 5=-1, √5+b2 5+b2 则NF⊥MF2:直线FN:y=x-V5-bZ,直线F2M:y=-x+V5+b2, 设点P(oy%),于是x0-y0=√5-b7,x0+y0=V5+b2, 则(x-y0)2+(x0+y0)2=10,即x6+y=5, 则点P的轨迹是以O为圆心，√5为半径的圆， 则∠A1PA=,∠RPR= 于是∠A1PF1+∠F1PA2=∠F1PA2+∠A2PF2,则∠A1PF1=∠A2PF2 …17分