广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

柳州地区民族高级中学2026一2027学年秋季学期期中考试 高二数学试题 考试范围：必修一、必修二、选择性必修一第一章至第三章3.2 考试时间120分钟出题人：廖钰审题人：蓝冠钊 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知复数：=古片，则：的虚部为() A B分 C. D. 2.已知集合A={x-3<x<3},B={x∈N*|-5<2x-1<7},则A∩B=() A.{L2 B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 3.已知=(2，-1,1)，b=（-4,2,x),且a1b,则x的值为() 4.9 B.5 C.-6 D.10 4.若圆锥的表面积为3π，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为() A.圆锥的母线长为1 B.圆锥的底面半径为2 C.圆锥的体积为5 D.圆锥的侧面积为π 3 5.已知直线1过直线l:x-y=0和l2:x+y-2=0的交点，且与3x+4y-5=0平行，则直线1的方 程是() A.3x+4y+7=0 B.3x+4y-7=0 C.4x-3y+1=0 D.4x-3y-1=0 6.过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)=1的切线，则切线的方程为() A.x=-2或4x+3y-4=0 B.4x-3y+4=0 C.x=2或4x-3y+4=0 D.4x+3y-4=0 7.己知椭圆C:女+上=1，直线1与椭圆C交于4，B两点，且点PM,)是线段4B的中点，则直 94 线的斜率为() A.号 B.4 D. 8设椭圆E:若+发a>h>0)的右焦点为卫，过坐标原点0的直线与E交于4，B两点，点 C满足=FC,若B:0C=0,ACBF=0,则E的离心率为() A.⑤ 9 B.V5 cC. 5 D.5 7 5 3 试卷第1页（共4页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,直线：y=cx-1(k∈R),则下列结论正确的是（) A.圆C的半径为2 B.直线1恒过定点(0，-1) C.当k=2时，直线I平分圆C D.当k=0时，直线I与圆C相切 10.设椭圆C:号+片1的左、右焦点分别为R、5,P是C上的动点，则下列结论正确的 2516 是() A.椭圆C的离心率e=3 B.PF+PF2 =5 C.△P?F面积的最大值为12 D.P的最小值为9 11.如图，在长方体ABCD-AB,CD中，AB=2,AA=AD=1,动点M在体对角线B,D(含端 点)上，则下列结论正确的是（) D A A.当点M为BD的中点时，∠BMC为钝角 M B.当点M为BD的中点时，四棱锥M-BBCC的外接球的表面积为 4 C.存在点M,使得BD⊥平面BMC D.直线BM与平面BBCC所成角的最大正切值为√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. cos0 12.若tan0=2,则sin0- 4 13.已知双曲线女y =1,耳，F2分别是双曲线的左右焦点，点M在双曲线上且∠FM=120°， 49 则△FM的面积是 14.已知点O是坐标原点，点M是圆C:x2-6x+y2+8y+24=0上的动点，当动点P在直线 x-4y+17=0上运动时，PM+PO的最小值为 试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分)某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24,16,8，现在通过某项 检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查， (1)求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率； (2)若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查， 求至少有1人合格的概率. 16.(15分)如图，在△4BC中，已知sin2A-V2 sin A.sin C=sin2(A+C)-sinC. 1)求corB+写)的值： (2)若D是BC边上一点，AD=5,AC=7,DC=3,求AB的长 17.（15分)已知点P(2,0),圆C的圆心在直线x-y-5=0上，且与y轴切于点M(0,-2). (1)求圆C的方程： (②)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 试卷第3页（共4页） 18.(17分)在梯形ABCD中，AB1CD,∠B1D=于4B=2MD=2CD=4,P为AB的中点，线段AC 与DP交于O点（如图1）.将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置，使得平面DAC⊥平面BAC (如图2). (I)求证：BC/1平面POD'; (2)求二面角C-AB-D'的余弦值： ③)线段PD上是香否存在点Q,使得CQ与平面BCD所成角的余弦值为58？若存在，求出 号的值：若不存在，请说明理由 图1 图2 19。《7分)已知稀圆c:号+若->6>0的离心车为K轴为4 (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线4：x-2y+1=0与椭圆交于A,B两点，求弦长AB: (®)点H)在C上，过点rao前直线交椭圆C于P,Q同点（异于点），设直线m, HQ的斜率分别为k,k2,证明：k+k2为定值. 试卷第4页（共4页） 柳州地区民族高级中学2026一2027学年秋季学期期中考试 高二数学参考答案 题号 6 6 9 10 11 答案 B A D C B C A D ABD AC BC 1B【样标1：片0-可可生i-号以：的都为} 1+i 2.A【详解】由-5<2x-1<7得-2<x<4,因为x∈N,所以B={L,2,3}.又A={x|-3<x<3}, 所以A∩B={L,2} 3.D【详解】因为ā⊥b,所以db=2×(-4)+(-1)×2+x=-10+x=0,解得x=10. 4.C【详解】设圆锥的底面半径为r,母线为I, 由侧面展开图为一个半圆，则二x2πx1=2πr,所以1=2r, 圆锥的表面积为πr+πr2=3πr2=3π，则r=1,1=2,圆锥的高h=VP-r2=V22-12=√5， 风给的体积为兮r清-5，因结的积为1-2，数在，。 x-y=0 5.B【详解】联立直线、I的方程， x+y-2=0,解得x=y=1, 故直线l、12的交点坐标为(1,1)，因为直线1与直线3x+4y-5=0平行，设直线1的方程为3x+4y+m=0, 将点(1,1)的坐标代入直线1的方程可得3+4+m=0,解得m=-7.因此，直线1的方程为3x+4y-7=0. 故选：B. 6.C【详解】若切线与x轴垂直，则切线方程为x=2,此时圆心(1,1)到直线x=2的距离为1，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为y-4=k(x-2),即x-y-2k+4=0, 遮可得k12k+431,解得大此时，所求切线的方程为4x-3+4 Vk2+1Vk2+1 综上所述，所求切线方程为x=2或4x-3y+4=0.故选：C .A【详解】设AxD,B,y,因为小，B两点在曲线C:。+1上，所议 三+兰=1四 94 用()式减去(2)式可得： 发+发=12 94 至+片至生=0，-发+2=0,6+5-2+0+0-》=0 9494 9 4 9 4 答案第1页（共7页） x+龙=1 因为点PI,)是线段AB的中点，根据中点坐标公式：可得： 2 ,即x+x2=2,+y2=2, y+y2=1 2 代入出+-)++20-22=0可得：2：)+2出-)=0 9 4 9 4 化简得：。立+4，五=0，可得：五=-4 9 4 x-x29 而二之就是直线1的斜率k,所以直线的斜率为-号故选：A x1-X) 8.D【详解】设A(m,n),则B(-m,-n),F(c,0),则OA=(m,n),AF=(c-m,-n),BF=(c+m,n), 因为f-号rc,所以ac--(3e-m则到）】 所以oc=0+c=a+3e-m）倍 2 因为AB.OC=0,AC.BF=0,所以 Oi--m0 得m=3。 AF.BF=c2-m2-n2=0 sc, 9 c216c2 又a在圆上.所2互+51即器r女-c)+cc=d6-e) 25 a b2 整理得250-50c+9e=0,即9e-50e+25=0,解得e-号或e2-5(合去)，所以e=5 3 故选：D 9.ABD【详解】对于A选项，x2+y2-4x-2y+1=0变形为(x-2)+(y-1)=4, 故圆C的半径为2，A正确：对于B选项，可以看出直线：y=c-1恒过点(0，-1)，B正确： 对于C选项，当k=2时，直线l的方程为y=2x-1, 由于圆心(2,1)不在y=2x-1上，故直线I不平分圆C,C错误 对于D选项，当k=0时，直线1的方程为y=-1,圆心C(2,1)到直线1的距离为2，等于半径， 即当k=0时，直线1与圆C只有1个公共点，即直线1与圆C相切，D正确： 10.AC【详解】对于A,由椭圆方程得a=5,b=4,所以c=V-F=3,所以离心率为e=,故A对： 、● 对于B,由椭圆定义可知P+PF=2a=10,故B错： 对于C,由椭圆图形的结构特征及性质可知当P位于椭圆上顶点或下顶点时， △PR马面积取得最大，最大值为S=x2cxb=bc=12,故C对： 对于D,由椭圆性质可知a-c≤PT≤a+c,所以P的最小值为2，故D错.故选：AC 11.BC【详解】建立如图所示空间直角坐标系，当点M为B,D中点时，MG1,B,20),G(0,2), 答案第2页（共7页） :MB=,MG=(,MBMG0,∠BMC为锐角，A错误： 设四棱锥M-BB,CC的外接球半径为R,则1-R+C二=R巴，则R= 3 4 四棱锥M-BB,CC的外接球的表面积为S=4R?= 4,B正确： 设M(x,y,z),DM=DB,∈[0,1]，DB=L,2,1),则M(,2,), DB·BC=0 BM=(2-1,21-2,2),BC=(-1,0,1), DB·BM=0 得1 6 ∴.存在点M,使得BD⊥平面BMC,C正确： 设平面BB,CC的法向量为n=(O,l,O),直线BM与平面BB,CC所成角的正切值最大， BM.n 则直线BM与平面BBCC所成角的正弦值最大即可，sinO= BM 即sin0= 122-21 a-2+(2-2P+元，2∈0，]，故sin0= 2-21 (a-12+(21-2)}2+2, 2t 令2-2=t,t∈[0,2]，则sin0= ,当t=0时，sin0=0, V62-41+4 sin=- 当t∈(0,2]时， 4-4+6 4-+5 故最大正弦值sin0 25,则最大正切值an0=2, 5 D错误，故选：BC cos0 cos0 2 12.√2【详解】 sino-） 4 2(sin0-cos0) lano-1=2 .故答案为：√2 13.3N5【详解】如图，双曲线二-1的实半轴长a=2,半焦距c=3,有M-M,上2a=4, 49 在△FME,中，由余弦定理得|FF PMF2+|MFP-2|MF‖F cos.∠FME, 即有1EEP=0M|-|MFD2+2|M‖ME11-cos120), 因此(213=4+21MEME10+与，解得1MME上12， 所以△FM的面积为sin120=35,放答案为：35 14.12【详解】如图，设点O(0,0)关于直线x-4y+17=0对称的点为A(m,n), [n-4 则m m=-2 ,解得 4×经+17=-0 =8，即4(-2,8)， 2 由x2-6x+y2+8y+24=0得(x-3)+(y+4)2=1,其圆心为C(3,-4),半径r=1, 则PM+PO=PM+PA≥PC-1+PA≥AC-1=13-1=12, 答案第3页（共7页） 当且仅当P,M均在线段AC上时，取得最小值12. 1甲3人乙2人丙1人：客②)号 【详解】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1,1分 由于采用分层抽样的方法从中抽取6人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人.3分 该企业总共有24+16+8=48名员工， 记事件A:“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，4分 所以每一位员工被抽到的概率为P()68 ，.6分 (2)记事件B:“至少有1人合格” 记其中合格的2人的分别为a,b,不合格的4人的分别为c,d,,f,.7分 则从6人的中随机抽取2人的所有可能结果有：(a,b),（a,c),(a,d),（a,e),(a,f),(b,c),(b,d), (b,e),(bf),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(ef),共15种，9分 其中至少有1人的合格的结果有：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f), 共9种，11分 故至少有1人的合格的概率为P(B)=》=3 15513分 2 【详解】(1)因为A+B+C=π，所以sin(A+C)=sinB,1分 sin2A-√2sinA.sinC=sin2B-sin2C,…2分 所以由正弦定理可知BC2-√2BC,AB=AC2-AB2，,BC2+AB2-AC2=V2BC·AB,4分 所以cosB-BC+AB-AC=V2 2BC·AB 2 .5分 因为在AABC中，B∈(O,π)，所以B= 46分 所以cosB+T -cos Boos-sin Bsin2x126 、3 322224 8分 (2)由余弦定理可知，在44CD中，c0sC=DC+AC-AD232+72-521 2×7x3141 10分 2AC.DC 因为C∈(0，π)，所以sinC>0, .11分 sin C=v1-cos2C 53 14 -14 12分 AB 由正弦定理可知，在AABC中， AC sinC sin B’.l3分 答案第4页（共7页） AB 7 所以53，所以4B=56 14 2 .15分 17.0-3y+0+22=9:(②c-3+0+-￥ 【详解】(1)设圆心坐标为C(a,b), 圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴切于点M(0,-2), 「a-b-5=0 ，解得 a=3 b=-2 b=-2’3分 .圆心C(3,-2),4分 半径r=MC=V(0-3)2+(-2+2)2=3,.5分 故圆C的方程为(x-3)2+(y+2)2=9..6分 (2)设点N的坐标为(x,y),点的坐标为(x,),.7分 :点P2,O,又点N为PO的中点，x=2+,y=么 2 2 ，9分 6=2x-2 %=2y ’11分 即点2的坐标为(2x-2,2y),12分 Q在圆C上运动，∴(2x-2-3)2+(2y+2)2=9,13分 即(2x-5)}2+(2y+2)2=9,14分 ∴点N的轨迹方程为-多+0+-}15分 18.【详解】(1)因为在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD=4,P为AB的中点， 所以CD/1AP,CD=AP,所以四边形APCD为平行四边形，2分 因为线段AC与DP交于O点，所以O为线段AC的中点，所以△ABC中OP/1BC,3分 因为OPc平面POD',BCE平面POD',所以BC/1平面POD'.4分 (2)平行四边形APCD中，AP=AD=2,所以四边形APCD是菱形，AC⊥DP,垂足为O, 所以AC⊥OD,AC⊥OP,5分 因为OD'c平面ACD',OPc平面ACB,所以∠D'OP是二面角B-AC-D'的平面角， 因为平面DACL平面B1C,所以∠DOP=号即OP1OD.6分 ZA D 可以如图建立空间直角坐标系O-z,其中O(0,0,0), 因为在图1菱形APCD中，∠BAD=牙所以OD=OP=l,OA=OC=V5, P 则B(-V3,2,0),A(3,0,0),C(-V3,0,0),D'(0,0,1),P(0,1,0),AD=(-V3,0,),AB=(-23,2,0),…7分 设平面ABD'的一个法向量为n=(,,乙)，则 -V3x+z1=0 -2W3x+2y= 取x=1,得n=0,5,3),8分 平面ABC的一个法向量为m=(0,0,),9分 由图得二面角C-AB-D'为锐角，设二面角C-AB-D'为O, 答案第5页（共7页） 0×1+0×V3+1xV5 故cos0=cos(m,i训= m 3√21 m-同0+0+平.P++(5 -7,11分 (3)假设线段PD上存在点Q使得CQ与平面BCD所成角的余弦值为V58,则CQ与平面BCD所成 P 角的正弦值为6.设P0=2PD0≤1≤)，…l2分 因为CP=(3,1,0),PD=(0,-1,1),BC=(0,-2,0),BD=(N3,-2,1) 所以C9=CP+P9=CP+PD=(W3,1-元，)，13分 设平面BCD'的一个法向量为1=(：2，y2,2), -2y2=0 则 V3x2-2y2+z2=0 取2=1，得i=(1,0,-V3),14分 cos<Co,n > c0.n。31-)V6 1C0I‖ln2W222-21+48 ，.15分 1 所以322-7九+2=0，因为0≤元≤1，所以2=。 31 .16分 故线段PD上在徐点Q,且背，使得(Q与平面BCD所成角的杂这值为 17分 8 【详解】(1)由题知e=c-1, 日22a=4,又有d=6+c心，解得a=2.c=1,6=5,3分 所以椭圆c的标准方程为。+号=1.…4分 43 x-2y+1=0 (2)联立x2,y2 ，消元可得4x2+2x-11=0,5分 =1 43 设A(x,y),B(x2,2),则x+x2= 21 4 .6分 所以=++--+月4）-8公式1列 (3)由己知直线l过点T(4,0),且交椭圆C于P,Q两点，所以直线l,的斜率存在 当直线6的斜率为0时，方程为-0，此时PQ两点标为(-2,0)，(2,0)，又H1) 3-03-0 2 +2 则k+k2=1-（-2)1-2二19分 当直线l2的斜率不为0时，由已知设直线l2:x=my+4(m≠0)，10分 答案第6页（共7页） 设点P(.()且与点)不重合， x=my+4 联立直线与椭圆C的方程〈 x2.y2 消去x,得m4+上1， =1 4 143 3 整理得（3m2+4)y2+24my+36=0,11分 则△=(24m)2-144(3m2+4)>0,即m2-4>0, 解得m>2或m<-2,且y+y4= 3m2+4少=，36 24m 3m2+412分 3 3y2 3 3 3 则k+k, 2m+3)+42Jm,+3) 3-lx4-1my3+3my4+3 (my,+3)(my4+3) 2my3-3n0st,)9 2 14分 m2ysy4+3m(ys+ya)+9 代入为+y4= 24m 36 3m2+4=3m2+4' 36 33) 9(m2-4 得k+忧=3m+432m 2m× 24m-9 -m 3m2+4 m2×36 24m+9 =3m2+4、=-1.16分 3m214-3mx 9m2-4 3m2+4 3m2+4 综上，k+k2为定值，且k+k2=-1.17分 答案第7页（共7页）