4.1.2乘法公式与全概率公式（第2课时)（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第二册

第四章 概率与统计 4.1.2 乘法公式与全概率公式 （第2课时） 4.1条件概率与事件的独立性 【新教材】人教B版·高二选修第二册 学 习 目 标 1 2 3 理解完备事件组的概念，掌握全概率公式与贝叶斯公式，理清两个公式之间的逻辑关联，提升逻辑推理能力。 能在实际情境中识别模型，合理划分完备事件组，熟练运用两个公式完成概率计算、解决实际问题，发展数学运算素养。 教学重点：掌握全概率公式和贝叶斯公式，理解二者的推导逻辑。 教学难点：在实际问题中搭建事件框架，正确选用公式完成求解。 疾病筛查检测 有一种疾病，在人群中的患病率为 0.5%。某项筛查检测规则如下： 如果确实患病，检测为阳性的概率是 0.95； 如果没有患病，被误诊为阳性的概率是 0.04。 问：如果一个人的筛查结果是阳性，大家凭感觉猜一下，他真正患病的概率大概是多少？ 直觉往往会欺骗我们。想要算出准确概率，我们需要解决两个问题： 1. 随机抽取一人，检测结果为阳性的总概率是多少？（由原因推结果） 2. 在已经测出阳性的前提下，这个人确实患病的概率是多少？（拿到结果反推原因） 第一个问题要用全概率公式，第二个就是大名鼎鼎的贝叶斯公式，这就是我们本节课要学习的内容。 目标一：全概率公式 抽奖的概率 知识讲解 互动探究 新课引入 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有 50 张奖券，其中共有 5 张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽。 怎么计算乙中奖的概率 P(B)？ 乙中奖可以分为两种互斥的情况： 1. 甲中奖且乙中奖（记为 ） 2. 甲没中奖且乙中奖（记为 ） 即 。 根据互斥事件概率的加法公式以及乘法公式： (注 ，) 5 全概率公式的定义与推导 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，如果样本空间为 ，而 ， 为事件，则 与 是互斥的，且 。 从而： 当 且 时，由乘法公式有： 所以得到全概率公式： 6 对点体验 某次社会实践中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查。参加活动的甲、乙两班的人数之比为 5:3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 。求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率。 方法一（使用全概率公式）： 用 与 分别表示遇到的是甲班与乙班的同学， 表示是女生。 已知：， 且已知条件概率：， 由全概率公式： 对点体验 某次社会实践中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查。参加活动的甲、乙两班的人数之比为 5:3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 。求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率。 方法二（假设份数法）： 假设参加活动的甲班人数为 ，则乙班人数为 。 甲班中有女生 人，乙班中有女生 人。 从而可知参加活动的总共有 人，而女生有 人。 因此所求概率为 。 对点体验 20名同学抽签决定出场顺序，第一个抽和第二个抽，抽到1号的概率相等吗？ 解答： 设 表示第 个人抽到1号，。 则 ，。 如果第一个人抽到1号，那么第二个人抽到1号的概率为 0，即 ； 如果第一个人抽到的不是1号，那么第二个人抽到1号的概率为 ，即 。 因此根据全概率公式： 结论： P( )=P( )。因此抽签是公平的。 设在 n 张彩票中有一张奖券，求第二个人摸到奖券的概率是多少。 解答： 设 表示事件“第 个人摸到奖券”，，则 表示事件“第二个人摸到奖券”。 是否发生直接关系到 发生的概率： 而： 故由全概率公式得： 某人忘记了银行卡密码的最后 1 位数字，求： （1）任意按最后 1 位数字，不超过 2 次就按对的概率； （2）如果记得最后 1 位是偶数，不超过 2 次就按对的概率。 设 为“第 次按对密码” ，则事件 “不超过 2 次就按对密码”可表示为 。 事件 与事件 互斥，由互斥事件的概率加法公式和乘法公式，得 。 因此，任意按最后 1 位数字，不超过 2 次就按对的概率为 。 某人忘记了银行卡密码的最后 1 位数字，求： （1）任意按最后 1 位数字，不超过 2 次就按对的概率； （2）如果记得最后 1 位是偶数，不超过 2 次就按对的概率。 设 为“密码的最后 1 位是偶数”，则由条件概率的性质可得 。 因此，如果记得密码的最后 1 位是偶数，不超过 2 次就按对的概率为 。 目标二 ：全概率公式的推广 多分支情况 知识讲解 互动探究 新课引入 前面学到的是将样本空间分为两部分（A 与 ），如果分为更多互斥的部分，就得到了推广的全概率公式。 1. 满足条件： 若样本空间 中的事件 满足： ① 任意两个事件均互斥，即 （）； ② （即这些事件构成了一个完备事件组，涵盖了所有可能）； ③ 。 2. 公式结论： 则对 中的任意事件 ，都有 ，且： 这就是推广的全概率公式。 14 多分支情况 知识讲解 互动探究 新课引入 3. 直观解释： 已知事件 B 的发生有各种可能的情形 （且互斥），那么事件 B 发生的可能性，就是“各种情形 发生的可能性”与“在 发生的条件下事件 B 发生的可能性”的乘积之和。在实际中，直接求 B 很难时，我们可以“化整为零”去分解事件 B。 15 对点体验 （多品牌市场占有率问题）： 假设某市场供应的智能手机中，甲、乙、其他品牌的市场占有率分别为 50%、30%、20%，优质品率分别为 95%、90%、70%。求在该市场任意买一部手机，买到优质品的概率。 解答： 设 分别表示买到甲、乙、其他品牌； 设 表示买到的是优质品。 根据已知：；。 由推广的全概率公式： 对点体验 思考与发现：优质品与包装达标问题 已知某厂食盐优质品率为 90%。优质品中包装达标的占 95%；非优质品中包装达标的占 80%。若随机取一袋发现包装达标，求这袋是优质品的概率（精确到 0.1%）。 解答： 设 为优质品， 为包装达标。则 为非优质品。 已知：。 所求：。由条件概率公式 。为了求 和 ，需要用到乘法公式和全概率公式： 1. 分子（乘法公式）： 2. 分母（全概率公式）： 3. 代入公式： 世卫组织称新型冠状病毒可能造成“持续人传人”。假设一个健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为 0.95,0.9,0.85。健康的小明参加宴会，参加宴会的人有 5 名第一代传播者，3 名第二代传播者，2 名第三代传播者。若小明仅和感染的 10 人中的一人接触，则感染的概率为多少？ 设事件 分别表示小明接触的是第一代、第二代、第三代传播者。 设事件 表示小明被感染。 这 10 人中，各类传播者的占比即为接触概率：。 已知条件概率：。 由全概率公式： 所以小明感染的概率为 。 目标三 ：贝叶斯公式 贝叶斯公式的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，当 且 时，有： 这个公式称为贝叶斯公式。 20 概念区分：先验概率与后验概率 知识讲解 互动探究 新课引入 先验概率： 根据历史数据或以往经验直接得到的概率。 后验概率： 在获取了新信息（即某事件已经发生，如“第一件产品是合格品”）之后，重新算出的概率（即 P(A|B)）。 直观理解： 贝叶斯公式实际上可以看成是“根据事件发生的结果找原因”，看看这一结果是由各种可能原因导致的概率分别是多少。 21 推广的贝叶斯公式 知识讲解 互动探究 新课引入 若样本空间 中的事件 满足： （1）任意两个事件均互斥，即 ，，； （2）；（即这些事件构成了一个完备事件组，涵盖了所有可能的原因） （3），。 则对 中的任意概率非零的事件 ，有： 22 贝叶斯推广公式的理解 知识讲解 互动探究 新课引入 ：先验概率（原因 发生的基础概率）。 ：条件概率/似然度（在原因 成立的条件下，结果 发生的概率）。 分母 ：也就是全概率公式，表示结果 发生的总概率。 ：后验概率（已知结果 发生后，反推它是由原因 导致的可能性）。 23 对点体验 生产线初始状态良好的概率为 80%。状态良好时第一件产品合格率为 95%；否则合格率为 60%。已知第一件产品合格，求当天初始状态良好的概率。 解答： 设 为状态良好， 为产品合格。已知 ，且 。 代入贝叶斯公式： 某地肝癌患病率为 0.0004（即 P(A)）。检测方法有误差：患癌但显示正常的概率为 0.01，未患癌但显示患癌（假阳性）概率为 0.05。问：如果有人检测结果显示患有肝癌，他实际真正患癌的概率有多大？ 解答： 设 为患有肝癌， 为检测显示患有肝癌。 ， , 代入贝叶斯公式： 结论： 检测结果显示患病，但实际患病的概率还不到 0.8%！这说明在普通人群中直接普查（先验概率极低）会导致大量假阳性。在实际诊断中，医生会先通过症状筛选高危人群（提高 P(A)），再做检测才有意义。 朋友坐火车、轮船、汽车、飞机的概率分别是 ，迟到的概率分别是 。 (1) 求迟到的概率： 设 分别为四种交通工具， 为迟到。 (2) 若迟到了，推测坐哪种交通工具可能性大： 利用贝叶斯公式分别计算： 火车： , 轮船： , 汽车： , 飞机： 结论： 坐火车和轮船的概率较大，且坐火车的可能性最大。 系统M有效概率为 0.92，系统N有效概率为 0.93。在M失灵条件下，N有效概率为 0.85。求在N失灵条件下，M有效的概率。 解答： 设 为M有效， 为N有效。已知： 所求为 。这里利用对立事件和条件概率公式计算： 展开分子 ： 分母 。 代入公式： 目标四 ：针对训练 举一反三 第 1 题：基础全概率公式应用（旅游概率） •考点：两个互斥事件的全概率公式。 •题目：去西安（概率0.7）或汉中（0.3），去游乐园概率分别为0.6和0.4，求去游乐园的总概率。 解析： 设 𝐴_1=去西安，𝐴_2=去汉中，𝐵=去游乐园。 𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴_1 )𝑃(𝐵|𝐴_1 )+𝑃(𝐴_2 )𝑃(𝐵|𝐴_2 )=0.7×0.6+0.3×0.4=0.42+0.12=𝟎.𝟓𝟒 答案：D 举一反三 第 2 题：基础贝叶斯公式应用（色盲概率） •考点：已知结果求原因（贝叶斯公式）。 •题目：男女比例相等。男色盲率 5%，女色盲率 0.3%。随机抽一人发现是色盲，求此人是男性的概率。 解析： 设 =男子，=女子，=色盲。 已知：。 求 ，代入贝叶斯公式： 答案：C 举一反三 第 3 题：安检门误报问题（贝叶斯公式） 考点：带“误报”条件的贝叶斯公式。 题目：真实携带概率 ；携带时报警概率 ；未携带时误报概率 。求报警时确实携带的概率。 解析： 设 =确实携带，=安检门亮灯。 已知：。 先求全概率 ： 求后验概率 ： 举一反三 第 4 题：人员转移抽签问题（全概率公式） •考点：先抽后抽，中间状态改变的全概率问题。 •题目：甲组（3男4女）抽1人转入乙组（3男2女），再从乙组抽1人。求抽出女生的概率。 解析： 设 =甲组抽出男生，=甲组抽出女生，=乙组抽出女生。 甲组抽男生的概率：。此时乙组变 4男2女（共6人），抽女生的概率 。 甲组抽女生的概率：。此时乙组变 3男3女（共6人），抽女生的概率 。 代入全概率公式： ,答案：B 举一反三 第 5 题：交通方式与准点率（全概率公式） •考点：多事件全概率公式。 •题目：乘汽车（0.4）或动车（0.6）。准点率分别为 0.7 和 0.9。求正点到达的总概率。 解析： 设 =正点到达，=乘动车，=乘汽车。 已知：。 答案：C 目标五：小结 学海拾贝 设 为样本空间的一个完备事件组， 为任意事件。 全概率公式： 作用：由因推果，已知各类原因的概率，求和得到事件 发生的总概率。 贝叶斯公式： 作用：执果索因，已知事件 B 已经发生，反向追溯它由原因 引发的后验概率。 学海拾贝 解题固定流程 分类：找到所有“原因事件”，构造完备事件组； 锁定：确定我们观测到的结果事件 B； 正向：用全概率公式计算 P(B)； 反向：若已知结果，用贝叶斯公式计算后验条件概率。 学海拾贝 思想方法与易错提醒 底层基础：乘法公式；核心思想：分类化归、化整为零。 易错点：完备事件组必须满足两两互斥、并为全集；不要混淆正向概率和反向条件概率，不能凭主观感受代替计算。 素养落点 概率不是简单猜大小。全概率公式与贝叶斯公式提供了一套逻辑工具，用来根据新的信息更新判断，理性分析检测、抽样、质检等现实问题。 【新教材】人教B版·高二选修第二册 感谢聆听! $