湖南省泸溪县第一中学 、二中等校联考2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

数学参考答案与评分意见（一） 1.B【解析】由题意，圆锥的母线1=5，高h=4,所以底面半径r=√-h=√52-4平=3，所以圆锥的体积V=3 1 r2h=3r×32X4=12x.故选B. 2.D【解析】设点B的坐标为(x,y,z),又A(1,2,2),则AB=(x-1,y-2,之-2)=(2，-1,2)， 所以x-1=2,y一2=-1，之-2=2，解得x=3,y=1,之=4.所以点B的坐标为(3,1,4).故选D. 3.A【解析】由题意，得AB+AD=AC,BC1=AD1,所以AB+AD-BC1=AC-AD1=D1C.故选A. 4C【解折]因为x,所以号名-石解得a=4,6-2,所以a-6-2放适心 5.B【解析】对于A,a-（a-b)=b,故A错误； 对于B,不存在x,y∈R,使得c=x(a十b)十y(a-b),故B正确； 对于C,a十b十c-a=b十c,故C错误； 对于D,2(a+2b)+c一2a=4b十c,故D错误.故选B. 6.A【解析】由a·u=2×1十5×1+7×(-1)=0，得a⊥w,所以l∥a或lCa.故选A. 7D【解折们当正三接柱的高为4时，V:-9×(侣)×4-5， 当正三传杜的商为2时，V:a=×(台)×？-8放选D 8.C【解析】以点A为坐标原点，AB,AC,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),C1(0,2,2),A1(0,0,2),C(0,2,0) 6 设点M(x,y,),所以B1M=(x-2,y,之-2)，C1B=(2,-2,-2). 因为B1M⊥C1B,所以B1M.C1B=2(x-2)-2y-2(x-2)=0,即x-y-之=0. 对于A,当点M是线段BC的中点D时，点M的坐标为(1,1,0)，显然满足x一y-之=0，故A正确. 对于B,连接AB1,DB1.因为AB1=(2,0,2),DB1=(1,-1,2),CB1=(2,-2,2), 所以AB1·C1B=4-4=0,DB1·C1B=2+2-4=0,所以AB1⊥C1B,DB1⊥C1B. 又因为DB1∩AB1=B1,DB1,AB1C平面AB1D, 所以C1B⊥平面AB,D.则△AB,D的三边（除点B1)就是M的轨迹. 因为AB=公+=2，AD=号BC=号×VE+=E, ②数学答案（一）第1页（共8页） BD=B+D=J2+合×2 2 =√6，所以△AB1D的周长为3√2十√6，故B正确. 对于C,假设存在点M,使得点B到平面MAB,的距离为3，一 AM=(x,y,z),B1M=(x-2,y,之-2)，设平面MAB1的法向量为n=(x1y1,21), n·AM=0,1xx1+yy1+z之1=0， 则 即 n·B1M=0,(x-2)x1+yy1+(z-2)z1=0, 取x1=1,因为x一y一之=0，所以当y≠0时，则1=-1，y1=一1， 当y=0时，得x1=-1,y1∈[0,2]. 当n=(1,-1,-1)时，因为AB=(2,0,0), 所以点B到平面MAB,的距离为A店n×A蓝=A店.m-百X225≠5 AB 31 -3 当n=(1,y1,一1)时， 点B到平面MAB,的距离为A京m×A=A京.nl-。 nV1++7-3,解得y=士10g[0,21. 2 =3 AB 所以不存在点M,使得点B到平面MAB,的距离为，放C错误。 对于D,任意点M￠平面ABB1A1,此时y≠0，所以n=(1,一1，一1).又因为A1C=(0,2,一2)， 所以A1C·n=-2+2=0,A1C中平面MAB1,所以都有A1C∥平面MAB1,故D正确.故选C. 9.ABD【解析】由斜二测画法规则得AB=A1B1,OC=2O1C1, SacC0,B,sin 4s' 2=8,故A,B,D正确。 在△A1O1C1中，O1A1=1,O1C1= 2∠A01C=135°， 由余弦定理，得A1C1=12+ 3 2X1X3 )6故C错误故选ABD. 2 2 10.ACD【解析】对于A,因为AB⊥平面BB1C1C,BC1C平面BB1C1C,所以AB⊥BC D 所以四边形ABC1D1为矩形，面积为AB|·BC1,故A正确. 对于B,因为△ACD1是等边三角形，所以∠AD1C=60°， 又因为AB∥D1C,所以异面直线AD1与A1B所成的角为60°， 由图，得向量AD1与A1B的夹角为120°，故B错误. 对于C,由向量加法的运算法则，得AA+A1D+A1B1=AC. 因为AC=3A1B,所以(AA1十A1D1十A1B1)2=3A1B12,故C正确， 对于D,易得A1B1一A1D1=D1B1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1B1⊥平面AA1C1C, 又因为A1CC平面AA1C1C,故D1B1⊥A1C,所以A1C·D1B1=0,故D正确.故选ACD. ②数学答案（一）第2页（共8页） 11.ABD【解析】以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐 标系. D E以--1 D 对于A10,0,o0,2)r1,2)c0,1D,则应-（-1,0，)元-（1,0，) 由于A立=FC,则AE∥FC1,所以A,E,F,C1四点共面，故A正确. 对于B,由正方体的性质，得A,B1⊥平面ADD1A1, 所以AB1在平面ADD1A1上的投影向量为AA1,故B正确. 对于C,因为A1(1,0,1),B1(1,1,1),所以AB1=(0,1,1).设平面AB1E的法向量为m=(x,y,2), 1 m·A它=-x+2之=0， 则 令x=1,则y=-2,2=2,所以m=(1,-2,2). m·AB1=y+之=0， 因为A,=00,D,所以点A到平面AB,E的距离为AA口一放C错提 m 对于D,因为B应-（-1，-1，-)A,E=01,0),所以A,日·B应=-1， 13 B1=1+1+4=2 A 所以点A1到直线BE的距离为 A1B12 A--（-停放D确故选AD BE 12.-3【解析】向量a=(x,1,-2),由|a|=√x2+12+(-2)7=√5，解得x=0, 则a=(0,1,-2).又因为b=(2,1,2),所以a·b=0×2+1×1+(-2)×2=-3. 13./0.25【解析】在三棱锥P-ABC中，：AB=BC=2,AC=22,.BALBC.. PB⊥平面ABC,AB,BCC平面ABC,.PB⊥AB,PB⊥BC. 以点B为坐标原点，BA,BC,BP所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0). ②数学答案（一）第3页（共8页） BM=√2，MN=√6，∴.BN=√MN2-BM=2,∴PB=4,则P(0,0,4). i设Bd-X,且0<1，则Q2x,0,0,P=1,1,-40,Cd=(2x,-2,0 BA ∴PM.CQ=1X2x+1×(-2)+(-4)×0=2x-2, |PM|=√/12+12+(-4)2=3√2，|C0=√/42+4. 异面直线PM与CQ所成角的余弦值为5， :1P.c “爱舞--合 1BQ1-1 BA 4 14 3 【解析】在长方体ABCD一A1B1C1D1中，以点A为坐标原点， AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系. D C B D C 设BE=m,DF=n(m>0,n>0且m,n不同时为0)， 则A(0,0,0),E(1,0,m),F(0,1,n),所以AE=(1,0,m),AF=(0,1,n). u·AE=x十mz=0, 设平面AEF的法向量为u=(x,y,之)，则 w·AF=y+nz=0, 令之=1，则x=-m,y=-n,所以u=(-m,-n,1). 易得v=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量. 因为平面AEF与平面ABC夹角的大小为30°， 所以cos30°=cos,)= 1 1 wv√m2+n2+1 2√m2+n2+1 化简得m2+n2=子 所以m=√后所以当=0时，m取得大值，为停 15.证明：(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点， 所以GH∥B1C1,…1分 在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为BC∥B1C1,所以GH∥BC. 所以B,C,G,H四点共面。…3分 在三棱柱ABC-A1B1C1中，G是A1B1的中点，E是AB的中点， 所以A1G∥EB,A1G=EB,故四边形A1EBG为平行四边形. 所以A1E∥BG.…5分 又因为A1E丈平面BCHG,BGC平面BCHG, ②数学答案（一）第4页（共8页） 所以A1E∥平面BCHG.… …7分 (2)因为E,F分别是AB,AC的中点，所以EF∥BC.… …8分 又因为EF中平面BCHG,BCC平面BCHG, 所以EF∥平面BCHG.…I0分 由(1)得A,E∥平面BCHG,又A,E∩EF=E,A,E,EFC平面A1EF, 所以平面A1EF∥平面BCHG.…………13分 16.解：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C,D1中，AC=AA+AC=AA+AC=AA+A店+AD,…2分 则|AC|=√J(AA1+AB+AD)2=√AA12+AB2+AD2+2AA1·AB+2AB·AD+2AA1·AD =16+4+4+44×2】 =2WZ.… …5分 (2)由题意，得BD1=BD十DD1=AD-AB十AA,…7分 则|BD1|=√(AD-AB+AA1)2=√AD2+AB2+AA12-2AD·AB-2AB·AA1+2AD·AA1 =√16+4十4=2W6, AC=AB十AD,AC=22.…10分 所以BD1·AC=(AD-AB+AA)·(AB+AD)=AD2-AB2+AA1·AB+AA1·AD =2×4×2× 8.……… …13分 则BD1与AC所成角的余弦值为|cos(BD1,AC)|= |BD1·AC 8 3 IBD1IAC|2√6X223 、所以异面直线BD1与AC所成角的余弦值为3， …15分 1.(I)解：因为E,F分别是0A,AB的中点，所以EF∥0B且EF-0B, 所以EF号B)b, …………2分 因为F,G分别是AB,C的中点，所以FG∥AC且FG=号AC, 所以rG-a-ooi-a …5分 (2)证明：①设正四面体的棱长为a, 则由题意，得向量ab,c两两之间的夹角均为，且a=b=c=a.…7分 ②数学答案（一）第5页（共8页） 所以ab=a·bcos背-aXa×号-g,同理，ac-6·c= a" 2 所以时.F元=b·2e-a)=6c-a6)=0, 所以EF⊥FG,故EF⊥FG.… …10分 ②由题意，得底=0心-0正=号0i+0d-0=号6+。-a). Ei=0i-0i=2(0C-0A)=)(c-a）… 13分 又因为E庐=2b,所以EG=E京+Ei. 所以E,F,G,H四点共面.…15分 18.(1)证明：因为在正方形ABCD中，E,F分别为AB,AD的中点， 所以EF∥BD.又因为AC⊥BD.所以AC⊥EF,GC⊥EF.… …1分 又因为GCC平面EFDCB,平面A1EF⊥平面EFDCB,平面A1EF∩平面EFDCB=EF, 所以GC⊥平面A1EF.…3分 又因为GCC平面AGC,所以平面A1GC⊥平面AEF.…4分 (2)解：由题意，得GE,GC,GA1两两垂直，所以，以G为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图. …6分 所以a正-，-号小 …7分 由(1)得，GC= 是平面A1EF的一个法向量.… …8分 设平面A1EB的法向量为n=(x,y,之)， 2√2 A1E·n=0, 2- 22=0, 则 即 EB.n=0, 令x=1,则y=-1,z=1,所以n=(1,-1,1). 32 所以cos(GC,n)= GC.n 2 √3 TGCIIml 32x3 3· ………10分 2 ②数学答案（一）第6页（共8页） 由图可知所求二面角的平面角为钝角， 所以二面角F一A,一EB的余弦值为- 3 11分 (3)解：设A1M=入A1C(0≤λ≤1)， 2入 …14分 若Fw/平面A,EB,则·成-0脚竖是+侣 =E-2=0,解得X= 所以存在点M,使FM∥平面A1EB,此 A A,C的值为2 …17分 19.(1)证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点， 所以BC⊥AC.… …1分 又因为平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,BCC平面ABC, 所以BC⊥平面PAC.…4分 (2)解：因为E,F分别是PC,PB的中点，所以BC∥EF.…5分 由(1)得，BC⊥平面PAC. 又因为AEC平面PAC,所以BC⊥AE,所以EF⊥AE, 所以在Rt△AFE中，∠AFE即为异面直线AF与BC所成的角.…6分 因为异面直线AF与BC所成角的正切值为， 2 ,即AEg 所以tan∠AFE=3, …7分 又因为EFC平面AEF,BC中平面AEF,所以BC∥平面AEF. 因为BCC平面ABC,平面EFA∩平面ABC=L,所以BC∥L, 所以在平面ABC中，过点A作BC的平行线即为直线L. …8分 以点C为坐标原点，CA,CB所在的直线分别为x轴，y轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为之轴，建立如 图所示的空间直角坐标系. 因为AC=2,所以AE=3,EF=2. 因为E,F分别是PC,PB的中点，所以BC=2EF=4. 则A20,0B040P1.0.E号0.}，r日2，} …10分 ②数学答案（一）第7页（共8页） 所以a正-(-2o}6-o,2.o0. 因为BC∥l,所以设Q(2,t,0).……11分 设平面AEF的法向量为m=(x,y,之)， 应m=号--… 则 E京.m=2y=0, 取x=1,则y=0,之=√3，所以m=(1,0,W3).…13分 又因为P=(1,t,-3),则|cos(P攻，m)= 离4n …15分 设直线PQ与平面AEF所成的角为0，则sin0= a引 所以直线PQ与平面AEF所成角的政值范围为(0，】 ………………………………………17分 ②数学答案（一）第8页（共8页）数学试题（一） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为 A.9x B.12x C.16x D.20x 2.已知点A(1,2,2),若向量AB=(2,-1,2),则点B的坐标为 A（-3,-1,4) B.(1,-3,0) C.(-1,3,0) D.(3,1,4) 3.在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，AB+AD-BC= A.DC B.CD c.AC, D.C,A 4.已知向量x=(-1,2,1),y=（-2,a,b),若x∥y,则a-b= A.6 B.8 C.2 D.-2 5若{a,b,c)构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是 A.(a,a-b,b) B.ia+b,a-b,c) C.a+b,c-a.b+c} D.{a+2b,c-2a,4b+c) 6.若直线1的一个方向向量为a=(2,5,7),平面a的一个法向量为4=(1,1，一1)，则 Al∥a或lCa B.l⊥a C.lCa D.L与a斜交 7.已知正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则它的体积为 A 吗 43 ⑦②数学试题（一）第1页（共4页） 8在直三棱柱ABC-A,B1C,中，AA,=AB=AC=2,AB⊥AC,点M在三棱柱的表面上 运动，且满足B,M⊥C,B,则下列结论错误的是 A点M可以是线段BC的中点 B.点M的轨迹长度为32+6 C存在点M,使得点B到平面MAB,的更离为号 可 D.任意点M任平面ABB1A1,都有A,C∥平面MAB 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下图是边长为2的正三角形ABC及其直观图，下列结论正确的是 A.AB=AB B.OC=201C1 C.A1C1=2 D.△C,0,B,的面积S=5 8 10.在正方体ABCD一A,B,C1D,中，下列结论正确的是 A.四边形ABC,D,的面积为|AB|IBC|B.AD,与A:B的夹角为60° C.(AAI+AD:+AB)=3AB D.AC.(A:B:-A:D:)=0 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD一A:B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段 BB1的中点，则 AA,E,F,C1四点共面 B.AB1在平面ADD1A1上的投影向量为AA C.点A1到平面AB,E的距离为5 D点A:到直线B,E的距离为气 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(x,1,-2),b=(2,1,2),a|=5,则a·b= 13.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,AC=22,PB⊥平面ABC,点M,N分别为AC, PB的中点，MN=√6，Q为线段AB上的点，使得异面直线PM与CQ所成角的余弦值 为 B1为 BA ①②数学试题（一）第2页（共4页） 14,如图，在长方体ABCD-A,B,C,D1中，AB=AD=1,AA1>AB,E,F分别是侧棱 BB1,DD,上的动点，且平面AEF与平面ABC夹角的大小为30°，则线段BE的长的最 大值为 D C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别是棱AB,AC,A,B1,A1C 的中点 (1)证明：A:E∥平面BCHG; (2)证明：平面EFA,∥平面BCHG. 16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-一A,B,C1D,中，底面ABCD是边长为2的正方形， 侧棱AA1的长为4，且∠A1AB=∠A1AD=120°. (1)求AC,的长： (2)求异面直线BD,与AC所成角的余弦值. ®②数学试题（一）第3页（共4页） 17.(15分)如图，在正四面体OABC中，E,F,G,H分别是OA,AB,BC,OC的中点.设 OA=a,OB=b,OC=c. 8 (1)用a,b,c表示E京，FG (2)用向量方法证明， ①EF⊥FG; 可 ②E,F,G,H四点共面 18.(17分)如图，正方形ABCD的边长为2，E,F分别为AB,AD的中点，AC与EF交于 点G,将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A,EF⊥平面EFDCB (1)求证：平面A,GC⊥平面A,EF. (2)求二面角F一A1E一B的余弦值. (③)线段A,C上是否存在点M,使FM∥平面A,EB?若存在，求出公C的值：若不存 在，说明理由. 19.(17分)如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点，平面PAC⊥平面ABC, △PAC是边长为2的正三角形， (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)若点E,F分别是PC,PB的中点，且异面直线AP与BC所成角的正切值为号，记 平面AEF与平面ABC的交线为直线1，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF 所成角的取值范围。 ①②数学试题（一）第4页（共4页）