精品解析：重庆育才中学教共体2026-2027学年九年级上学期第二次自主作业数学试卷

重庆育才中学教共体初2027届初三（上）第二次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，，，都是有理数，是无理数． 2. 下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形，分别判断四个几何体的俯视图即可得出答案． 【详解】解：A、长方体的俯视图是矩形，故本选项符合题意； B、圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意； C、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意； D、三棱锥的俯视图是带点的三角形，故本选项不符合题意． 3. 据统计，南通某景区去年接待游客约5600000人次，将5600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，点，，在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理（在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）即可得出答案． 【详解】解：∵点，，在上，， ∴， 即的度数是． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能直接合并，计算错误． B．，计算错误． C．，计算正确； D．，计算错误． 6. 人们发现自然界中有一系列与甲烷的结构、化学性质相似的有机化合物．如图，甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，…，按照此规律，设碳原子的数目为8，则该有机化合物的化学式为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察已知化学式中碳原子数与氢原子数的数量关系，归纳出一般规律． 【详解】解：观察已知化学式：甲烷，碳原子数为1，氢原子数为． 乙烷，碳原子数为2，氢原子数为． 丙烷，碳原子数为3，氢原子数为． 当碳原子数为时，氢原子数为． 当碳原子数为8时，氢原子数为． 该有机化合物的化学式为． 7. 已知点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴此函数在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴． 8. 重庆市育才中学为宣传精品社团，如图，学校计划在一张的矩形展板上设计一幅活动宣传海报，需在展板内部划分出4个宣传文字区域（图中的阴影部分）．要求文字区域与展板左、右、下边缘的间隔以及4个文字区域之间的间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是．若要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，则根据题意可列出的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是，根据“要使整个文字区域的面积占整个版面面积的”列出方程，即可． 【详解】解：设间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是，根据题意得： ， 即． 9. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点（点在点的左边），连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质证明得，然后过点作于点，证明，根据相似三角形对应边成比例分别求出，的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵，，在矩形中，，是边上的三等分点， ∴，，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中，，，，均为非零整数．则下列说法，正确的个数为（ ） ①若，则； ②当时，该方程存在4个实数根记为，，，，若，则； ③若能被整除，则有最小值． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①令，得， 令，得， 两式相加得，故，①正确； ② 因为方程有4个实数根， 所以， 展开后常数项为，即， 已知，代入得， 故，②正确； ③ 因为能被整除， 所以当和时，， 代入得，， 两式相减得，即， 将代入，得， 因为为非零整数，该二次式开口向上，对称轴为， 当或时，取得最小值，不是，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：． 12. 若，，则代数式的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式因式分解为含已知与的形式，整体代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13. 如图，，于点，，则__________度． 【答案】35 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若的值为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合一元二次方程根与系数的关系，将变形为含两根和、两根积的表达式，代入已知值建立关于m的方程求解，同时验证方程实数根的存在性 【详解】解：∵ 方程的两个实数根为 ，∴ 根据根与系数的关系，得，， ∵ 由完全平方公式变形可得，且已知， ∴ 代入对应表达式得， 整理得 ，解得， ∵ 一元二次方程存在两个实数根的前提是判别式非负，即， ∴ 将代入验证，得，满足实数根的存在条件， ∴ m的值为． 15. 对于任意四位数，它的各个数位上的数字互不相等且千位数字最大．