广西贵港市平南县教研联盟2026-2027学年高二上学期期中自主练习检测数学试题

2026年秋季学期期中自主练习检测 高二数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.样本数据2,3,1,5,4,6的中位数是() A.1 B.3 C.4 D.3.5 2.设集合A={x|x2-2x-3=0},B={-3,-1,1,3},则A∩B=() A.{-3,1} B.{-13} C.{-1,-3} D.{1,3} 3.已知双曲线活后1止一点P与它个焦点的超离等于1，那么点P图阴一个车点的E腐等 于() A.-15 B.16 C.17 D.-15或者17 4.在边长为2的等边三角形△ABC中，AB·BC的值为() A.-2 B.1 C.2 D.1 5.“1og3x>1”的充分不必要条件可能是（) A.x>1 B.x≥1 C.x<3 D.5<x<6 6.在△ABC中，下列关系成立的是（) A.cos4+B=co B.sin+=sin 2 2 2 2 C.cos(4+B)=cos C D.sin(4+B)=sin C 7.已知定义在R上的函数g(x)=f(x)+3是奇函数，且满足fI)=-2,则f(-1)=() A.4 B.2 C.-4 D.-2 8。已知气，5分别是椭圆C:等+茶-1a>6~0的左，右焦点，稀圆C上存在点P,使∠FP际 .y2 为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是 A. B.5 c. D. 高二数学第1页共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对于复数乙，=a+bi(a、b∈R),z2=c+di(c、d∈R),下列说法正确的是（) A.若z,在复平面内对应的点位于第二象限，则a<0,b>0 B.若z、z2互为共轭复数，则a-c=0,b+d=0 C.若z2是纯虚数，则c=0 D.z,z2是实数的充要条件是ad+bc=0 若tana三。，则角a的终边上某一点的坐标可 A.(3,4) B.(4,3) C.(6,8) D.(3a,4a）(a≠0) 11.已知圆C:x2+y2-2x=0与直线1：mx-2y+1-m=0相交于A、B两点，则下列说法正确 的是( ) A,直线1恒过定点0，分) B.经过点P(2,-5)的圆C的切线方程是12x+5y+1=0 C.若化，)是圆C内一动点，则+2∈(0,5UW5,四) x-1 D.相交弦AB的最小长度是√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数的y=lg(x2+x-2)单调递增区间是 13.将8个半径为1实心铁球溶化成一个大圆球，则这个大圆球的半径是 14.已知直线2mx+3y-2m+3=0过定点A,且点A在直线1：ax-2by=1(a>0,b>0)上，则 1+2的最小值是 a b 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B=(2c-b)cosA. (1)求角A的大小； (2)若△MBC的面积为35，且b-c=1,求a的值. 2 高二数学第2页共4页 16.(本小题满分15分) 某汽车制造公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销 售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位：百万元）内，现将其 分成5组，第1至5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制 出如下的频率分布直方图， (1)求a的值，并计算完成年度任务的人数； (2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数： (3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖 励的2名销售员在同一组的概率. 频率 组距 0.09… 0.08 0.02 2610141822完成销售额/百万元 17.(本小题满分15分) 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0. (1)若直线x+y+1=0与圆C交于两点A(x,y人B(x2,y2),求xy2+x2y的值 (2)是否存在斜率为1的直线1，使得以1被圆C所截得弦DE为直径的圆经过原点？若存在， 写出直线1的方程，若不存在，说明理由. 高二数学第3页共4页 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB/CD,且CD=2,AB=1,BC=2V2, PA=2,AB⊥BC,E为CD的中点. (1)求证：AE⊥平面PAB; (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值； 天p的值 《3)若点M在线段4P上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为23，求AM 19.(本小题满分17分) 已知点D(1,0),圆C:(x+1)2+y2=16,P为圆上的一个动点，线段PD的中垂线与PC交于点2， 当点P在圆上运动时，记点2的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若过定点T(0,)且斜率存在的直线I与曲线E交于A,B两点，试探究： ①在y轴上是否存在定点M,使得直线MA,MB的斜率之积为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. ②若N为平面内一动点，直线NA,NT,NB斜率的倒数成等差数列，则点N是否在某定 直线上？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 高二数学第4页共4页2026年秋季学期期中自主练习检测 高二数学参考答案与解析 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 参考答案：1—D2—B3C4—A5—D6—D7—C8-A 1.样本数据2,3,1,5,4,6的中位数 将数据从小到大排列为1,2,3,4,5,6，共6个，中位数=(3+4)2=3.5。故 选D。 2.集合A={x|x2-2x-3=0}与B={-3,-1,1,3}的交集 由x2-2x-3=0得(x-3)x+1)=0,故A={-1,3},A∩B={-1,3}。故选B。 3.双曲线上点到另一焦点的距离 x2/64-y2/16=1中a2=64,a=8,2a=16。由双曲线定义 |P℉-P℉2|=2a=16。已知一个距离为1，则另一个=1+16=17（另一解 1-16=-15不符合距离为正，舍去)。故选C。 4.等边三角形中ABBC的值 向量AB与BC的夹角为180°-60°=120°，故AB·BC=ABBClcos120°= 2×2×(-1/2)=-2。故选A。 5.“1og3x>1”的充分不必要条件 logx>1等价于x>3。选项D:5<x<6可推出x>3,而x>3不能推出 5<x<6,故为充分不必要条件。故选D。 6.△ABC中恒成立的关系 由A+B=元-C,得sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,故D成立 (cos(A+B)=-cosC,C错；cos(A+B)/2)-sin(C/2)、sin(A+B)/2)=cos(C/2),A、B 错)。故选D。 7.奇函数条件求八-1) g8)8)+3为奇函数，g(1)=1)+3=-2+3=1,故g(-1)=-g(1)=-1,即 -1- -1)+3=-1,f-1)=-4。故选C。 8.存在钝角∠FPF2时离心率范围 当P取短轴端点时∠FPF2最大。此时P℉1PF2<O,即 (c,b)c,b)=c2-0,故bc2,ac2c2得a2c2,即ee2又 0e<1,故e∈(，1。故选A。 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 参考答案：9-ABCD10-ACD11-AC 9.关于复数的说法 A:z1对应点在第二象限→实部a<0且虚部b>0,正确；B:z1、Z2互为 共轭则c=a、d=-b,即a-c=0且b+d=0,正确；C:z2为纯虚数一实部 c=0,正确；D:z1z2=(ac-bd+(ad+bc)i为实数ad+bc=0,正确。故选 ABCD。 10.tanu=专时终边上的点 终边上点(y)满足yx=tana=号(x0)。(3,4、(6,8)、(3a,4a)(a≠0)均满足 y/X=43,而(4,3)的y/x=3/4不满足。故选ACD。 11.圆与相交弦相关判断 圆C:x-1)2+y2=1,圆心(1,0)、半径1；直线1：m(x-1)-(2y-1)=0恒过定 点(1,1/2)，A正确。C:y+2)/x-1)是圆内点与定点(1，-2)连线的斜率，过该 点作圆的两条切线斜率为√3，圆内点对应斜率满足√3，即 (-o,V)U(√3，+o),正确。B:点P(2,-5)在圆外，过P的切线有两条，所给 方程只是其中一条，表述不完整，错误。D:过定点最短弦对应弦心距=圆心到 定点距离=1/2，弦长=2V(1-1/4)=√3，非√2，错误。故选AC。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 参考答案：12(1，+∞)13—214—9 -2- 12.函数y=lg(x+x-2)的单调递增区间 定义域由x2+x-2>0得x<-2或x>1。内层t=x2+x-2开口向上、对称轴 x=-1/2,在(1，+o)上递增；外层1g递增，故复合函数递增区间为(1，十o)。 13.8个半径为1的铁球熔成一个大球 总体积8×(4/3)元13=(4/3πR3,故R3=8,R=2。 14.1/a+2/b的最小值 直线2mx+3y-2m+3-0即m(2x-2)+(3y+3)=0,令2x-2=0、3y+3=0得定点 A(1,-1)。代入ax-2by=1得a+2b=1。故1/a+2/b-(1/a+2b)(a+2b)=5+2b/a+2a/b≥ 5+2√2b/a2a/b=5+4=9,当a=b=1/3取等。最小值为9。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（本小题满分13分) (1)由acosB=(2c-b)cosA,结合正弦定理得 sinA·cosB=2 sinC cosA-sinB·cosA,I即sinA·cosB+cosA·sinB=2 sinC cosA, sin(A+B)=2 sinC.cosA。因A+B=π-C,sin(A+B)=sinC≠0，故sinC-2 sinC.cosA, 得cosA=1/2,A=/3. (2)面积S-(1/2)bc sinA=(1/2)bc(V3/2)=(V3/4)bc-3V3/2,解得bc-6。又 b-c=1。由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA=b2+c2-bc-(b-c)2+bc-1+6=7,故a=V7.。 16.（本小题满分15分) (1)频率分布直方图组距为4，由各组频率之和为1： (0.02+0.08+0.09+a+a)×4-1,解得a=0.03。完成年度任务（销售额14百万元） 落在第4、5组，其频率=(0.03+0.03)×4-0.24，人数=200×0.24=48人。 (2)各组频率依次为0.08、0.32、0.36、0.12、0.12（对应人数16、64、 72、24、24)。按分层抽样比例25/200=1/8,5组应分别抽取2人、8人、9 人、3人、3人。 (3)完成年度任务的48人按分层抽样抽取后，第4组3人、第5组3 -3- 人，共6人。从中任取2人共有C(6,2)=15种，两人在同一组有 C(3,2)+C(3,2)=6种，故概率为6/15=2/5。 17.(本小题满分15分) 圆C:x+y-2x+4y-4=0即(x-1)+y+2)=9,圆心(1，-2)、半径3。 (1)将y=-x-1代入圆方程得2x-4x-7=0,故x+x=2、XX,=-7/2。又 y:=-x-1、y=-X-1,则 Xy+Xy.X(-X.-1)+x.(-X-1)=-2xx.-(X+X)=-2×(-7/2)-2=5。 (2)设1：y=x+m交圆于D、E。代入得2x+(2m+2)x+m+4m-4=0。以 DE为直径的圆过原点=xx+yy,=O。由y=x+m,得 Xx+yy,-2xx+m(&,+x)+m'=m+3m-4=0,解得m=1或m=-4。经检验两值均使 直线与圆相交（△>0）。故存在，直线1的方程为xy+1=0或Xy-4=0。 18.(本小题满分17分) 以A为原点建系：由AB⊥BC、AB∥CD,取A(0,0,0)、B(0,1,0)、 C(2V2,1,0)、D(2V2,-1,0),E为CD中点即E(2N2,0,0),PA⊥平面ABCD且 PA=2得P(0,0,2)。 (1)AE=(2V2,0,0),AB=(0,1,0)、AP=(0,0,2)。因AE·AB=0、AEAP=0,故 AE⊥AB、AE LAP,又AB与AP是平面PAB内两相交直线，所以AE⊥平 面PAB。 (2)平面PAD的法向量n1=(1,2V2,0),平面PCD的法向量2-(1,0，V2)。 cos<,n>-nmn/(nn)=1/(3×V3)=V3/9。故两平面夹角的余弦值为V3/9。 (3)设M(0,0,),t∈[0,2]，则AM/AP-=t/2。CM-(-2V2,-1,)。线面角正弦 =|CMnl/(CMln)=4W23v(9+t))=45/15,解得9+=10，t=1。故 AM/AP=1/2. 19.(本小题满分17分) (1)Q在PD的中垂线上，故QD=QP;又Q在线段PC上，故 -4- QC+QP=PC=4,从而QC+QD=4>CD=2。所以Q的轨迹是以C(-1,0)、D(1,0) 为焦点、2a=4的椭圆，a=2、c=1、b2=a2-c2=3。曲线E的方程为x2/4+y2/3=1。 (2)设1：y=x+1(过T(0,1),代入E得(3+42x2+8x-8=0,则 X1+X2=-8k/(3+42)、X1X2=-8/(3+42）。 ①设M(0,m),记t=1-m,则 MAB=(x1+t)(+t)/(x1X)=(1+t/2)-3t/8。要使其为与k无关的定值，须 1+/2=0,此式无实数解。故y轴上不存在满足条件的定点M。 ②设N(Xo,yo),记Yyo-1。由1/wA、1/T、1/B成等差得 2kT-1/kA+1/B,即2xoY=(Xo-x)/Gyoy1)十(&o-X2)/y0-y2)。将x+x2=kX1X代入 并通分化简，整理得(-Y+2Y)+xok(Y-2)=0对任意k恒成立，故Y2-2Y=0 且xo(Y-2)=0。由Y0(否则N与T重合)得Y=2,即yo=3。所以点N在 定直线y=3上。 -5-