4.1.3 独立性与条件概率的关系 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教B版）

4．1.3　独立性与条件概率的关系 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点　事件独立性的判断 思考　若事件A表示“抛一枚质地均匀的硬币，正面向上”，事件B表示“抛一枚质地均匀的骰子，1点向上”，则P(A)，P(B)，P(B|A)分别是多少？有何关系？ 返回导航 [知识梳理] (1)设A，B为两个事件，A与B相互独立的充要条件是P(AB)＝________________； (2)条件概率与独立性的关系：当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝________或当P(A)＞0时，A与B独立的充要条件是P(B|A)＝________． 同时说明，当P(A|B)≠P(A)时，事件B的发生会影响事件A发生的概率，此时A与B是不独立的． P(A)P(B) P(A) P(B) 返回导航 [例1] (多选)A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则(　 　) A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥 C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立 BCD 返回导航 【解析】　对于A选项，由题意可知事件甲和事件乙可以同时发生，故甲与乙不是互斥事件，故A选项错误； 对于B选项，丙与丁不会同时发生，故它们互斥，故B选项正确； 返回导航 感悟提升 两个事件是否相互独立的判断方法 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件． (3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． 返回导航 B [跟踪训练1] 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 返回导航 返回导航 返回导航 应用点一　求相互独立事件的概率 [例2] (对接教材例2)已知某车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲种保险与购买乙种保险相互独立． (1)求该车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. 返回导航 (2)求该车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率； 返回导航 (3)该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？ 返回导航 感悟提升 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； 返回导航 返回导航 (2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率． 返回导航 感悟提升 本例第(1)问，可利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解． 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 25 C 返回导航 AC 2．(多选)以下结论正确的是(　　) A．两个对立的事件互不相容 B．两个互不相容的事件相互独立 C．事件B包含事件A，则事件A发生的概率不大于事件B发生的概率 D．三个事件中任何两个都相互独立，则三个事件相互独立 返回导航 解析：对于A，因为互不相容事件是不同时发生的两个事件，所以两个对立的事件互不相容，故A正确； 对于B，因为若A，B是两个互不相容的事件，则P(AB)＝0，所以不相互独立，故B错误； 对于C，因为事件B包含事件A，则事件A发生的概率不大于事件B发生的概率，故C正确； 返回导航 返回导航 0.18 3．已知事件A与事件B相互独立，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________． 解析：因为事件A与事件B相互独立，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝0.3×0.6＝0.18. 返回导航 解：记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”，由题意知，A，B相互独立． 返回导航 (2)恰有一人破译出密码的概率； 返回导航 (3)至多有一人破译出密码的概率． 返回导航 课堂小结 1．已学习：(1)相互独立的概念；(2)相互独立的性质；(3)独立性与条件概率的关系；(4)相互独立事件和互斥事件的区别． 2．须贯通：(1)判断事件A与B相互独立的方法有两种：P(AB)＝P(A)P(B)或P(A|B)＝P(A)；(2)与相互独立事件有关的概率求解； (3)概率问题中的正难则反，化繁为简，方程思想等数学思想． 3．应注意：互斥事件与独立事件易混淆，两事件独立反映两事件互不影响，而两事件互斥反映两事件不同时发生． 返回导航 新课导入 学习目标 抛掷一枚质地均匀的硬币，在第一次抛掷结果是正面的情况下，第二次是正面的概率是，在第一次抛掷结果是反面的情况下，第二次是正面的概率也是，因为第一次抛掷结果是正面还是反面不会影响第二次抛掷结果的概率，他们是相互独立的． 1.在具体情境中，了解独立性与条件概率的关系． 2．了解两个事件相互独立的概念． 3．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． $