湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期期中自编模拟数学试题

湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期期中自编模拟试卷 数学试题 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（） A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 【答案】D 【解析】由，，得或， 故A错误. 由，，得，或， 故B错误. 由，，得或与相交， 故C错误. 设直线方向向量为，平面，的法向量分别为，， 因为， 所以，又， 所以， 从而， 故，D正确. 故选：D. 2.在如图所示的试验装置中，有两个边长为的正方形框架，它们所在的平面互相垂直.有一个活动弹子在正方形的对角线上移动，运动过程中弹子到直线的距离的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得，设，其中. ，取直线的单位方向向量，得，点到直线的距离满足. 代入得，化简整理得. 由二次函数单调性得，当时，取得最小值. 故选：A. 3.如图，在中，，，，以为直径作，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，，，得， 故，. 在中，， 因为， 故是等腰直角三角形，，得. 在上截取，连接， 由得是等腰直角三角形，，结合，得. 作于点，延长交于点， 由得， 故， 代入得， 解得， 故. 作交的延长线于点， 由得是等腰直角三角形，，又， 故的最大值等价于的最大值. 是上点到直线的距离， 故的最大值为， 代入得的最大值为. 故选：C. 4.在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】点关于轴的对称点的坐标为，由题意得反射光线所在直线即为直线. 计算得，由点斜式得直线的方程为，整理得，即反射光线所在直线方程为. 故选：A. 5.点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆. . 可看作点到点的距离的平方. 圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点. 直线的斜率，方程为. 联立. 解得.舍去后者. 当时，取得最大值，且. 计算得，即. 因此. . 由均值不等式，，故. 当且仅当且，即时等号成立. 故选：. 6.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，，，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， 由题意得，，. ，，. ， 代入数值计算得. 故选：C. 7.已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】向量在上的投影向量为， 由，是夹角为的单位向量，得，. 计算得， 代入化简得投影向量为. 故选：A. 8.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设， 代入椭圆的方程得，两式作差得. 的中点坐标为， 故，，直线过右焦点， 故斜率. 将上述结果代入作差后的等式， 化简得，结合，联立解得，， 故椭圆的方程为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在平行六面体中，，．则（） A. B.的长为 C.平面 D. 【答案】AC 【解析】， 故A正确. ，， 代入已知条件得， 故，B错误. ，，展开化简得， 故. ，，展开化简得， 故. 结合，平面， 故平面，C正确. ，，， 故，D错误. 故选：AC. 10.直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】设直线经过点,且在两坐标轴上的截距绝对值相等. 当直线在两坐标轴上的截距为零时，直线经过原点，因此可设直线方程为. 将点代入得,所以直线方程为,即,选项A正确. 当截距不为零时，设直线方程为,由题意得,且点在直线上，代入得方程:结合,分两种情况讨论: 若,则方程变为,解得,所以,此时直线方程为,化简得,选项D正确. 若,则方程变为,解得,所以,此时直线方程为,化简得,选项D再次验证正确. 若,,则直线方程为,化简得,即,选项C正确. 综上所述，直线l的方程可能是、或,故选项ACD正确. 11.已知椭圆的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，点关于原点对称的点为，则（） A.椭圆的离心率为 B. C.点的纵坐标满足 D. 【答案】ACD 【解析】由椭圆方程得，由焦点坐标得，计算得，即，故离心率，A正确. 由椭圆定义得，在中，由余弦定理得，代入得，解得，故B错误. 由面积公式得，整理得，故C正确. 设，代入椭圆方程得，计算得，由与关于原点对称得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为                   ． 【答案】 【解析】连接， 由是中点，是中点，得，，结合，， 故且. 四边形为平行四边形， 从而， 故（或其补角）为异面直线和所成角. 设正方体棱长为，则，， 计算得，，. 在中， 由余弦定理得. 故答案为：. 13.已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有                   条. 【答案】 【解析】直线的方程可化为,由得, 即直线过定点. 由, 故点在圆内. 圆心,点到的距离,当点为弦中点时弦长最短,最短弦长为； 最长弦为直径,长度为, 故弦长取值范围为. 因, 故整数弦长为.弦长为的直线各条,弦长为的直线条,共. 14.已知点，为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为                    【答案】 【解析】由椭圆定义得，，结合， 由余弦定理展开得， 化简得. 计算得. 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 由正弦定理得， 整理得. 的周长为， 由等面积法得， 化简得. 由题意得， 故， 代入得， 整理得， 从而离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】(1) 解：圆心在直线上，设圆心坐标为， 由得， 两边平方化简得，故圆心为， 计算得半径， 因此圆的标准方程为. (2) 解：当切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到该直线的距离为，符合切线条件. 当切线斜率存在时，设切线方程为，整理得， 由圆心到切线的距离等于半径得，解得， 整理得切线方程为， 综上，所求切线方程为或. 16.已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求切线长的最小值及此时四边形的面积. 【答案】(1) 解：设圆的圆心为，半径为，由题意得，解得，，，故圆的方程为. (2) 解：由切线性质得， 故最小时取得最小值. 的最小值为圆心到直线的距离， 计算得，由此可得的最小值为. 四边形的面积，结合，， 化简得，代入得此时四边形的面积为. 17.如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. (1) 求证：； (2) 求直线与平面所成角的正弦值； (3) 若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 【答案】(1) 证明：由，为中点，得，由，得. 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故. (2) 解：以为原点，直线分别为轴，垂直平面方向为轴建立空间直角坐标系，得，，，，由此得，，. 设平面的法向量为，由，得，解得，取得，即. 设直线与平面所成角为，则. (3) 解：由已知得，，设，其中，得. 平面的法向量为，设平面的法向量为，由，取，得. 由二面角的余弦值为，得，两边平方整理得，解得舍去），故当为线段靠近的三等分点时满足条件. 18.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：为坐标原点）为定值. 【答案】(1) 解：抛物线的焦点为，椭圆的半焦距. 由，得，， 故椭圆的方程为. (2) 证明：直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，. 联立，整理得. 由，得. 设，. 由韦达定理得. . 由此得，. ，故为定值. 19.如图1，在平面四边形中，，．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的三棱锥． (1) 证明：． (2) 当点到平面的距离最大时，求三棱锥外接球的表面积． (3) 当时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 证明：折叠后得，，，故. 延长，过作交延长线于，连接，得，由，平面，得平面，又平面，故. (2) 解：当点到平面的距离最大时，平面平面，结合平面平面，平面，，得平面，故，计算得. 设为中点，为的外心，为的外心，为三棱锥外接球的球心，连接得，，连接得平面，平面. 由，得四边形是正方形，设，外接圆半径为，由正弦定理得，故，得，，故，外接球半径满足，故外接球的表面积为. (3) 解：当时，，故. 在内，过作交于，得是平面与平面的夹角（或其补角），计算得，在中，，，故. 在中，，故，在中，，故平面与平面夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期期中自编模拟试卷 数学试题 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（） A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 2.在如图所示的试验装置中，有两个边长为的正方形框架，它们所在的平面互相垂直.有一个活动弹子在正方形的对角线上移动，运动过程中弹子到直线的距离的最小值为（） A. B. C. D. 3.如图，在中，，，，以为直径作，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是（） A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（） A. B. C. D. 5.点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（） A. B. C. D. 6.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，，，则的长为（） A. B. C. D. 7.已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（） A. B. C. D. 8.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在平行六面体中，，．则（） A. B.的长为 C.平面 D. 10.直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 11.已知椭圆的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，点关于原点对称的点为，则（） A.椭圆的离心率为 B. C.点的纵坐标满足 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为                   ． 13.已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有                   条. 14.已知点，为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为                    四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 16.已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求切线长的最小值及此时四边形的面积. 17.如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. (1) 求证：； (2) 求直线与平面所成角的正弦值； (3) 若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 18.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：为坐标原点）为定值. 19.如图1，在平面四边形中，，．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的三棱锥． (1) 证明：． (2) 当点到平面的距离最大时，求三棱锥外接球的表面积． (3) 当时，求平面与平面夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $