专题02 不等式（知识清单）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了不等式专题，涵盖等式与不等式性质、三个“二次”关系、基本不等式等核心考点，通过基础梳理与高阶思维分层突破，构建完整知识体系。 清单采用知识脑图搭建脉络，分基础与高阶分层呈现，突出含参不等式分类讨论步骤、基本不等式“一正二定三相等”条件等重难点，标注易错点如忽视分母不为零，培养数学思维与表达素养。设新题对点练和高考母题探究，助力学生自主突破，教师可据此精准指导复习。

专题02 不等式 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01等式性质与不等式性质 考点02三个“二次”之间的关系 考点03基本不等式 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01含参一元二次不等式分类讨论 难点解读02基本不等式多元与非常规配凑 难点解读03恒成立与存在性不等式求参 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01不等式的性质及应用 题型02基本不等式应用 ▶重点突破・考法深研 重点01利用不等式性质判断命题真假 重点02基本不等式常规配凑求最值 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01一元二次不等式标准化解题 技法点拨02一元二次方程根的分布问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视不等式成立条件致错 易错点02忽视基本不等式应用的条件致错 易错点03解分数不等式忽略分母不为零致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 等式性质与不等式性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【新题对点练】（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错.故选：C. 考点02 三个“二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 【新题对点练】（24-25高三上·北京·阶段检测）若不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】由题意可知，，，， 则，即， 即，解得：， 所以不等式的解集为. 考点03 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)． 【新题对点练】 （2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____． 【答案】 【解析】因为，所以，等号成立时，， 故函数的最小值为． 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论 新高考中档高频难点，解题遵循固定讨论顺序：先讨论二次项系数正负与是否为0，再讨论判别式判定有无实根，最后结合两根大小关系、开口方向确定解集；参数变化直接改变解集形态，极易出现漏解、错解． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知，，且，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式，解得， 则，而，由，得， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是.故选：C 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）关于的不等式的解集不可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】若，则等价于， 若，则不等式的解集为，故B不符合题意； 若，则不等式的解集为，故D不符合题意； 若，则不等式的解集为，故C不符合题意； 若，则等价于， 则不等式的解集为或； 若，则不等式的解集为， 综上可知，A选项符合题意.故选：A 难点解读02 基本不等式多元与非常规配凑 突破基础定值题型，考查消元法、齐次化、“1”的代换、拆项配凑、多次连用基本不等式；核心难点是构造和定、积定结构，同时验证等号成立条件，规避取不到最值的陷阱，是不等式压轴小题主考方向． 【典例1】（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 因为，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为.故选：B. 【典例2】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，而， 则 ， 当且仅当，时取等号， 由，解得， 所以当时，的最小值为.故选：C 难点解读03 恒成立与存在性不等式求参 新高考高频综合难点，常结合二次函数、分式函数综合命题，核心考查参数约束与最值逻辑．恒成立问题依托函数最值构建不等关系，二次型恒成立需结合开口方向与判别式双重判定，复杂题型可采用分离参数法求解．解题易混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑，分离参数时易忽略自变量正负，导致不等号方向出错、参数范围偏差． 【典例1】（24-25高三上·河南郑州·月考）恒成立，则实数a的最大值为______. 【答案】 【解析】恒成立， 即 在上恒成立， 所以在上恒成立， 又 当且仅当 即 时取等号，所以 则实数a的最大值为 故答案为：. 【典例2】（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，所以问题转化为恒成立， 设，则，代入上式， 所以问题转化为时恒成立，则只需即可， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，所以，解得. 素养进阶·答题技法突破 题型01 不等式的性质及应用 考情定位：选择小题基础考点，是函数、比大小、充分必要条件题型的解题基础，仅单独考查小题，不涉及大题，侧重性质辨析与简单范围求解． 核心考法：①利用不等式性质判断命题真假；②结合初等函数单调性比较代数式大小；③结合充分必要条件、集合运算综合判型；④利用不等式性质求解代数式取值范围． 解题要点：不等式变形牢记“负变正不变”，取倒数、开偶次方、乘除负数必变号；取值范围运算禁止多次放缩；选择题优先特殊值法快速排错． 【典例1】（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（    ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【解析】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 题型02 基本不等式应用 考情定位：选填核心题型，常考中档最值小题，同时作为函数、解析几何、恒成立问题的核心解题工具，侧重条件辨析，弱化复杂配凑． 核心考法：①标准型和定积最大、积定和最小求最值；②乘1法解决分式型二元最值问题；③结合恒成立问题转化最值求参数；④判断等号成立条件辨析正误． 解题要点：严格遵循“一正二定三相等”前提；无定值先配凑构造定值；等号无法取到时改用函数单调性求解；杜绝多次用不等式导致取值失真． 【典例1】（2025·北京·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C. 【典例2】（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误，故选：B. 重点01 利用不等式性质判断命题真假 核心解题要点：简单命题可通过不等式性质直接推导；复杂多选命题优先特殊值代入快速排除；含变量不确定正负时，严禁随意乘除、平方变形． 高频陷阱：默认变量为正随意变形；忽略不等式不可逆性；传递性使用条件不充分，盲目推导大小关系． 【典例1】（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以， 又，所以，所以，即，C正确，D错误； 【典例2】（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由，两式相加得，故A正确； 对于B，令，满足， 此时，，故B错误； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 重点02 基本不等式常规配凑求最值 核心解题要点：无定值则主动配凑定值，常用拆项、补常数、调整系数；分式和式优先使用“1”的代换构造齐次定值结构；全程验证正数条件与等号可取性． 高频陷阱：忽略变量为负的情况；只凑定值不验证等号，导致最值取不到；多次连用不等式等号条件冲突． 【典例1】（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【解析】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 【典例2】（2026·北京·三模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 技法点拨01 一元二次不等式标准化解题 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集． 【典例1】（2026·北京·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得：，所以， 由，所以，所以. 【典例2】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知全集，集合．，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得集合，再利用集合的交并补定义计算即得. 【解析】由，可得，则， 或，又， 则或，即.故选：B. 技法点拨02 一元二次方程根的分布问题 统一构造二次函数；两根同区间必联立、对称轴区间约束、端点函数值符号；单根跨区间只需端点函数值异号；含参先讨论二次项系数是否为0；解集借助数轴规避边界遗漏． 【典例1】（24-25高三上·河北承德·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 【答案】 【解析】由题设， 即实数的取值范围是. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【解析】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 易错点01 忽视不等式成立条件致错 辨析：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件． 【典例1】（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数， 不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么， 不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·期中）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，则，则，故A错误； 对于B：，所以，B错误： 对于C：因为，所以，所以，C错误； 对于D，由题知， 又因为，则，即，故D正确，故选：D 易错点02 忽视基本不等式应用的条件致错 辨析：（1）利用基本不等式以及变式等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件． （2）对形如的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意，同号． 【典例1】（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确.故选：D. 【典例2】（2025·山东菏泽·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，所以， 由得，因为，所以取不到等号，即， 所以“”是“”的充分条件； 又时，，所以“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A 易错点03 解分数不等式忽略分母不为零致错 辨析：解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件，防止出现增解，如． 【典例1】（2026·北京·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，即集合，所以； 由，整理得，等价为，解得， 所以集合， 所以. 【典例2】（2025·北京·模拟预测）不等式的解集为_______. 【答案】 【解析】由得，即， 整理得：，即， 即，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为： 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·北京房山·一模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合， 因为集合，所以. 2．（2025·北京大兴·三模）已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以⫋，.故选：B. 3．（2026·北京·三模）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集， 所以集合的补集为或， 所以集合与集合的补集的交集为. 4．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以，则， 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 5．（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对移项通分：， 若，则，因此，即一定成立，充分性成立； 若，不一定能推出， 举例：取，满足，但不满足，因此必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·北京·三模）已知非零实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】排除选项A：取，满足，此时，故A错误； 排除选项B：取，满足，此时，故B错误； 排除选项D：取，满足，此时，故D错误； 证明选项C：方法一：因为，所以， 即，又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 方法二：由柯西不等式得： ， 化简得，即， 因为，所以，故C正确. 7．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以可得，，， 则，即， 所以，故A错误； 对于B，令，则，则，故B错误; 对于C，根据均值不等式，当且仅当时等号成立， 又因为，所以等号不成立，则，故C错误; 对于D，因为，所以，由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，而，所以等号不成立，则，故D正确.故选：D 8．（2025·北京东城·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，则必有， 由，则，可得， 又，根据基本不等式有， 若且，则有，即是的充分条件， 若，则，此时满足，但不成立， 所以是的非必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A 二、填空题 9．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是____________. 【答案】 【解析】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 10．（24-25高一上·北京·期中）当时，的最小值为________． 【答案】5 【解析】因为, 则， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 11．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】； 【解析】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 12．（24-25高三上·北京顺义·阶段检测）已知，，且，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】因为且, 所以, 当且仅当，即时取等最小值. 13．（25-26高三上·北京·阶段检测）若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】因为两个正实数，满足， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又恒成立，即恒成立，解得， 所以实数的取值范围是. $专题02 不等式 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01等式性质与不等式性质 考点02三个“二次”之间的关系 考点03基本不等式 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01含参一元二次不等式分类讨论 难点解读02基本不等式多元与非常规配凑 难点解读03恒成立与存在性不等式求参 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01不等式的性质及应用 题型02基本不等式应用 ▶重点突破・考法深研 重点01利用不等式性质判断命题真假 重点02基本不等式常规配凑求最值 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01一元二次不等式标准化解题 技法点拨02一元二次方程根的分布问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视不等式成立条件致错 易错点02忽视基本不等式应用的条件致错 易错点03解分数不等式忽略分母不为零致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 等式性质与不等式性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【新题对点练】（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 考点02 三个“二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 【新题对点练】（24-25高三上·北京·阶段检测）若不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 考点03 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)． 【新题对点练】 （2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____． 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论 新高考中档高频难点，解题遵循固定讨论顺序：先讨论二次项系数正负与是否为0，再讨论判别式判定有无实根，最后结合两根大小关系、开口方向确定解集；参数变化直接改变解集形态，极易出现漏解、错解． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知，，且，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）关于的不等式的解集不可能是（    ） A．或 B． C． D． 难点解读02 基本不等式多元与非常规配凑 突破基础定值题型，考查消元法、齐次化、“1”的代换、拆项配凑、多次连用基本不等式；核心难点是构造和定、积定结构，同时验证等号成立条件，规避取不到最值的陷阱，是不等式压轴小题主考方向． 【典例1】（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 难点解读03 恒成立与存在性不等式求参 新高考高频综合难点，常结合二次函数、分式函数综合命题，核心考查参数约束与最值逻辑．恒成立问题依托函数最值构建不等关系，二次型恒成立需结合开口方向与判别式双重判定，复杂题型可采用分离参数法求解．解题易混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑，分离参数时易忽略自变量正负，导致不等号方向出错、参数范围偏差． 【典例1】（24-25高三上·河南郑州·月考）恒成立，则实数a的最大值为______. 【典例2】（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 不等式的性质及应用 考情定位：选择小题基础考点，是函数、比大小、充分必要条件题型的解题基础，仅单独考查小题，不涉及大题，侧重性质辨析与简单范围求解． 核心考法：①利用不等式性质判断命题真假；②结合初等函数单调性比较代数式大小；③结合充分必要条件、集合运算综合判型；④利用不等式性质求解代数式取值范围． 解题要点：不等式变形牢记“负变正不变”，取倒数、开偶次方、乘除负数必变号；取值范围运算禁止多次放缩；选择题优先特殊值法快速排错． 【典例1】（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（    ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 题型02 基本不等式应用 考情定位：选填核心题型，常考中档最值小题，同时作为函数、解析几何、恒成立问题的核心解题工具，侧重条件辨析，弱化复杂配凑． 核心考法：①标准型和定积最大、积定和最小求最值；②乘1法解决分式型二元最值问题；③结合恒成立问题转化最值求参数；④判断等号成立条件辨析正误． 解题要点：严格遵循“一正二定三相等”前提；无定值先配凑构造定值；等号无法取到时改用函数单调性求解；杜绝多次用不等式导致取值失真． 【典例1】（2025·北京·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 重点01 利用不等式性质判断命题真假 核心解题要点：简单命题可通过不等式性质直接推导；复杂多选命题优先特殊值代入快速排除；含变量不确定正负时，严禁随意乘除、平方变形． 高频陷阱：默认变量为正随意变形；忽略不等式不可逆性；传递性使用条件不充分，盲目推导大小关系． 【典例1】（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 重点02 基本不等式常规配凑求最值 核心解题要点：无定值则主动配凑定值，常用拆项、补常数、调整系数；分式和式优先使用“1”的代换构造齐次定值结构；全程验证正数条件与等号可取性． 高频陷阱：忽略变量为负的情况；只凑定值不验证等号，导致最值取不到；多次连用不等式等号条件冲突． 【典例1】（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．6 【典例2】（2026·北京·三模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 一元二次不等式标准化解题 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集． 【典例1】（2026·北京·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知全集，集合．，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨02 一元二次方程根的分布问题 统一构造二次函数；两根同区间必联立、对称轴区间约束、端点函数值符号；单根跨区间只需端点函数值异号；含参先讨论二次项系数是否为0；解集借助数轴规避边界遗漏． 【典例1】（24-25高三上·河北承德·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 易错点01 忽视不等式成立条件致错 辨析：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件． 【典例1】（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·期中）设，且，则（    ） A． B． C． D． 易错点02 忽视基本不等式应用的条件致错 辨析：（1）利用基本不等式以及变式等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件． （2）对形如的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意，同号． 【典例1】（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·山东菏泽·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点03 解分数不等式忽略分母不为零致错 辨析：解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件，防止出现增解，如． 【典例1】（2026·北京·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·北京·模拟预测）不等式的解集为_______. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·北京房山·一模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京大兴·三模）已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 3．（2026·北京·三模）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·北京·三模）已知非零实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京东城·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 9．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是____________. 10．（24-25高一上·北京·期中）当时，的最小值为________． 11．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 12．（24-25高三上·北京顺义·阶段检测）已知，，且，则的最小值为______. 13．（25-26高三上·北京·阶段检测）若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是____________. $