4.1.2 第2课时 全概率公式 贝叶斯公式 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教B版）

第2课时　全概率公式　 贝叶斯公式 新课导入 学习目标 　　王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，那么王先生上班迟到的概率是多少？这个概率怎么计算呢？ 1.了解全概率公式的推导过程． 2．结合古典概型，理解并掌握全概率公式． 3．了解贝叶斯公式的概念，会利用全概率公式、贝叶斯公式解决简单的实际问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　全概率公式的概念 有三个罐子，1号装有2个红球、1个黑球，2号装有3个红球、1个黑球，3号装有2个红球、2个黑球，球除颜色外其余都相同，某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球． 返回导航 思考1　设事件Ai表示“从i号罐子取球”，i＝1，2，3.事件A1，A2，A3有何关系？ [提示]　A1，A2，A3两两互斥且A1∪A2∪A3＝Ω. 思考2　设事件B表示“任取一球是红球”，事件B如何用Ai拆分？ [提示]　B＝A1B∪A2B∪A3B． 思考3　如果从三个罐子中任取一球得到的是红球，那么这个红球来自1号罐子的可能性如何求？ [提示]　 可以求在事件B发生的条件下事件A1发生的概率，即求条件概率P(A1|B). 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 返回导航 返回导航 知识点二　定理1的应用 [知识梳理] 定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； 返回导航 A 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 [跟踪训练2] 已知在10只晶体管中有2只次品，从中取两次，且不放回抽样．求下列事件的概率： (1)两只都是正品； 解：设事件Ai(i＝1，2)表示“第i次取的是正品”． 返回导航 (2)两只都是次品； (3)正品、次品各一只； (4)第二次取出的是次品． 返回导航 知识点三　贝叶斯公式的概念 思考　贝叶斯公式的几何意义是什么？ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 B 返回导航 知识点四　定理2的应用 [知识梳理] 定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； 返回导航 [例4] 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为____________． 返回导航 返回导航 感悟提升 在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i＝1，2，…，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习惯上称其为先验概率．若试验后事件B发生了，在此信息下考查Ai的概率P(Ai|B)，i＝1，2，…，n，它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常称为后验概率． 返回导航 [跟踪训练4] 有一批树苗100株为一捆，抽取10株检查，有病株，则不通过．     求一捆树苗通过检查，没有病株的概率．(结果保留三位小数) 一捆树苗中的病株数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 返回导航 返回导航 应用点一　全概率公式的简单应用 [例5] (对接教材例3)李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会．根据以往的经验，他骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50，他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车，设自行车有故障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率． 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 [跟踪训练5] (1)(2026·德阳质量监测)已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人中有6个人能够答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，在第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为(　　) A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 C 返回导航 返回导航 (2)某商店新进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装有100个产品，废品率为0.06，乙厂每箱装有120个产品，废品率为0.05，求： ①任取一箱，从中任取—个为废品的概率； ②若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 解：记事件A，B分别为“取到甲、乙两厂的产品”，事件C为“取到废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥． 返回导航 返回导航 返回导航 应用点二　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 [例6] 小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.   假设遇到拥堵会迟到，那么： 返回导航 (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ 【解】　由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示小张从家到公司不迟到，则P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3)＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36. 返回导航 (2)已知小张到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 返回导航 若随机试验可以看成分两个阶段进行，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算． 感悟提升 返回导航 [跟踪训练6] 某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6，0.5，0.4. (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； 返回导航 (2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率． 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 45 A 返回导航 返回导航 B 返回导航 返回导航 B 返回导航 返回导航 返回导航 课堂小结 返回导航 [知识梳理] 一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时， 有P(A|B)＝＝________________________________．这称为贝叶斯公式． (3)1＞P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝_______________________． 上述公式也称为贝叶斯公式． $