精品解析：湖南衡阳市衡阳县第四中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

衡阳县四中2026年下学期期中考试 高二数学试题卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 2. 函数f（x）=的定义域为 A. （0，+∞） B. [0，+∞） C. （1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【分析】要使原函数有意义，需满足x–1>0，解之即可. 【详解】要使原函数有意义，需满足x–1>0，解得x>1．∴函数f（x）=的定义域为（1，+∞）． 故选C． 【点睛】本题考查函数定义域的求法，属基础题. 3. 复数的模（ ） A. 7 B. 5 C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【详解】，. 4. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，则. 5. 空间向量的模 （ ） A. 5 B. 7 C. 12 D. 25 【答案】A 【解析】 【详解】，. 6. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得. 7. 直线 与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较，确定选项. 【详解】 圆心为，半径为， ， 直线与圆相交. 8. 直线与垂直，则 a =（ ） A. 2 B. C. −2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用公式求解. 【详解】，， ，， 因为，所以， 即，解得. 二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分） 9. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，易知在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确， 对于B，由指数函数的性质知在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确， 对于C，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以C正确， 对于D，易知在区间上单调递减，所以D错误. 10. 关于平面向量，，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为，， 所以，，，故ABC正确； 因为，所以不成立，故D错误. 11. 圆 ，则（ ） A. 圆心为 B. 半径为 3 C. 点在圆外 D. 直线 被圆截得的弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】配方化为标准方程，直接读出圆心和半径，判断 A、B；将点代入圆的标准方程比较大小，判定点和圆位置，判断 C；算出圆心到直线的距离，结合半径，用弦长公式计算. 【详解】A项：由，得，得圆心为 ，半径 ，正确； B项：半径 正确； C项：把点 代入得，所以点 在圆内，错误； D项：圆心 到直线 的距离为，由弦长公式得，正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的零点为 ______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点定义直接求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的零点为. 13. 已知 = (1, 2)，= (3, −1)，则 |2− | = ______________. 【答案】 【解析】 【详解】由= (1, 2)，= (3, −1)，得，故. 14. 圆上的点到直线的距离的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【详解】圆可化为， 故圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 根据圆的性质可知，圆上的点到直线的距离的最大值为. 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，，则. 【小问2详解】 因为，，则. 【小问3详解】 由空间向量的模长公式可得. 16. 已知直线过点，且与直线平行. （1）求直线的方程（化为一般式）； （2）求直线与轴、轴的交点坐标. 【答案】（1）； （2）与轴交点为 ，与轴交点为. 【解析】 【分析】（1）由于直线的斜率，由点斜式可得直线的方程并转化为一般式即可； （2）令与即可. 【小问1详解】 直线的斜率， 由点斜式可得，得； 【小问2详解】 令可得与轴交点为 ， 令与轴交点为. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角B的大小； （2）求边c的长度； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理解三角形即可； （2）根据（1）结论，求出角，确定三角形形状，进而勾股定理解三角形即可； （3）根据三角形面积公式，求出结果. 【小问1详解】 由正弦定理得，解得. 因为，所以，故. 【小问2详解】 ，所以为直角三角形， 由勾股定理得. 【小问3详解】 可知，可得. 18. 已知直线 和圆 . （1）求圆心到直线的距离； （2）判断直线与圆的位置关系； （3）若相交，求弦长；若不相交，说明理由. 【答案】（1） （2）相交 （3）相交，且弦长 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解即可； （2）利用几何法判断即可； （3）判断出直线与圆相交，再利用勾股定理可求得弦长. 【小问1详解】 圆的圆心为，故圆心到直线的距离为. 【小问2详解】 圆的半径为，结合（1）知，所以直线与圆相交. 【小问3详解】 由（2）可知，直线与圆相交，且弦长为. 19. 如图，在直三棱柱中，，，． （1）请建立适当的空间直角坐标系，并写出 A， B，，的坐标； （2）求平面的一个法向量； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，，，，； （2）平面的一个法向量为（答案不唯一）； （3）直线与平面所成角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）以C为原点，依托直三棱柱两两垂直的棱建立空间直角坐标系，直接写出对应点坐标； （2）取出平面内两个向量，设法向量，利用法向量与平面内向量垂直列方程求解得到平面的一个法向量； （3）求出直线方向向量，套用线面角向量公式，用方向向量与平面法向量的夹角算出线面角的正弦值． 【小问1详解】 在直三棱柱中，，，， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 【小问2详解】 ，设平面的法向量为， 则，令，则． 【小问3详解】 ，设直线与平面所成角为，则． 20. 已知圆C过点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的切线，求切线方程； （3）若过点Q的直线被圆C截得的弦长为，求该直线的方程. 【答案】（1） （2）和 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质和两点之间的距离公式，求出圆心坐标，写出标准方程； （2）根据切线到圆心的距离等于半径，设出直线的点斜式方程，求出斜率，求出结果即可； （3）根据圆的弦长公式，求出圆心到直线的距离，进而求出直线斜率，写出直线方程. 【小问1详解】 设圆心，由得，解得， 所以圆心，，圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知圆心，半径为， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线，即， 由，化简得，解得， 所以切线为和. 【小问3详解】 由（1）知圆心，半径为， 已知弦长，则圆心到直线距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 此时圆心到直线距离为， 化简得，解得， 则直线为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2026年下学期期中考试 高二数学试题卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数f（x）=的定义域为 A. （0，+∞） B. [0，+∞） C. （1，+∞） D. [1，+∞） 3. 复数的模（ ） A. 7 B. 5 C. 25 D. 4. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 空间向量的模 （ ） A. 5 B. 7 C. 12 D. 25 6. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线 与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 8. 直线与垂直，则 a =（ ） A. 2 B. C. −2 D. 二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分） 9. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于平面向量，，正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 圆 ，则（ ） A. 圆心为 B. 半径为 3 C. 点在圆外 D. 直线 被圆截得的弦长为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的零点为 ______________. 13. 已知 = (1, 2)，= (3, −1)，则 |2− | = ______________. 14. 圆上的点到直线的距离的最大值为________. 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 16. 已知直线过点，且与直线平行. （1）求直线的方程（化为一般式）； （2）求直线与轴、轴的交点坐标. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角B的大小； （2）求边c的长度； （3）求的面积. 18. 已知直线 和圆 . （1）求圆心到直线的距离； （2）判断直线与圆的位置关系； （3）若相交，求弦长；若不相交，说明理由. 19. 如图，在直三棱柱中，，，． （1）请建立适当的空间直角坐标系，并写出 A， B，，的坐标； （2）求平面的一个法向量； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知圆C过点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的切线，求切线方程； （3）若过点Q的直线被圆C截得的弦长为，求该直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $