专题02 幂函数、指数函数与对数函数（知识清单）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了幂函数、指数函数与对数函数专题，涵盖指数对数运算、幂函数与二次函数、指数函数及对数函数的图象性质，以及复合函数单调性、恒成立问题等重难点，构建了从基础运算到高阶应用的知识体系。 清单采用基础梳理与高阶思维分层突破设计，设考点深研、素养进阶模块，提炼指数幂运算技巧、指对比较大小中间值法等答题技法，标注忽略底数讨论、复合函数定义域等易错点，培养数学思维与运算能力。配套新题对点练和高考母题探究，助力学生自主夯实基础，教师可据此精准把握复习方向，提升备考效率。

专题02 幂函数、指数函数与对数函数 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01指数与对数运算 考点02幂函数与二次函数 考点03指数函数及其性质 考点04对数函数及其性质 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01指数型复合函数的单调性与值域问题 难点解读02对数型复合函数的单调性与值域问题 难点解读03指对函数恒成立与参数范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01指数与对数运算 题型02指对比较大小 ▶重点突破・考法深研 重点01幂函数的图象与性质 重点02指数函数的图象与性质 重点03对数函数的图象与性质 重点04利用函数单调性求解指对不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01指数幂与对数式运算 技法点拨02指对幂比较大小的常用方法 技法点拨03二次函数在闭区间上的最值问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽略对指数与对数底数的讨论致错 易错点02求复合函数单调性时忽略定义域致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 指数与对数运算 1、根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 3、对数与对数运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式． （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1)． 指数式与对数式的关系 （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)， ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. 【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，则______． 考点02 幂函数与二次函数 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 3、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【新题对点练】（25-26高三上·北京西城·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则______． 考点03 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 【新题对点练】（25-26高二下·北京·期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04 对数函数及其性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 难点解读01 指数型复合函数的单调性与值域问题 1、指数型复合函数的单调性问题 （1）研究的函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． （2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可． 2、指数型复合函数的值域问题 （1）形如函数的值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·期中）函数（    ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【典例2】（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为__________，曲线的对称中心为__________． 难点解读02 对数型复合函数的单调性与值域问题 1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略 （1）对于型函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． （2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可． 2、对数型复合函数的值域问题的求解策略 （1）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域． （2）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域． 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．的最大值是0 D．在上单调递增 【典例2】（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知函数，若函数在时取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 难点解读03 指对函数恒成立与参数问题 新高考中档综合难点，主打指对函数恒成立、存在性求参问题。解题核心思路为分离参数、数形结合、分类讨论，优先采用参变分离法，结合函数单调性求解最值，以此约束参数范围；含底数参数时，必须分类讨论与两种单调性情况． 【典例1】（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________． 【典例2】若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 指数与对数运算 考情定位：北京高考选择填空基础工具考点，极少单独大题，为指对幂比大小、函数值域、导数计算前置必备运算，侧重公式规范运用，计算难度适中，不设置复杂多层嵌套运算． 核心考法：①根式与分数指数幂互化化简；②指数四则混合运算、负指数处理；③对数加减乘除、换底公式化简；④已知指数式求对数式整体代换求值；⑤lg2+lg5=1、logaa=1、loga1=0常用结论速算。 解题要点：根式统一化为分数指数幂再运算；对数运算先保证真数大于0；不同底对数统一用换底公式转化；结果杜绝负指数、根式与分数指数并存；整体代换避免单独求解未知数． 【典例1】（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________． 题型02 指对比较大小 考情定位：北京卷单选高频命题，常作为中档小题，融合指数、对数、幂函数三类函数，侧重数形结合与区间估值，多借助0、1分界判断，偶结合不等式综合设问． 核心考法：①同底利用指数/对数函数单调性比大小；②同指数借助幂函数图像趋势判断；③底数指数均不同，以0、1为中间值分段估值；④构造函数结合单调性比较跨类型数值；⑤融合基本不等式、奇偶性综合比大小． 解题要点：先划分区间区分大于1、0~1、小于0 三类；同底看单调性，同指看图像高低；跨类型优先找中间值隔断；估算对数近似值辅助判断；选择题可用特殊底数快速排除． 【典例1】（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 重点01 幂函数的图象与性质 核心解题要点：熟练掌握五类核心幂函数的定义域、值域、奇偶性与单调性，牢记所有幂函数在第一象限的图象规律与定点(1,1)；可依托幂函数单调性比较同指数幂数值大小，结合奇偶性判断函数对称性，快速求解简单不等式与参数问题． 高频陷阱：混淆幂函数与指数函数解析式；忽略不同幂函数的定义域限制；乱用第一象限单调性判断其他象限函数值大小． 【典例1】（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【典例2】（25-26高二下·北京·期中）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（    ） A． B． C． D． 重点02 指数函数的图象与性质 核心解题要点：依托指数函数定点、单调性、图象特征解题，根据底数的范围判定函数增减性，可快速比较指数式大小、求解简单指数不等式；结合图象分布规律，辨析函数图象、求解参数取值，适配基础选填题型． 高频陷阱：记错底数范围对应的单调性；忽略指数函数值域恒大于0的隐藏条件；底数大小与图象高低对应关系混淆出错． 【典例1】（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 重点03 对数函数的图象与性质 核心解题要点：严格遵循定义域优先原则，依托对数函数定点、单调性、反函数性质解题；根据底数范围判断增减趋势，用于对数值比大小、简单对数不等式求解，结合图象对称性解决函数综合基础问题． 高频陷阱：忽略对数真数大于0的硬性定义域限制；底数单调性判断错误导致比大小、解不等式出错；混淆指数与对数函数反函数图象特征． 【典例1】（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】“函数在区间上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重点04 利用函数单调性求解指对不等式 核心解题要点：将不等式两侧化为同底数指对函数形式，根据底数范围判定单调性，顺势脱去函数符号转化为代数不等式；对数不等式必须联立真数大于0的定义域条件，最终取交集得到解集． 高频陷阱：底数时忘记反转不等号方向；遗漏对数定义域限制导致解集范围偏大；非同一底数强行脱号求解，逻辑出错． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）设函数，若，则实数的取值范围是_____． 【典例2】（25-26高三上·北京延庆·阶段检测）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 指数幂与对数式运算 1、指数幂运算的一般原则 （1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数； （4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 2、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 【典例1】（2026·北京·模拟预测）设，，为非零实数，且，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·北京东城·二模）已知非零实数x，y满足，则下列各式中为定值的是（    ） A． B． C． D． 技法点拨02 指对幂比较大小的常用方法 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法． 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小． 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值． 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律． （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小． 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系． 【典例1】（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·北京海淀·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 技法点拨03 二次函数在闭区间上的最值问题 二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况讨论；区间外单调直接取端点最值，区间内含对称轴则对比端点与顶点函数值，精准锁定最值． 【典例1】函数在区间上的值域是________. 【典例2】定义在闭区间上的函数的最大值与最小值之积为，则的取值范围是_____． 易错点01 忽略对指数与对数底数的讨论致错 辨析：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0<a<1两种情况进行讨论． 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）对任意实数x，都有loga（ex+3）≥1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（    ） A． B．（1，3] C．（1，3） D．[3，+∞） 【典例2】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点02 求复合函数单调性时忽略定义域致错 辨析：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间．解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错． 【典例1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数（且），若，则的递增区间是（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京西城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京石景山·一模）设，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·北京·期中）下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·北京昌平·二模）已知函数，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 9．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·北京·阶段检测）设函数，则使得(1)成立的的取值范围是(    ) A． B．，， C． D．，， 二、填空题 11．（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 12．（25-26高三上·北京·阶段检测）若函数，，则___________． 13．（25-26高三上·北京大兴·阶段检测）设函数，若的值域为，则a的一个取值为______；若值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为______. 14．（2026高三下·北京·竞赛）设，则的最小值为_____． 三、解答题 15．（25-26高三上·北京·阶段检测）（1）解下列不等式： ①；② （2）计算： $专题02 幂函数、指数函数与对数函数 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01指数与对数运算 考点02幂函数与二次函数 考点03指数函数及其性质 考点04对数函数及其性质 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01指数型复合函数的单调性与值域问题 难点解读02对数型复合函数的单调性与值域问题 难点解读03指对函数恒成立与参数范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01指数与对数运算 题型02指对比较大小 ▶重点突破・考法深研 重点01幂函数的图象与性质 重点02指数函数的图象与性质 重点03对数函数的图象与性质 重点04利用函数单调性求解指对不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01指数幂与对数式运算 技法点拨02指对幂比较大小的常用方法 技法点拨03二次函数在闭区间上的最值问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽略对指数与对数底数的讨论致错 易错点02求复合函数单调性时忽略定义域致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 指数与对数运算 1、根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 3、对数与对数运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式． （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1)． 指数式与对数式的关系 （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)， ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. 【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【解析】且，则， . 考点02 幂函数与二次函数 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 3、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【新题对点练】（25-26高三上·北京西城·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则______． 【答案】 【解析】因为是幂函数，图象经过点，设， 则，解得，故. 考点03 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 【新题对点练】（25-26高二下·北京·期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：D 考点04 对数函数及其性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【解析】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 难点解读01 指数型复合函数的单调性与值域问题 1、指数型复合函数的单调性问题 （1）研究的函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． （2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可． 2、指数型复合函数的值域问题 （1）形如函数的值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·期中）函数（    ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【解析】因为函数， 设， 当函数单调递减，当函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，函数无最大值.故选：B. 【典例2】（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为__________，曲线的对称中心为__________． 【答案】 / 【解析】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 难点解读02 对数型复合函数的单调性与值域问题 1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略 （1）对于型函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． （2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可． 2、对数型复合函数的值域问题的求解策略 （1）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域． （2）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域． 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．的最大值是0 D．在上单调递增 【答案】D 【解析】由且，解得，则的定义域为，故A正确； ∵，则为偶函数，故B正确； ∵，， 令，当时，单调递减， 而在上单调递增，则在上单调递减，故D错误； ∵，，令， 当时，，则的最大值是，故C正确.故选：D. 【典例2】（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知函数，若函数在时取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因此当时函数取最小值，故 难点解读03 指对函数恒成立与参数问题 新高考中档综合难点，主打指对函数恒成立、存在性求参问题。解题核心思路为分离参数、数形结合、分类讨论，优先采用参变分离法，结合函数单调性求解最值，以此约束参数范围；含底数参数时，必须分类讨论与两种单调性情况． 【典例1】（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________． 【答案】 . 【解析】由已知， 若，则，所以， 当时，，当时，， 因为对恒成立； 所以当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 若，则当时，，矛盾， 当时，可得恒成立，所以， 所以t的取值范围是为. 【典例2】若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以当时，该二次函数是单调递增函数， 当时，；当时，，所以此时二次函数的值域为. 当时，当时，函数单调递减， 当时，；当时，， 所以，而，因此在内不成立； 当时，当时，函数单调递增， 当时，；当时，，此时该对数函数的值域为， 二次函数和对数函数的图象如下图所示： 要想不等式 在内恒成立， 只需，而，所以， 故选：B 素养进阶·答题技法突破 题型01 指数与对数运算 考情定位：北京高考选择填空基础工具考点，极少单独大题，为指对幂比大小、函数值域、导数计算前置必备运算，侧重公式规范运用，计算难度适中，不设置复杂多层嵌套运算． 核心考法：①根式与分数指数幂互化化简；②指数四则混合运算、负指数处理；③对数加减乘除、换底公式化简；④已知指数式求对数式整体代换求值；⑤lg2+lg5=1、logaa=1、loga1=0常用结论速算。 解题要点：根式统一化为分数指数幂再运算；对数运算先保证真数大于0；不同底对数统一用换底公式转化；结果杜绝负指数、根式与分数指数并存；整体代换避免单独求解未知数． 【典例1】（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________． 【答案】1 【解析】函数，所以. 题型02 指对比较大小 考情定位：北京卷单选高频命题，常作为中档小题，融合指数、对数、幂函数三类函数，侧重数形结合与区间估值，多借助0、1分界判断，偶结合不等式综合设问． 核心考法：①同底利用指数/对数函数单调性比大小；②同指数借助幂函数图像趋势判断；③底数指数均不同，以0、1为中间值分段估值；④构造函数结合单调性比较跨类型数值；⑤融合基本不等式、奇偶性综合比大小． 解题要点：先划分区间区分大于1、0~1、小于0 三类；同底看单调性，同指看图像高低；跨类型优先找中间值隔断；估算对数近似值辅助判断；选择题可用特殊底数快速排除． 【典例1】（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误，故选：B. 重点01 幂函数的图象与性质 核心解题要点：熟练掌握五类核心幂函数的定义域、值域、奇偶性与单调性，牢记所有幂函数在第一象限的图象规律与定点(1,1)；可依托幂函数单调性比较同指数幂数值大小，结合奇偶性判断函数对称性，快速求解简单不等式与参数问题． 高频陷阱：混淆幂函数与指数函数解析式；忽略不同幂函数的定义域限制；乱用第一象限单调性判断其他象限函数值大小． 【典例1】（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【解析】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 【典例2】（25-26高二下·北京·期中）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，A符合； 对于B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，B不符合； 对于C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，C不符合； 对于D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合． 重点02 指数函数的图象与性质 核心解题要点：依托指数函数定点、单调性、图象特征解题，根据底数的范围判定函数增减性，可快速比较指数式大小、求解简单指数不等式；结合图象分布规律，辨析函数图象、求解参数取值，适配基础选填题型． 高频陷阱：记错底数范围对应的单调性；忽略指数函数值域恒大于0的隐藏条件；底数大小与图象高低对应关系混淆出错． 【典例1】（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，则， 所以函数的图象一定过点.故选：A. 【典例2】已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以.故选：D 重点03 对数函数的图象与性质 核心解题要点：严格遵循定义域优先原则，依托对数函数定点、单调性、反函数性质解题；根据底数范围判断增减趋势，用于对数值比大小、简单对数不等式求解，结合图象对称性解决函数综合基础问题． 高频陷阱：忽略对数真数大于0的硬性定义域限制；底数单调性判断错误导致比大小、解不等式出错；混淆指数与对数函数反函数图象特征． 【典例1】（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是奇函数，则， 即，所以，即， 所以，解得， 当时，，由可得，该函数的定义域为， 此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意； 当时，，由可得或， 即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意. 综上所述，. 【典例2】“函数在区间上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，则，解得， 由可得，但是由得不到， 所以函数在区间上单调递增是的必要不充分条件. 重点04 利用函数单调性求解指对不等式 核心解题要点：将不等式两侧化为同底数指对函数形式，根据底数范围判定单调性，顺势脱去函数符号转化为代数不等式；对数不等式必须联立真数大于0的定义域条件，最终取交集得到解集． 高频陷阱：底数时忘记反转不等号方向；遗漏对数定义域限制导致解集范围偏大；非同一底数强行脱号求解，逻辑出错． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）设函数，若，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】当时，由，得，即，得，， 所以， 当时，由，得，，所以， 综上，，即实数的取值范围是. 【典例2】（25-26高三上·北京延庆·阶段检测）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，得 ， 由，观察可得方程组的解为或， 画出的图像 由图可知，不等式的解集是.故选： 技法点拨01 指数幂与对数式运算 1、指数幂运算的一般原则 （1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数； （4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 2、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 【典例1】（2026·北京·模拟预测）设，，为非零实数，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以． 【典例2】（2026·北京东城·二模）已知非零实数x，y满足，则下列各式中为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令且，则， 所以，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值； ，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值； ，为定值； ，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值. 技法点拨02 指对幂比较大小的常用方法 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法． 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小． 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值． 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律． （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小． 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系． 【典例1】（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 【典例2】（2026·北京海淀·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以 又，即； 因为， 所以，即， 综上，，即. 技法点拨03 二次函数在闭区间上的最值问题 二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况讨论；区间外单调直接取端点最值，区间内含对称轴则对比端点与顶点函数值，精准锁定最值． 【典例1】函数在区间上的值域是________. 【答案】 【解析】， 在上单调递增，在上单调递减，且关于直线对称， 当时，，， 所求值域为. 【典例2】定义在闭区间上的函数的最大值与最小值之积为，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】记在上的最大值为，最小值为， ． ， ． ①当时，，， ，解得； ②当时，，， ，解得； ③当时，， ， ， ，均不合题意，或， 则的取值范围是． 易错点01 忽略对指数与对数底数的讨论致错 辨析：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0<a<1两种情况进行讨论． 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）对任意实数x，都有loga（ex+3）≥1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（    ） A． B．（1，3] C．（1，3） D．[3，+∞） 【答案】B 【解析】∵loga（ex+3）≥1＝logaa， ∴若a＞1，则ex+3≥a恒成立，∵ex+3＞3，∴此时1＜a≤3， 若0＜a＜1，则ex+3≤a恒成立，∵ex+3＞3，∴此时a无解， 综上所述，1＜a≤3， 即实数a的取值范围是（1，3]．故选：B 【典例2】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，根据对数函数的性质可得且， 即恒成立，， ，解得， ，根据指数函数的性质得，，即， 故的取值范围为， 当时，根据对数函数的性质可得， 即不成立，舍去， 综上的取值范围为. 易错点02 求复合函数单调性时忽略定义域致错 辨析：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间．解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错． 【典例1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得，可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 【典例2】已知函数（且），若，则的递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A，在区间上单调递增，不符合题意； 对于B，的定义域为，不符合题意； 对于C， ，在区间上单调递减，符合题意； 对于D，在区间上单调递增，不符合题意； 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为恒成立，所以函数定义域为， 由题意可得， 所以， 所以函数是定义在上的奇函数，故A正确， 而，故B错误， 而，非定值，故C，D错误. 3．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】指数函数在上单调递增， ，即； 对数函数在上单调递增， ，即； 指数函数在上单调递减，且值域为， ，即. 综上所述，.故选：A. 4．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为指数函数是实数集上的减函数， 所以， 因为指数函数是实数集上的增函数， 所以， 因为对数函数是正实数集上减函数， 所以，因此，故选：A 5．（25-26高三上·北京西城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为指数函数在上单调递减，且，所以， 因为幂函数在上单调递减，，所以， 又，所以. 又，所以.故选：B 6．（2026·北京石景山·一模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，则， ， ， 则，则. 7．（25-26高三上·北京·期中）下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为奇函数且值域为， 对于A，为非奇非偶函数，故A错误， 对于B，令，可知定义域为，， 所以为奇函数，当，当，所以，故B正确； 对于C，令，的定义域为，， 所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，令，由，所以为偶函数，故D错误. 故选：B. 8．（2026·北京昌平·二模）已知函数，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【解析】已知函数，定义域为，关于原点对称. .满足，故是奇函数. .因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 9．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A：，且定义域为R，满足； B：，且定义域为， 在上，故在上，不符合； C：且定义域为R，不符合； D：且定义域为， 当时，，当且仅当时取等号，不符合.故选：A 10．（25-26高二下·北京·阶段检测）设函数，则使得(1)成立的的取值范围是(    ) A． B．，， C． D．，， 【答案】B 【解析】根据题意，函数，其定义域为， 有，即函数为偶函数， 当时，，函数和函数都是，上为增函数，则在，上为增函数， (1)(1)，解可得或， 即的取值范围为，，；故选：. 二、填空题 11．（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以， 所以不等式的解集为. 12．（25-26高三上·北京·阶段检测）若函数，，则___________． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以. 13．（25-26高三上·北京大兴·阶段检测）设函数，若的值域为，则a的一个取值为______；若值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为______. 【答案】 0（答案不唯一） / 【解析】要使的值域为，令，则能取遍内的所有值， 因此，解得或， 故若的值域为，则a的一个取值可以为0， 若值域为且在上是增函数，则需满足，解得或， 故的值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为， 故答案为：0（答案不唯一）， 14．（2026高三下·北京·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 三、解答题 15．（25-26高三上·北京·阶段检测）（1）解下列不等式： ①；② （2）计算： 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】（1）①因为为增函数， ，所以，即的解集为. ②因为为减函数， ， 所以，解得，即的解集为. （2）. $