专题02 空间向量与立体几何（知识清单）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测
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内容正文：
专题02 空间向量与立体几何
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01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
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▶基础梳理・自主夯基
考点01空间向量概念、线性运算及有关定理
考点02空间向量的数量积及其应用
考点03平行与垂直的向量表示
考点04利用向量求空间角
考点05利用向量求空间距离
▶高阶思维・探究拓展
难点解读01利用空间向量解决探索性问题
难点解读02利用空间向量解决最值范围问题
难点解读03不规则几何体建系问题
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究
题型01平行与垂直的向量表示
题型02空间向量与立体几何综合应用
▶重点突破・考法深研
重点01空间向量数量积的应用
重点02用向量法求异面直线所成角
重点03用向量法求直线与平面所成角
重点04用向量法求二面角
重点05利用空间向量求空间距离
▶技法提炼・审题点拨
技法点拨01用基向量表示指定向量
技法点拨02向量共线与三点共线问题
技法点拨03空间四点共面及其应用
技法点拨04利用空间向量证明空间线面位置关系
▶易错剖析・避坑攻略
易错点01线面角与向量夹角转化不清等问题
易错点02二面角的锐角与钝角判断失误
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用
知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 空间向量的概念、线性运算及定理
1、空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；
（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；
（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；
（5）共面向量：平行于同一个平面的向量
2、空间向量的线性运算
（1）空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．
空间向量加减法的运算律：交换律；结合律．
（2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，．
的长度是的长度的倍．
空间向量数乘的运算律：分配律；结合律．
3、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得.
（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
（3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底．
【新题对点练】（26-27高二上·北京石景山·期中）已知四面体，是的中点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接，
因为是的中点，所以
所以.
考点02 空间向量的数量积及其应用
1、空间向量的数量积及运算律
（1）数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]，
若，则称与互相垂直，记作.
②非零向量，的数量积．
（2）空间向量数量积的运算律
①结合律：；
②交换律：；
③分配律：.
2、空间向量数量积的坐标表示及其应用
设，，
向量表示
坐标表示
数量积
共线
，，
垂直
模
夹角
【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，正三棱柱的每条棱长均为2，、分别是、的中点，则的长等于________．
【答案】
【解析】
，
，所以.
考点03 平行与垂直的向量表示
1、直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量．
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量．
2、空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为，
直线l的方向向量为，平面α的法向量为
平面α，β的法向量分别为，
【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）设，向量，且，则___________
【答案】
【解析】由，得，解得，
所以，
则.
故答案为：
考点04 利用向量求空间角
1、异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量．
2、直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量，
φ为l与α所成的角，则.
3、二面角
（1）若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a.
（2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角αlβ为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c.
【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线与平面所成的角为，
所以，
又，所以，故选：C.
考点05 利用向量求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，
设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
2、点到平面的距离
已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，
过点作则平面的垂线，交平面于点，
则点到平面的距离为（如图）.
3、线面距和面面距
线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
（1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
（2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
【新题对点练】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________.
【答案】
【解析】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设直三棱柱的侧棱长为h，
则，
，
由于点在线段上，设，则，
故，
设点到直线的距离为d，则
，
当时，取最小值，则d的最小值为，
故答案为：
难点解读01 利用空间向量解决探索性问题
利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：
（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．
（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．
【典例1】（2026·北京·三模）在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点在线段（含端点）上运动，则下列结论不正确的有（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．对任意点，都有平面
D．对任意点，三棱锥的体积为定值
【答案】D
【解析】已知正方体棱长为，故以为原点，以方向为轴建立空间坐标系，
则各点坐标：，，
又在线段上，设，则，
选项A：向量，，
若垂直，则，
即，存在这样的，A选项正确；
选项B：向量，，，
，即，
若，则，
此时与重合，即当时，，
又，平面，
故平面，存在这样的，B选项正确；
选项C：，，
设平面的法向量为，则，
即：，取，则：
所以法向量，又
，所以，
且不在平面上，故对任意，平面，C选项正确；
D选项：，，
，，
设平面法向量，则，
取，则，则法向量为：，
点到平面的距离：，
由于，，所以：，
三棱锥的体积：
又为定值，但随变化，因此体积不是定值，D选项错误.
【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，四边形是正方形，平面，，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使平面与平面所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；（2）存在，的长为或
【解析】（1）因为分别为的中点，所以在中，，
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，且，所以平面，
因为四边形为正方形，所以两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：
由图可得，
由为的中点，则，由为的中点，则，
得，，设，其中.
在平面内，取，，设该平面的法向量，
则，即，令，解得，
所以平面的一个法向量，即为平面的一个法向量.
在平面内，取，，
设该平面的法向量，则，
即，令，解得，
所以平面的一个法向量.
可得，，
，
由题意可得，
化简得，因式分解得，解得或，
故存在坐标为或，使得平面与平面所成角为.
所以的长为或
难点解读02 利用空间向量解决最值范围问题
此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考：
一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；
二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；
三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解．
【典例1】（24-25高三上·北京·期末）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
以为坐标原点，以分别为轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
则，则，
因为平面，所以，
即，解得，
所以，所以，
又，所以当时，即是的中点时，取得最小值，
当或，即与点或重合时，取得最大值，
所以线段长度的取值范围为.故选：C
【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）正方体棱长为，为的中点，为线段上动点，为线段上动点，则 （ ）
A．存在无数条直线使得
B．存在唯一直线使得
C．点到平面距离最大值为
D．直线与夹角取值范围
【答案】B
【解析】以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则、、、、、、，，
由题意，是中点，故.
设，其中，
则，即点，
设，其中，
，即，
对于A选项，因为，.
若，则，，
化简得：，
但、，只有时成立，并非无数条，故A错误；
对于B选项，若，则，即，
由③得：；由②得：；
代入①得：，，.
此时、，存在唯一解，故B正确；
对于C选项，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
，其中，
所以点到平面的距离为，
令，其中，
所以，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，，故，
所以，当且仅当时，等号成立，
故点到平面距离的最大值为，故C错误；
对于D选项，设直线、所成角为，则，
，.
所以，
当，时，，则，
因为，故直线与夹角取值范围不是，故D错误.故选：B.
难点解读03 不规则几何体建系问题
常见的，轴选取的参考原则：
①尽可能的让底面上更多的点位于，轴上；
②找角：，轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件；
③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点．
【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略．
【典例1】（25-26高三下·北京·阶段检测）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为二面角 为直二面角，即平面 平面 ，
又平面平面，，即 ，且 平面，所以 平面 .
因为平面，所以 .
由题意知，是由 翻折得到，且 ,所以，即，
又因为 ，平面，所以 平面.
（2）在中，，所以，
分别取 的中点，连接.
因为 ，所以.
又因为平面平面 ，平面 平面，平面 ，
所以平面 .又因为，所以.
以 为坐标原点，
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
在中，，所以 .
则,
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得，
又因为平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
【典例2】（25-26高三上·北京朝阳·阶段检测）如图，多面体中，正方形的边长为2，，，，，.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设为的中点，，分别在，上，且平面平面，求的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【解析】（1）正方形中，,
又，平面，,所以平面,
又平面，所以.
在中，，，,
则,
则,
所以,即,
又平面,,所以平面,
又平面，所以.
（2）由（1）以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则,
所以,
设平面的法向量，
则,即，
令，得，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
（3）为的中点，则其坐标为，
又平面平面，平面平面，平面平面,则,
设，,则，
所以,
设平面的法向量，
则,即，
令，得则，
又平面平面，所以，则，
此时，故.
素养进阶·答题技法突破
题型01 空间向量与立体几何综合应用
考情定位：北京高考解答题高频题型，一般为中档大题，多以棱锥、棱柱为载体；第一问侧重空间平行、垂直关系的证明，几何法、向量法均可使用；第二问常利用空间向量求线面角、二面角，也会结合距离、参数探究类问题，设问灵活，有一定开放性．
核心考法：①建立空间直角坐标系，写出点与空间向量坐标；②向量法证明线线、线面、面面的平行与垂直；③向量法求解异面直线所成角、线面角、二面角；④利用向量求点到平面的距离；⑤含参数的探究性问题，判断是否存在满足条件的点或线段．
解题要点：建系前确认三条直线两两垂直，无现成垂线时先做证明；正确求平面法向量，分清向量夹角与线面角、二面角的换算关系；二面角要结合图形判断是锐角还是钝角；探究题设参数，依托向量方程求解，注意检验结果合理性；步骤书写规范，几何条件转化为向量条件要有依据．
【典例1】（2026·北京·高考真题）如图，在直三棱柱中，,分别为,的中点，，，．
(1)求证：平面；
(2)设点在的内部，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使点的位置唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值．
条件①：；
条件②：；
条件③：平面．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）解法一：取的中点，连接，．
因为，分别为，的中点，所以，且．
因为四边形为矩形且为的中点，
所以，．
所以四边形是平行四边形．
所以．
又平面，平面，
所以平面．
解法二：设，的中点分别为，，连接，，，，
因为分别为，的中点，则，，
且平面，平面，所以平面，
又因为分别为，的中点，则，
且平面，平面，所以平面，
又因为分别为，的中点，则，
可得，可知四点共面，
因为，平面，则平面平面，
且平面，所以平面；
解法三：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
且，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得，
因为，即，
因为平面，所以平面.
（2）由题设，，，．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，．
设，
则，，．
设平面的法向量为，
则 即
令，则，．于是．
选择条件①：．
因为，，
所以．解得．
故点的位置唯一确定，且．
设平面的法向量为，
则 即
则，令，则．于是．
因此平面与平面夹角的余弦值为．
选择条件②：．
因为，，
所以．解得．
故点的位置唯一确定，且．
设平面的法向量为，
则
则，令，则．于是．
因此平面与平面夹角的余弦值为．
若选③：由（1）可知：平面平面，
因为，平面即为平面，即平面平面，
可得平面，此时点不唯一，不合题意.
【典例2】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
与为等腰直角三角形且，
不妨设，..
E、F分别为BC、PD的中点，
，且.
，，
，∴四边形FGMN为平行四边形，
，
平面PAB，平面PAB，平面PAB；
（2）平面ABCD，
以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面PCD的一个法向量为，
，，
取，，.
设AB与平面PCD所成角为，
则，
即AB与平面PCD所成角的正弦值为.
重点01 空间向量数量积的应用
1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角；
2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；
3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
【典例1】（25-26高三下·北京·阶段检测）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体.如图，已知一个阿基米德多面体的所有顶点均是某个正方体各条棱的中点，且正方体的棱长为2，则该阿基米德多面体的体积为__________；是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，点P是该多面体表面上异于点的任意一点，则的最大值为__________.
【答案】 4
【解析】依题意，可将该多面体补成一个棱长为2的正方体，
如上图，所以该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成，
体积；
由于是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，
不妨设分别是正方体边的中点，
则
当夹角是时，.
故答案为：；4.
【典例2】（26-27高二上·北京丰台·期中）如图，在四面体中，已知，，，与所成角为，与所成角为，与所成角为，则与所成角的余弦值为_________．
【答案】
【解析】，所以，
而，
，
，
且
所以.
重点02 用向量法求异面直线所成角
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）用坐标表示两异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
（4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
【典例1】（26-27高二上·北京海淀·期中）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，且，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为平面，平面，所以，，
又，如图，以为原点，分别以所在直线为轴，
过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，
则，，，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，则，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
【典例2】（26-27高二上·北京东城·期中）如图，正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为，、分别为棱、的中点，则直线和夹角的余弦值为________．
【答案】
【解析】因为正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为，
所以正八面体的个面均为边长是的等边三角形，四边形是边长为的正方形，
连接、交于点，则，，
连接，则交于点，
所以，
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立下图所示空间直角坐标系，
所以、、、、、，
则、，
所以，，
，
所以直线和夹角的余弦值为．
重点03 用向量法求直线与平面所成角
如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有.
【典例1】（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，，侧面为正方形，侧面底面，，为的中点，点在上，且平面．
(1)求证：点为的中点；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：连接，因为平面，
平面，平面平面，
所以，
因为为的中点，
所以点为的中点．
（2）侧面为正方形，所以，侧面底面且交于，
平面所以平面．
又因为，所以．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，侧面为正方形，，
故，，，，，，
，
设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
设直线与平面所成角的大小为，
则．
【典例2】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形， ，为的中点，点在上，且平面.
(1)求证：点为的中点；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：连接，因为平面，
平面，平面平面，
所以，
因为为的中点，
所以点为的中点．
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
侧面为正方形，，
故，
，
设平面的法向量为，
则，
令得，故，
设直线与平面所成角的大小为，
则.
重点04 用向量法求二面角
1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
【典例1】（26-27高三上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为中点，，，.
(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1），且为中点，.
，且平面，平面，.
又平面，平面，平面.
（2），为中点，.
平面平面，且平面平面，平面，
平面.
建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，在中.
为等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，得到.
点，点，点的坐标分别为，，.
而，，
设平面与平面的法向量分别为，.
由平面，可得.
由，令，解得，，得到.
设二面角的平面角为，得到.
而为锐角，故.
【典例2】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为2的等边三角形，底面 为直角梯形，其中 ， ， ， 为线段 中点，连接 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2).
【解析】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，
由为的中点，且，
得，，
则四边形为平行四边形，所以．
而平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，．由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，
由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，得．
设平面的法向量为，
则，即，取，得．
设平面与平面所成的角为，
则，
故平面与平面所成角的余弦值为．
重点05 利用空间向量求空间距离
（1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为．
（2）点面距：已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为．
【注意】线面距、面面距可转化为点面距进行求解．
【典例1】（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F．
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)1；
【解析】（1）连接，由正方体可知，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
．
（2）
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
设的长为a，则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，故可得；
设直线与平面所成角为，
则，解得，
， 故的长度为1；
，点到平面的距离．
【典例2】（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，，求：
（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】（1）证明：在三棱柱中，连接，
设与相交于点，连接，
由四边形是平行四边形，得点为的中点，
又为的中点，则，而平面，平面，
所以平面.
（2）（ⅰ）由，为的中点，得，由平面，
平面，得，取的中点，连接，
则，，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，则，
，设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（ⅱ）由（ⅰ）知，
所以点到平面的距离.
技法点拨01 用基向量表示指定向量
（1）结合已知向量和所求向量观察图形．
（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
【典例1】（26-27高二上·北京海淀·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，则以下正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，
则．
【典例2】（26-27高二上·北京·阶段检测）已知正方体中，点为的中点，若，，则______．
【答案】1
【解析】如图所示，在正方体中，
由，且为的中点，可得.
又，代入上式得： ，
因为，所以，，
因此.
技法点拨02 向量共线与三点共线问题
三点(P，A，B)共线，＝λ且同过点P
对空间任一点O，＝＋t
对空间任一点O，＝x＋(1－x)
【典例1】（26-27高二上·北京海淀·期中）已知 ，，若 ，则实数 ， 的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】利用空间两向量平行的坐标充要条件建立方程组求解即可.
【解析】若，则存在实数，使得，
所以，解得，
所以，.
【典例2】（26-27高二上·北京石景山·阶段检测）已知空间向量，，若三点共线，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】因为A、B、C三点共线，所以向量与共线，
根据共线向量基本定理，存在实数，使得，即，
得，解得.
技法点拨03 空间四点共面及其应用
空间四点(M，P，A，B)共面，＝x＋y
对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）在下列条件中，使点与点，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】D选项中，，结合共面定理的推论，
且ABD三个选项的系数和不为，所以不共面．
C选项可化为：即，系数和为．故选：C．
【典例2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知空间向量，若共面，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为不共线，共面，
所以存在一对有序实数，使，
所以，
所以，解得，故选：A
技法点拨04 利用空间向量证明空间线面位置关系
1、利用空间向量证明平行的方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行
①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题
2.利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
【典例1】（25-26高三上·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，E、F分别是线段BC、AP的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）因为平面，平面，
所以，
因为，所以两两互相垂直，
以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，，
因为，所以，
解得，得到，，
取平面的一个法向量为，而，
因为，平面，所以平面；
（2）由（1）可知，，
设平面的一个法向量为，
则，设，则，
所以平面的一个法向量为，而，
因为，所以，则平面；
（3）由（1）可知，，
设平面的一个法向量为，
则，设，则，
可得平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
故平面与平面所成角的余弦值.
【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）正四棱柱中，底面的边长为2，，P为上一点．
(1)若P为中点，求证：平面．
(2)若，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】（1）如图所示，连接和交于点，连接，
因为底面为正方形，可得为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，且平面，所以平面.
（2）以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为正方形的边长为，，，
可得，
则，可得，
所以，所以.
易错点01 线面角与向量夹角转化不清等问题
辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围．
【典例1】如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面.
(1)若为上靠近点的三等分点，证明：平面；
(2)若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）如图，设与交于点，连接，
因为，，所以，
所以，所以为上靠近点的三等分点，
又因为为上靠近点的三等分点，所以在中，，
而平面，平面，所以平面．
（2）因为，，所以，
又因为平面，，
则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ， ， ， ，
从而，
因为，所以，
所以点的坐标为，，
设平面的一个法向量为，
则即
则，令，可得，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，为锐角，
则，
.
易错点02 二面角的锐角与钝角判断失误
辨析：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围．
【典例1】在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，，侧面 是等边三角形，且平面 平面 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为 且 ，
由余弦定理得，
所以 ，即 ，是等边三角形.
因为 是 的中点，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 .
（2）因为是等边三角形，且 是 的中点，
所以 ，且 .
由（1）知 平面 ，
所以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
易得.
，，，，.
，.
设平面的法向量为，
所以 ，
令，得， ，
所以平面的一个法向量为.
平面即平面，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
又， 则 平面，
所以平面的一个法向量为 .
设二面角 的大小为 ，则 .
由图易知，二面角 是锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 .
优题精练·专题实战通关
一、单选题
1．（24-25高三上·北京朝阳·期中）在三棱锥中，棱，，两两垂直，点在底面内，已知点到，，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】如图，棱，，两两垂直，
可以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
设，由题意可得：，∴，
∴，故选：A
2．（26-27高二上·北京石景山·期中）如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】在长方体中，
易知平面，平面，
所以，所以，
因为，，
所以.
3．（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接，
根据正八面体的性质可知为正方形，，平面，
建立如图所示，以为坐标原点，
分别以、、为、、轴的空间直角坐标系，
，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，，令，
则有：，所以，
，，
设平面的法向量为，
所以，，令，
则有：，所以，
设平面与平面夹角为，则，
平面与平面夹角的余弦值为.故选：D
4．（2026·北京朝阳·二模）在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】B
【解析】将设为原点，平面为平面，由平面，
得 ， ， ， .
因为，所以 ，推出，
①因为，所以 ，推出，
因此，
， ，
三者相等，①正确.
②因为，所以，
化简得，但不一定有 .
举反例：取 ，满足和，
计算得 ， ，②错误.
③因为，，推出.
， ，
则 .
故，③正确.
综上，正确结论为①③.
5．（24-25高三上·北京海淀·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（ ）
A．平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
B．存在点，使得直线与平面垂直
C．平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等
D．点到平面的距离不超过
【答案】B
【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
对于A，，即，而直线，则，
又，因此四边形为平行四边形，
又，则四边形为菱形，
当点与重合时，平面截正方体表面所得的交线形成的图形是菱形，A正确；
对于B，，，即与不垂直，
而平面，因此直线与平面不垂直，B错误；
对于C，线段的中点为正方体的中心，平面过该正方体的中心，
由对称性，平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等，C正确；
对于D，当点时，，，则，
即，，平面，于是平面，
此时点到该正方体中心的距离即为点到平面的距离，
是点到过的所有截面距离最大值，
因此点到平面的距离不超过，D正确.故选：B
6．（2025·北京石景山·一模）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题：
①对任意点Q，都有；
②存在点Q，使得平面；
③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
对于①，，
则，
所以，即，故①正确；
对于②，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
要使平面，则，
则，即，不符合题意，
所以不存在点Q，使得平面，故②错误；
对于③，如下图，在平面内作⊥，垂足为点，
过点作在平面内作⊥交于，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又平面，所以⊥，
因为，、平面，所以平面，
平面截正方体截面为平行四边形，
当与点重合时，为中点，截面面积最大，
此时，，截面面积为，故③对.故选：C.
二、填空题
7．（25-26高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，，则该四棱锥的高为______，体积为______．
【答案】4
【解析】连接交于点，连接．因为四边形是菱形，
所以，且为的中点．
因为，所以．
又因为，平面，且，所以平面．
而平面，所以平面平面．
故以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过O点作平面的垂线作为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，
则，
由题意平面即为平面xOz，故设.
因为，所以，即.
又，所以，所以，
由，得，解得，
所以，所以，所以该四棱锥的高为4；
又菱形的面积为，
所以该四棱锥的体积为.
故答案为：4；
8．（2026·北京丰台·模拟预测）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ．
【答案】
【解析】因为四棱锥的底面为正方形，且平面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，，，
可得，，
设，，
则，即，
可得，
设异面直线与所成角为，
则，
整理可得，解得或（舍去），
即，则.
所以.
9．（25-26高三上·北京昌平·期末）在如图所示的多面体中，平面平面，，，，直线AE，BF与平面ABCD所成的角均为，，，，，则点F到平面ABCD的距离为_______；该多面体的体积为_______.
【答案】
【解析】对于①：因为平面平面，且交线为，过点作平面垂足为，
则在直线上，因为与平面所成角为，所以 ,
在中，，
即点到平面的距离为.
对于②：将多面体分割为四棱锥和四棱锥两部分.
对于四棱锥，因为，
所以底面为直角梯形，又,
所以，高为到平面的距离，
所以；
对于四棱锥，因为，所以底面为梯形，
过点作垂直，垂足为，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
以为原点，分别以所在直线为轴，以过与平行的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，由①，
又与平面所成角均为，所以，
则，
则，令，
则点到直线的距离，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以是平面的一个法向量，
又，所以点到平面的距离为
又，
所以，
所以该多面体的体积
三、解答题
10．（26-27高三上·北京朝阳·期中）如图，多面体由一个长方体被平面所截而得，四边形是矩形，平面，，，，，点为的中点，点在线段上且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
则，
已知四点共面，则向量共面，且不共线，
则存在唯一实数对使得，
设，则，
，
故，解得，故，
点为的中点，点在线段上且，
故，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
，则，
又平面，故平面．
（2）平面的法向量，
，设平面的法向量为，
则，令，则，
设两平面夹角为，．
11．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）如图，是边长为的正方形，平面，，且．
(1)求直线与平面所成角的正弦值．
(2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，
【解析】（1）由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，，
设平面的一个法向量为，则有，
令，则，则，
设直线与平面的夹角为，则
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
（2）由（1）知，平面的一个法向量为，且，
设是线段上一点，由，可设，
则，
又点到平面的距离，
解得（舍）或，
故存在满足条件的点，
则，故线段长.
12．（2026·北京西城·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，，为线段的中点，．
(1)求证：平面；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【解析】（1）连接，设，因为四边形为正方形，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以且 ，由已知且，
所以且 ，所以四边形为平行四边形，
所以即，因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的坐标系，
因为，所以，
，，
，设平面的一个法向量为，
则，取，可得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）可知平面的一个法向量为，
又，所以点到平面的距离．
13．（2026·北京石景山·二模）如图，在正三棱柱中，，M，N分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)设平面与平面的交线为l，求直线l与直线MN所成的角.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【解析】（1）证明：如图，取的中点G，连接NG，AG．
由N，G分别为，的中点，得，且．
又因为，且，
所以，且．
故四边形AMNG为平行四边形．所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）取AB中点O，中点H，连结CO，OH．
在正三棱柱中，平面ABC，为等边三角形，
则，，易得平面ABC.
所以，.
故AB，OC，OH两两互相垂直，不妨设，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因此，，
设平面的法向量为，
则即
令，则.于是.
取BC中点Q，则易知为平面的一个法向量.
平面的一个法向量.
所以．
由题意知二面角为钝角，所以其余弦值为．
（3）因为，平面，平面，所以平面.
因为平面平面，平面，所以.
又因为.
设直线l与直线MN所成角为α，，
直线l与直线MN所成角为.
14．（2026·北京房山·二模）如图，三棱柱中，，，平面平面．
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)设点 为线段 上任意一点（且不与点 ， 重合），求证：直线 与平面相交．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）证明：平面平面,平面平面，
，平面，
平面，
平面，.
（2）取 的中点，连接，
，,
平面平面,平面平面,平面,
平面，
，
以为原点，为 轴，为轴，
过作平行于 的直线为轴建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，
，
，
设，则，则，
取平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为 ，则，
则平面和平面的夹角的余弦值为.
（3）证明：设，，，
平面的法向量为，
假设直线 与平面平行，则，
则，解得，
则，此时点 和 重合，
这与点 为线段 上任意一点（且不与点 ， 重合）相矛盾，
故直线 与平面不平行，
又点平面，故直线平面，
则直线 与平面相交.
$专题02 空间向量与立体几何
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01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
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▶基础梳理・自主夯基
考点01空间向量概念、线性运算及有关定理
考点02空间向量的数量积及其应用
考点03平行与垂直的向量表示
考点04利用向量求空间角
考点05利用向量求空间距离
▶高阶思维・探究拓展
难点解读01利用空间向量解决探索性问题
难点解读02利用空间向量解决最值范围问题
难点解读03不规则几何体建系问题
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究
题型01平行与垂直的向量表示
题型02空间向量与立体几何综合应用
▶重点突破・考法深研
重点01空间向量数量积的应用
重点02用向量法求异面直线所成角
重点03用向量法求直线与平面所成角
重点04用向量法求二面角
重点05利用空间向量求空间距离
▶技法提炼・审题点拨
技法点拨01用基向量表示指定向量
技法点拨02向量共线与三点共线问题
技法点拨03空间四点共面及其应用
技法点拨04利用空间向量证明空间线面位置关系
▶易错剖析・避坑攻略
易错点01线面角与向量夹角转化不清等问题
易错点02二面角的锐角与钝角判断失误
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用
知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 空间向量的概念、线性运算及定理
1、空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；
（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；
（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；
（5）共面向量：平行于同一个平面的向量
2、空间向量的线性运算
（1）空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．
空间向量加减法的运算律：交换律；结合律．
（2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，．
的长度是的长度的倍．
空间向量数乘的运算律：分配律；结合律．
3、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得.
（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
（3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底．
【新题对点练】（26-27高二上·北京石景山·期中）已知四面体，是的中点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
考点02 空间向量的数量积及其应用
1、空间向量的数量积及运算律
（1）数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]，
若，则称与互相垂直，记作.
②非零向量，的数量积．
（2）空间向量数量积的运算律
①结合律：；
②交换律：；
③分配律：.
2、空间向量数量积的坐标表示及其应用
设，，
向量表示
坐标表示
数量积
共线
，，
垂直
模
夹角
【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，正三棱柱的每条棱长均为2，、分别是、的中点，则的长等于________．
考点03 平行与垂直的向量表示
1、直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量．
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量．
2、空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为，
直线l的方向向量为，平面α的法向量为
平面α，β的法向量分别为，
【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）设，向量，且，则___________
考点04 利用向量求空间角
1、异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量．
2、直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量，
φ为l与α所成的角，则.
3、二面角
（1）若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a.
（2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角αlβ为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c.
【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
考点05 利用向量求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，
设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
2、点到平面的距离
已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，
过点作则平面的垂线，交平面于点，
则点到平面的距离为（如图）.
3、线面距和面面距
线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
（1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
（2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
【新题对点练】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________.
难点解读01 利用空间向量解决探索性问题
利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：
（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．
（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．
【典例1】（2026·北京·三模）在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点在线段（含端点）上运动，则下列结论不正确的有（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．对任意点，都有平面
D．对任意点，三棱锥的体积为定值
【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，四边形是正方形，平面，，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使平面与平面所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
难点解读02 利用空间向量解决最值范围问题
此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考：
一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；
二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；
三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解．
【典例1】（24-25高三上·北京·期末）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）正方体棱长为，为的中点，为线段上动点，为线段上动点，则 （ ）
A．存在无数条直线使得
B．存在唯一直线使得
C．点到平面距离最大值为
D．直线与夹角取值范围
难点解读03 不规则几何体建系问题
常见的，轴选取的参考原则：
①尽可能的让底面上更多的点位于，轴上；
②找角：，轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件；
③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点．
【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略．
【典例1】（25-26高三下·北京·阶段检测）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
【典例2】（25-26高三上·北京朝阳·阶段检测）如图，多面体中，正方形的边长为2，，，，，.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设为的中点，，分别在，上，且平面平面，求的长.
素养进阶·答题技法突破
题型01 空间向量与立体几何综合应用
考情定位：北京高考解答题高频题型，一般为中档大题，多以棱锥、棱柱为载体；第一问侧重空间平行、垂直关系的证明，几何法、向量法均可使用；第二问常利用空间向量求线面角、二面角，也会结合距离、参数探究类问题，设问灵活，有一定开放性．
核心考法：①建立空间直角坐标系，写出点与空间向量坐标；②向量法证明线线、线面、面面的平行与垂直；③向量法求解异面直线所成角、线面角、二面角；④利用向量求点到平面的距离；⑤含参数的探究性问题，判断是否存在满足条件的点或线段．
解题要点：建系前确认三条直线两两垂直，无现成垂线时先做证明；正确求平面法向量，分清向量夹角与线面角、二面角的换算关系；二面角要结合图形判断是锐角还是钝角；探究题设参数，依托向量方程求解，注意检验结果合理性；步骤书写规范，几何条件转化为向量条件要有依据．
【典例1】（2026·北京·高考真题）如图，在直三棱柱中，,分别为,的中点，，，．
(1)求证：平面；
(2)设点在的内部，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使点的位置唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值．
条件①：；
条件②：；
条件③：平面．
【典例2】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
重点01 空间向量数量积的应用
1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角；
2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；
3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
【典例1】（25-26高三下·北京·阶段检测）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体.如图，已知一个阿基米德多面体的所有顶点均是某个正方体各条棱的中点，且正方体的棱长为2，则该阿基米德多面体的体积为__________；是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，点P是该多面体表面上异于点的任意一点，则的最大值为__________.
【典例2】（26-27高二上·北京丰台·期中）如图，在四面体中，已知，，，与所成角为，与所成角为，与所成角为，则与所成角的余弦值为_________．
重点02 用向量法求异面直线所成角
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）用坐标表示两异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
（4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
【典例1】（26-27高二上·北京海淀·期中）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，且，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（26-27高二上·北京东城·期中）如图，正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为，、分别为棱、的中点，则直线和夹角的余弦值为________．
重点03 用向量法求直线与平面所成角
如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有.
【典例1】（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，，侧面为正方形，侧面底面，，为的中点，点在上，且平面．
(1)求证：点为的中点；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【典例2】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形， ，为的中点，点在上，且平面.
(1)求证：点为的中点；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
重点04 用向量法求二面角
1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
【典例1】（26-27高三上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为中点，，，.
(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的余弦值.
【典例2】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为2的等边三角形，底面 为直角梯形，其中 ， ， ， 为线段 中点，连接 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
重点05 利用空间向量求空间距离
（1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为．
（2）点面距：已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为．
【注意】线面距、面面距可转化为点面距进行求解．
【典例1】（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F．
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离．
【典例2】（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，，求：
（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）点到平面的距离.
技法点拨01 用基向量表示指定向量
（1）结合已知向量和所求向量观察图形．
（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
【典例1】（26-27高二上·北京海淀·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，则以下正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（26-27高二上·北京·阶段检测）已知正方体中，点为的中点，若，，则______．
技法点拨02 向量共线与三点共线问题
三点(P，A，B)共线，＝λ且同过点P
对空间任一点O，＝＋t
对空间任一点O，＝x＋(1－x)
【典例1】（26-27高二上·北京海淀·期中）已知 ，，若 ，则实数 ， 的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【典例2】（26-27高二上·北京石景山·阶段检测）已知空间向量，，若三点共线，则（ ）
A． B．4 C． D．
技法点拨03 空间四点共面及其应用
空间四点(M，P，A，B)共面，＝x＋y
对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）在下列条件中，使点与点，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知空间向量，若共面，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
技法点拨04 利用空间向量证明空间线面位置关系
1、利用空间向量证明平行的方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行
①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题
2.利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
【典例1】（25-26高三上·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，E、F分别是线段BC、AP的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面所成角的余弦值.
【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）正四棱柱中，底面的边长为2，，P为上一点．
(1)若P为中点，求证：平面．
(2)若，求证：．
易错点01 线面角与向量夹角转化不清等问题
辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围．
【典例1】如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面.
(1)若为上靠近点的三等分点，证明：平面；
(2)若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值．
易错点02 二面角的锐角与钝角判断失误
辨析：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围．
【典例1】在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，，侧面 是等边三角形，且平面 平面 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
优题精练·专题实战通关
一、单选题
1．（24-25高三上·北京朝阳·期中）在三棱锥中，棱，，两两垂直，点在底面内，已知点到，，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段的长为（ ）
A． B． C．3 D．
2．（26-27高二上·北京石景山·期中）如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
3．（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·北京朝阳·二模）在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③ B．①③ C．①② D．①②③
5．（24-25高三上·北京海淀·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（ ）
A．平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
B．存在点，使得直线与平面垂直
C．平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等
D．点到平面的距离不超过
6．（2025·北京石景山·一模）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题：
①对任意点Q，都有；
②存在点Q，使得平面；
③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．（25-26高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，，则该四棱锥的高为______，体积为______．
8．（2026·北京丰台·模拟预测）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ．
9．（25-26高三上·北京昌平·期末）在如图所示的多面体中，平面平面，，，，直线AE，BF与平面ABCD所成的角均为，，，，，则点F到平面ABCD的距离为_______；该多面体的体积为_______.
三、解答题
10．（26-27高三上·北京朝阳·期中）如图，多面体由一个长方体被平面所截而得，四边形是矩形，平面，，，，，点为的中点，点在线段上且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
11．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）如图，是边长为的正方形，平面，，且．
(1)求直线与平面所成角的正弦值．
(2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
12．（2026·北京西城·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，，为线段的中点，．
(1)求证：平面；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离．
13．（2026·北京石景山·二模）如图，在正三棱柱中，，M，N分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)设平面与平面的交线为l，求直线l与直线MN所成的角.
14．（2026·北京房山·二模）如图，三棱柱中，，，平面平面．
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)设点 为线段 上任意一点（且不与点 ， 重合），求证：直线 与平面相交．
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