且它的千位数字比个位数字大，百位数字与十位数字之和为的倍数，则称这样的为“望三数”．例如四位数，因为，，且各个数位上的数字互不相等、千位最大，所以是“望三数”．则最小的“望三数”是__________；一个“望三数”，记，若能被整除，则满足条件的的最大值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“望三数”的定义，结合数位大小关系、数字互不相等、数位和的倍数要求，先推导最小的望三数；再通过化简的表达式，结合能被整除的条件，从最大千位开始逐位验证，得到满足条件的最大． 【详解】解： 首先求最小的“望三数”， ∵ 望三数为四位数，千位数字最大，且，个位， ∴ ， 当时，， ∵ 各数位数字互不相等，为最大数字， ∴ 百位、十位需小于，且不等于，即、仅可从中选取， 要使四位数最小，百位应尽可能小，取，则， 此时，是3的倍数，满足望三数的定义， ∴ 最小的望三数为． 再求满足能被9整除的最大， ∵ 是望三数， ∴ ，即， ， 将代入，得， ∵ 能被整除，是的倍数， ∴ 需为的倍数， ∵ 10除以余，因此除以的余数与除以的余数相同， ∴ 除以的余数与 除以的余数相同， 要使 是的倍数，需 是的倍数， ∵ 、为到的个位数，因此 的取值范围是到，其中的倍数为和， ∴ 或 ， 即 或 ， 要使最大，千位应尽可能大，取，则， 此时需小于，且不等于，从大到小逐一验证的取值： 时，（为两位数，无效）， 此时，不是的倍数，不满足条件， 时，（为两位数，无效）， 此时，不是的倍数，不满足条件， 时，（与重复）， 此时与重复，不满足数字互不相等的条件，排除， 时，（为负数，无效）， 此时，不是的倍数，不满足条件， 时，（为负数，无效）， 此时，不是的倍数，不满足条件， 时，（为负数，无效）， 此时与重复，不满足数字互不相等的条件，排除， 时，（为负数，无效）， 此时，不是的倍数，不满足条件， 时，（为负数，无效）， 此时，不是的倍数，不满足条件， 时，（为负数，无效）， 此时，是的倍数，数字互不相等，为最大数位，满足所有条件，对应， ∵ 当时，组成的四位数均小于， ∴ 满足条件的的最大值为． 16. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿直线翻折得，其中点在正方形内部，延长交于点，连接并延长交于点，已知，则的大小为__________（用含的式子表示）；若，则与的面积之比为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用折叠的性质和正方形性质得出，从而为等腰三角形，结合平行线性质求解的度数；设，，通过相似三角形求出点到正方形各边的距离，进而求出和的长度，最后分别计算两个三角形的面积并求比值． 【详解】解：四边形为正方形， ，． 沿翻折得到， ， ． ， ，， ． ， 设，， 则正方形边长． 如图，连接交于点，过点作于点，作于点，并反向延长交于点，则， 沿翻折得到， ，， 在中，． ， ， ． ， ． ， ， ． ，， ． ，， ， ， ，， ， ∴， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ． ． 三、解答题：（本大题共9小题，其中17题和18题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：． 【答案】无解 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到” 的原则确定不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①，， ， ， ； 解不等式②，， ， ， ， ； ∴该不等式组无解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算小括号内的加法，然后进行分式的除法运算，接着将的值化简，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 19. 学习了等腰三角形的性质后，小育进行了拓展性研究，她发现等腰三角形两腰上的高相等．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下问题： （1）第一步：确定条件并构造高． 如图，在中，已知，小育过点作交于点．请你利用尺规作图，过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）第二步：在（1）的条件下，证明，请你帮助小育完成证明． 【答案】（1）如图所示，即为所求： （2）证明：∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，以合适的长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两交点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径，在的外侧交于一点，连接这点与点，与的交点即为点； （2）根据等边对等角和高的定义，利用证明即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在“书香润校园，阅读伴成长”主题读书节活动中，我校筹备图书角奖励阅读之星．小才作为采购负责人之一，负责精装散文集与科普绘本两类图书的采购工作，已知购买3套精装散文集和2套科普绘本共花费190元；购买5套精装散文集和4套科普绘本共花费340元． （1）求购买1套精装散文集和1套科普绘本的价格是多少？ （2）学校计划追加采购一批精装散文集和科普绘本．某书店开展促销活动：精装散文集每套降价元，科普绘本每套降价元，用680元在书店购买精装散文集的数量与用340元购买科普绘本的数量相同，求的值． 【答案】（1）购买1套精装散文集的价格为40元，1套科普绘本的价格为35元 （2）的值为6 【解析】 【分析】（1）设购买1套精装散文集的价格为a元，购买1套科普绘本的价格为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意列分式方程求解即可，注意结果要检验． 【小问1详解】 解：设购买1套精装散文集的价格为a元，购买1套科普绘本的价格为b元， 根据题意，得， 解得， 答：购买1套精装散文集的价格为40元，1套科普绘本的价格为35元； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 故m的值为6． 21. 为庆祝中华人民共和国成立周年，厚植学生家国情怀，我校开展了“国史”知识问答活动，树立爱国报国的理想信念．为充分了解活动效果，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了名学生的成绩（单位：分）进行统计整理，下面给出了部分信息： 八年级，，，，，，，，，； 九年级，，，，，，，，，．（其中，且，均为正整数） a．抽取的八、九年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 众数 四分位数 八年级 九年级 b．抽取的八、九年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）上述表中__________，__________，__________，__________，并画出八年级的箱线图； （2）根据八、九年级的箱线图，你觉得哪个年级成绩更集中？请说明理由； （3）观察图中九年级学生成绩的箱线图，请直接写出和的值． 【答案】（1），，，， 八年级的箱线图如下图所示： （2）九年级学生的成绩更集中， 理由：九年级学生成绩的箱线图中箱体短，九年级学生的成绩更集中 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数、下四分位数、中位数、上四分位数的定义求出结果，根据结果画出八年级学生成绩的箱线图； （2）由箱线图可知，九年级学生成绩的箱线图中箱体短，九年级学生的成绩更集中； （3）由九年级学生的箱线图可知，九年级学生成绩的最高分是分，九年级学生成绩的众数是，从而确定、的值． 【小问1详解】 解：八年级学生的成绩中，出现次数最多的是， 八年级学生成绩的众数是； 方法一、把八年级名学生的成绩按照从小到大的顺序排列可得：，，，，，，，，，， ， 八年级学生的下四分位数是第个，即， 共有个数据， 中位数是第和第名学生成绩的平均数， ； ， 上四分位数是第名学生的成绩， ； 方法二、把八年级名学生的成绩按照从小到大的顺序排列可得：，，，，，，，，，， 共有个数据， 中位数是第和第名学生成绩的平均数， ； 中位数把名学生分成了组，每组名学生， 前名学生的成绩分别是，，，，， 前名学生的成绩的中位数是， 八年级学生的下四分位数是， 后名学生的成绩分别是，，，，， 后名学生的成绩的中位数是， 八年级学生的上四分位数是； 八年级的箱线图如下图所示： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由九年级学生成绩的箱线图可知，九年级学生成绩的最高分是分，最低分是分， 和中一定有一个， ，且，均为正整数， ， 九年级学生成绩的众数是， ． 22. 如图，在中，，，于点，为线段上一点(点不与点，重合)，连接，点，关于点成中心对称．设，点，之间的距离为，与之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，分别画出函数，的图象，并结合函数图象，直接写出当时的值(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 【答案】（1）． （2） 或． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一求出，用中心对称把表示成的两倍，再由同高三角形的面积比等于底边比写出，并结合点的位置确定自变量的取值范围； （2）在给定坐标系中分别描出折线与双曲线的关键点并连线，从两图象交点的横坐标读出所求的值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵点、关于点成中心对称， ∴． ∴． ∵与的高都是， ∴． ∵点不与点、重合， ∴． 【小问2详解】 解：图略(见答案处图形)． 由图象读出，当时或． 23. 综合与实践 【问题背景】云梯消防车如图1是常见的消防器械，在消防救援中主要用于高层建筑火灾的救援任务．某数学学习小组进行综合与实践活动——探究消防车中的数学问题． 【收集信息】图2、图3是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点、、在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．已知，．（参考数据：，，） 【问题解决】 任务： （1）如图2，求此时的长度；（结果保留到整数） （2）如图3，若伸长到最大长度26米，消防人员在云梯末端工作台点处高空救援时，云梯绕着点顺时针旋转到，过点作垂足为，过点作，垂足为，，垂足为，测得水平方向移动的距离是铅直高度升高距离的2倍（即），求到的距离．（结果保留到整数） 【答案】（1）3米 （2）30米 【解析】 【分析】（1）作于点H，根据求出米，再根据即可求解； （2）作于点H，则．证明四边形是矩形得．在中，求出米，米．设米，则米，米，米，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点H，则． 在中， ∵，米， ∴米． 在中， ∵， ∴米； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 由旋转的性质得，米， 在中， ∵， ∴米， ∴米． ∵， ∴米． 设米，则米，米，米， 在中， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴米． ∴到的距离为30米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点左方），与轴交于点，抛物线经过点，，与轴交于另一点． （1）求，的值； （2）如图1，直线与抛物线，分别交于点，，其中点在第一象限，点是直线上一动点，当线段的长度最大时，求周长的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移一定的距离得到抛物线，已知抛物线经过点，是平移后抛物线上一点，，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，待定系数法求出，的值即可； （2）将求线段的长度的最大值转化为二次函数求最值，进而求出的值，利用将军饮马模型求出周长的最小值即可； （3）根据题意，设出平移后的解析式，将坐标代入求出解析式，进而求出平移后的函数解析式，再分点在上方和下方，两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，；当时，解得， ∴， 把代入，，得 ，解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 当时，解得， ∴， 设，， ∴， ∴当时，的长度最大， ∴点在直线上， ∵的周长， ∴当最小时，的周长最小， 作点关于直线的对称点，连接，则， ∴当点在线段上时，此时，值最小，此时的周长最小，为的长， ∵，， ∴，， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴将抛物线沿射线方向平移一定的距离相当于将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位， ∵， ∴抛物线， 把，代入，得， 解得（舍去）或， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在轴上取点，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 作，则， ∵， ∴当点在射线上时，满足题意， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得（舍去）或； ∴； 以为直角顶点，构造等腰直角三角形，作轴于点，则， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴， ∴当时，； 设交轴于点，作，且，连接，作轴于点，则， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴点在射线上， ∵， ∴， ∴， 同法可得直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴； 综上：或. 25. 如图，在等边中，，将绕点逆时针旋转到，与相交于，连接． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，分别取，的中点，，连接，，延长、相交于，连接．若是等边三角形，探究：线段与线段的数量关系，并证明； （3）如图3，线段与线段相交于，在边上取点，其中，当最小时，求的面积． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： ∵等边和等边， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接，则， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，等边对等角，结合角的和差关系进行求解即可； （2）证明，得到，，延长至点，使，连接，则，证明，得到，，再证明，得到，根据三角形的中位线定理得到，即可得出结论； （3）取，的中点，，连接，，作，，，延长线交于点，易得四边形为矩形，设，利用含度角的直角三角形的性质，勾股定理求出，，进而得到，得到，进而得到当时，值最小，此时最小，得到此时，为，的中点，三线合一结合勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵等边， ∴，， ∵旋转， ∴，， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取，的中点，，连接，，作，，，延长线交于点，如图， 则，，四边形为矩形，，， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 同理，，， ∴，， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，值最小，此时最小， 此时与点重合，与点重合，即，为，的中点，如图， 则， ∴，， ∴， ∴的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初2027届初三（上）第二次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，南通某景区去年接待游客约5600000人次，将5600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 人们发现自然界中有一系列与甲烷的结构、化学性质相似的有机化合物．如图，甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，…，按照此规律，设碳原子的数目为8，则该有机化合物的化学式为( ) A. B. C. D. 7. 已知点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 重庆市育才中学为宣传精品社团，如图，学校计划在一张的矩形展板上设计一幅活动宣传海报，需在展板内部划分出4个宣传文字区域（图中的阴影部分）．要求文字区域与展板左、右、下边缘的间隔以及4个文字区域之间的间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是．若要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，则根据题意可列出的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点（点在点的左边），连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，，，，均为非零整数．则下列说法，正确的个数为（ ） ①若，则； ②当时，该方程存在4个实数根记为，，，，若，则； ③若能被整除，则有最小值． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 12. 若，，则代数式的值等于__________． 13. 如图，，于点，，则__________度． 14. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若的值为，则的值为__________． 15. 对于任意四位数，它的各个数位上的数字互不相等且千位数字最大．且它的千位数字比个位数字大，百位数字与十位数字之和为的倍数，则称这样的为“望三数”．例如四位数，因为，，且各个数位上的数字互不相等、千位最大，所以是“望三数”．则最小的“望三数”是__________；一个“望三数”，记，若能被整除，则满足条件的的最大值是__________． 16. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿直线翻折得，其中点在正方形内部，延长交于点，连接并延长交于点，已知，则的大小为__________（用含的式子表示）；若，则与的面积之比为__________． 三、解答题：（本大题共9小题，其中17题和18题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 学习了等腰三角形的性质后，小育进行了拓展性研究，她发现等腰三角形两腰上的高相等．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下问题： （1）第一步：确定条件并构造高． 如图，在中，已知，小育过点作交于点．请你利用尺规作图，过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）第二步：在（1）的条件下，证明，请你帮助小育完成证明． 20. 在“书香润校园，阅读伴成长”主题读书节活动中，我校筹备图书角奖励阅读之星．小才作为采购负责人之一，负责精装散文集与科普绘本两类图书的采购工作，已知购买3套精装散文集和2套科普绘本共花费190元；购买5套精装散文集和4套科普绘本共花费340元． （1）求购买1套精装散文集和1套科普绘本的价格是多少？ （2）学校计划追加采购一批精装散文集和科普绘本．某书店开展促销活动：精装散文集每套降价元，科普绘本每套降价元，用680元在书店购买精装散文集的数量与用340元购买科普绘本的数量相同，求的值． 21. 为庆祝中华人民共和国成立周年，厚植学生家国情怀，我校开展了“国史”知识问答活动，树立爱国报国的理想信念．为充分了解活动效果，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了名学生的成绩（单位：分）进行统计整理，下面给出了部分信息： 八年级，，，，，，，，，； 九年级，，，，，，，，，．（其中，且，均为正整数） a．抽取的八、九年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 众数 四分位数 八年级 九年级 b．抽取的八、九年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）上述表中__________，__________，__________，__________，并画出八年级的箱线图； （2）根据八、九年级的箱线图，你觉得哪个年级成绩更集中？请说明理由； （3）观察图中九年级学生成绩的箱线图，请直接写出和的值． 22. 如图，在中，，，于点，为线段上一点(点不与点，重合)，连接，点，关于点成中心对称．设，点，之间的距离为，与之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，分别画出函数，的图象，并结合函数图象，直接写出当时的值(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 23. 综合与实践 【问题背景】云梯消防车如图1是常见的消防器械，在消防救援中主要用于高层建筑火灾的救援任务．某数学学习小组进行综合与实践活动——探究消防车中的数学问题． 【收集信息】图2、图3是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点、、在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．已知，．（参考数据：，，） 【问题解决】 任务： （1）如图2，求此时的长度；（结果保留到整数） （2）如图3，若伸长到最大长度26米，消防人员在云梯末端工作台点处高空救援时，云梯绕着点顺时针旋转到，过点作垂足为，过点作，垂足为，，垂足为，测得水平方向移动的距离是铅直高度升高距离的2倍（即），求到的距离．（结果保留到整数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点左方），与轴交于点，抛物线经过点，，与轴交于另一点． （1）求，的值； （2）如图1，直线与抛物线，分别交于点，，其中点在第一象限，点是直线上一动点，当线段的长度最大时，求周长的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移一定的距离得到抛物线，已知抛物线经过点，是平移后抛物线上一点，，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 25. 如图，在等边中，，将绕点逆时针旋转到，与相交于，连接． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，分别取，的中点，，连接，，延长、相交于，连接．若是等边三角形，探究：线段与线段的数量关系，并证明； （3）如图3，线段与线段相交于，在边上取点，其中，当最小时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $