精品解析：上海市建平中学2026-2027学年期中教学质量检测高三数学试卷

建平中学2026学年第一学期期中教学质量检测 高三数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，，，则______. 【答案】5 【解析】 【详解】因为，，所以且， 又，所以. 2. 若复数满足，则________． 【答案】 【解析】 【详解】 由，则方程的解为或， 时，； 当时，， 故. 3. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式求得正确结果. 【详解】 故答案为： 4. 已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量与共线， 则存在唯一实数，使得：  ， 整理可得：  ， 又，不共线，得 ，解得，. 5. 函数的最小值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】分段去绝对值符号，进而求出最小值. 【详解】函数的定义域为R， 当时，，当且仅当时取等号； 当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 故答案为：4 6. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件表示“向上的点数是或”，事件表示“向上的点数是或”，则事件与事件至少有一个发生的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定掷骰子试验的样本空间与各事件的样本点构成，再结合古典概型与概率加法公式计算两事件至少有一个发生的概率即可. 【详解】∵样本空间，基本事件总数， 事件，事件， ∴，， ∴， ∴事件与事件至少有一个发生的概率为. 7. 若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 【答案】12 【解析】 【详解】先安排甲的位置，有种排法； 再安排其余3人的位置，有种排法. 根据分步乘法计数原理，满足条件的排法有种. 8. 已知函数，若为偶函数，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】令是偶函数， 又正弦型函数为偶函数，图象关于y轴对称，则相位满足：，解得， 又，故. 9. 已知向量，满足：，，则向量在向量上的数量投影为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得， 则向量在向量上的数量投影为. 10. 已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 11. 如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200，曲柄CB长70，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为___________.（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8） 【答案】36 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再求出，，再利用两角和的正弦公式可求出，再利用正弦定理可求出，从而可求得答案 【详解】如图，在中，，，，， 由正弦定理，， ∵，∴，故为锐角， ∴， ∴， 所以， 故. 故曲柄按顺时针方向旋转时活塞移动的距离约为36mm. 故答案为：36 12. 正方体中，棱长为1，则四面体与四面体公共部分的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出公共部分的位置，然后利用锥体体积公式来求得正确答案． 【详解】 记，，， 因为，所以为的一个三等分点（靠近）， 连接，是的中点，因为平面， 所以到平面的距离是到平面的距离的一半， 则公共部分是三棱锥，， ， 根据长方体的性质可知，， 因为平面，，所以平面， 所以，． 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，知A错，是增函数，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错． 【详解】取，满足，，知A错，排除A； 因为，知B错，排除B； 取，满足，，知D错，排除D， 因为幂函数是增函数，，所以，C正确． 14. 已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，，则必有，充分性成立； 若，，则与可能平行，也可能相交、异面，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 15. 已知等比数列有且仅有两项在中，则其公比的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，按公比的大小进行分类讨论，结合区间内项的个数要求排除不符合的情况，确定公比的取值范围. 【详解】等比数列的通项公式为，，，题目要求数列有且仅有两项满足，分情况讨论如下： ①当时，数列所有项与同号， 若，数列是严格递增的正项数列，当时. 此时可选取合适的，使得， 即恰好有两项落在内，符合要求； ②当时，数列为常数列，要么所有项都在内（无穷多），要么无项在内，不符合要求； ③当时，数列所有项与同号， 若，数列是严格递减的正项数列，且当时. 此时只要存在某一项，则对所有，都有， 即无穷多个项落在内，不符合“有且仅有两项”的要求； 若，所有项非正，无项落在内，也不符合要求； ④当时，数列的项正负交替， 负项均小于，不可能落在内， 取所有正项构成子数列，公比为， 数列是严格递减的正项数列，且当时，， 此时只要存在某一项，则对所有，都有， 即无穷多个项落在内，不符合“有且仅有两项”的要求； ⑤当时，数列的项为， 若，则有无数项在内；若，则没有项在内. 不符合“有且仅有两项”的要求； ⑥当时，数列的项正负交替， 负项均小于，不可能落在内， 取所有正项构成子数列，公比为， 因此数列严格递增且当时,， 此时可选取合适的，使得， 因此恰好有两项落在内，符合要求. 综上，满足条件的公比的取值范围是. 16. 设是定义在上的可导函数，满足：在上单调递增，在上单调递减，则下列说法不可能的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 【答案】B 【解析】 【分析】先设，，求，，再根据和的单调性得到．对于A，取，代入计算即可判断；对于B，利用反证法，推出矛盾即可判断；对于C，取，代入计算即可判断；对于D，取，代入计算即可判断． 【详解】设，则， 又在上单调递增，则，则， 设，则， 又在上单调递减，则，则， 所以对任意，都有． 对于A，取，则，则成立，符合题意，故A可能； 对于B，假设存在，使得，则，则正数负数，矛盾，不符合题意，故B不可能； 对于C，取，则，则，符合题意，故C可能； 对于D，取，则，则，符合题意，故D可能． 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． （1）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； （2）某次训练中，甲运动员向乙运动员发起挑战赛，挑战赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛．②挑战模式：赢前两局者为胜；若前两局打成平手，则抽签决定是否开启第三局，若甲抽中“开启”，则第三局胜者赢得比赛，若甲抽中“不开启”，则乙赢得比赛．若甲抽中“开启”的概率为0.8，且甲在每局比赛中获胜的概率均为，试判断哪种赛制对甲更有利，并说明理由． 【答案】（1） （2）甲每局比赛中获胜的概率为，设乙每局比赛中获胜的概率为， 赛制①，甲获胜的概率为； 赛制②，甲获胜分两种情况： 记“前两局甲连胜”为事件B，； 记“前两局甲一胜一负，抽中开启第三局，并赢得第三局”为事件C，； . ， 又，故，， 当时，，此时，赛制①对甲有利； 当时，此时，两种赛制一样； 当时，，此时，赛制②对甲有利. 综上所述，当甲每局获胜概率时，一局定胜负（赛制①）对甲更有利；当时，两种赛制对甲的有利程度相同；当时，挑战模式（赛制②）对甲更有利. 【解析】 【分析】（1）先统计样本中“长发球回合”的数量，再利用古典概型公式结合组合数计算至少2个长发球回合的概率； （2）分别推导两种赛制下甲获胜的概率，通过作差比较两者大小，根据差的符号判断赛制对甲的有利程度. 【小问1详解】 超过5.0秒的“长发球回合”有5.3、5.8、9.6、12.4、6.5、7.2、8.9，共7个； 时长不超过5.0秒的短回合有3.2、4.7、4.1，共3个. 从10个回合中随机抽取3个，总的基本事件数为：， “至少2个长发球回合”包含“两长一短”和“三长”两种情况，分别有和种，记“至少2个长发球回合”为事件A，. 【小问2详解】 略 18. 如图，一个圆锥的顶点是，是底面的圆心，是底面的一条直径，． （1）若直线和圆锥底面所成角的大小是，求该圆锥的表面积； （2）若是母线中点，、是底面圆周上两点，劣弧的长为，，是线段上一点，求证：平面平面，并直接说明与平面的位置关系． 【答案】（1） （2）劣弧的长为，底面圆的半径，则， 又，则,则， 在中， 是的中点，是的中点， 则是的中位线，则， 又平面，平面， 则平面， 在中，，且， 则是等边三角形，则， 而，则， 则， 又平面，平面， 则平面， 又，平面，平面， 平面平面. 因为平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）由直线和圆锥底面所成角的大小是得到，利用三角函数的定义求出，利用圆的面积公式和圆锥的侧面积公式求解，从而得到所求； （2）利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理求解，利用面面平行的性质定理得到线面平行. 【小问1详解】 因为底面圆，所以与底面所成角就是， 因为直线和圆锥底面圆所成角的大小是，所以， 因为是圆的一条直径，，所以， 在中：， ， 圆的面积为， 圆锥的侧面积为， 则圆锥的表面积为. 【小问2详解】 略. 19. 设为实数，函数，． （1）若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围； （2）当，判断函数与函数的图象是否有公共点，并说明理由． 【答案】（1） （2）函数与函数的图象没有公共点，理由如下： 两函数图象有公共点的充要条件是存在公共定义域内的使得成立，易知两函数公共定义域为； 由可得，整理可得； 因为，所以， 令，则， 令，则， 由可得，当时，，当时，； 因此可知在上单调递增，在上单调递减； 所以，因此对于任意恒成立， 即在上单调递减， 且当时，，因此, 结合单调性可知对于任意恒有， 又，所以方程没有实数根，即两函数图象没有公共点. 【解析】 【分析】（1）将三次函数进行因式分解，根据与轴的交点个数可知二次方程有两个不等于0的不同实根，利用判别式即可求得实数的取值范围； （2）两函数图象有公共点的充要条件是存在公共定义域内的使得成立，构造函数并求出其值域，再由即可得出结论. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 函数与轴有三个不同交点等价为方程有三个互不相等的实根； 且该函数可分解为，显然是的一个实根， 因此只需保证二次方程有两个不等于0的不同实根即可， 即需满足，解得， 又因为二次方程的两实根不能为0，所以； 因此实数的取值范围为. 【小问2详解】 略. 20. 已知椭圆：的中心是坐标原点，焦点，在轴上，其中右焦点为． （1）求椭圆的离心率； （2）点在椭圆上，且，求的面积； （3）直线，均过右焦点且斜率分别为，，与交于，两点，与交于，两点，问：是否存在常数，使得对于任意的直线，都存在直线满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，，理由如下： 设，，， 联立，得， 则， 则 ， 同理可得， 因为，所以，得， 因为，所以，得， 假设存在常数，使得对于任意的直线，都存在直线满足， 则，则，得， 故的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据的关系可求； （2）求出点的轨迹方程并与椭圆方程联立得出点的纵坐标即可； （3）联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式求出，再分别求出其范围，将问题转化为集合的包含关系求解. 【小问1详解】 由题意得，，得，故离心率为； 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆，， 因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，其方程为， 与联立得， 故的面积为； 【小问3详解】 略 21. 设函数的定义域为，，若存在集合的真子集，使得，则称函数具有性质，且为的一个“代表集”． （1）判断函数，和，是否具有性质（无需说明理由）．若具有性质，直接写出它的一个“代表集”； （2）设，函数的定义域，且．若函数具有性质，求实数的取值范围； （3）设函数的定义域，是定义在上的严格减函数且，集合．若，证明：函数具有性质，且对的任意“代表集”，都有． 【答案】（1）函数，不具有性质；函数，具有性质，是它的一个“代表集”. （2） （3）记，则集合， 由是定义在上的严格减函数且， 当时，；当时，； 故等价于下列两种情形之一， 情形一：且，即且，解得，也就是. 情形二：且，即且，等价于，由于，所以情形二无解， 所以. 由及区间包含关系得 结合题设条件，可知集合与是同一个集合. 于是对任意，有 这一等价关系是双向的：的大小顺序与的大小顺序完全一致， 由基本不等式得，当且仅当，即等号成立， 另一方面，对任意有 又因为在上严格递增，故在上递减、在上递增， 于是是在上的最小值，且是唯一取到该最小值的点；是最大值， 所以当时，必有， 事实上，由立得， 若，则把点对代入等价关系，由应当得到，这与矛盾，故， 特别地，对任意都有，从而，即是在上唯一取到的最小值， 取，它是定义域的真子集， 对任意：若，取；若，取，此时，仍有，无论哪种情形，都有且， 由等价关系的双向性，时与同时成立， 故，这说明中的每个函数值都能在上取到，即， 因此是的一个“代表集”，函数具有性质， 假设存在的“代表集”，满足， 则对任意都有，由，于是 另一方面，，故； 又因为是“代表集”，应有， 所以必须属于，矛盾， 故假设不成立，即对的任意“代表集”，都有. 【解析】 【分析】（1）根据题意可分析性质的含义得到函数具有性质，当且仅当在上不是单射（即存在不同自变量对应同一个函数值），即可判断函数，和，是否具有性质； （2）函数具有性质的必要条件是在上不是严格单调函数，需结合函数值域的重叠情况进一步判断是否存在定义域的真子集，使得上的值域与上的值域一致，对其分类讨论即可； （3）记，由，化简得到 ，利用建立关系得到，有，证明得到在上的对称性和最值，对应得到是在上唯一取到的最小值，取即可证明函数具有性质，利用反证法即可证明对的任意“代表集”，都有. 【小问1详解】 函数，不具有性质，理由如下： 因为，对任意恒成立， 所以在上是严格递增函数，且， 因此，对任意，都有， 若存在集合的真子集，则， 则函数不具有性质； 函数，具有性质，是它的一个“代表集”，理由如下： 因为， 取集合的真子集，则， 满足题目的定义，因此具有性质，是它的一个“代表集”. 【小问2详解】 函数的定义域，且要使具有性质，则为非单调函数， 当第一段内部不单调时：需满足，解得； 当两段之间有相同函数值时因为时，； 需满足，存在，使得； 当时，在上单调递减，值域为，需与有交集，即，解得； 当时，在上单调递增，值域为，需与有交集，即，可知无解； 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2026学年第一学期期中教学质量检测 高三数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，，，则______. 2. 若复数满足，则________． 3. 若，则______. 4. 已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为________． 5. 函数的最小值是_________． 6. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件表示“向上的点数是或”，事件表示“向上的点数是或”，则事件与事件至少有一个发生的概率为________． 7. 若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 8. 已知函数，若为偶函数，则的值为________． 9. 已知向量，满足：，，则向量在向量上的数量投影为________． 10. 已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 11. 如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200，曲柄CB长70，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为___________.（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8） 12. 正方体中，棱长为1，则四面体与四面体公共部分的体积为________． 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知等比数列有且仅有两项在中，则其公比的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 设是定义在上的可导函数，满足：在上单调递增，在上单调递减，则下列说法不可能的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． （1）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； （2）某次训练中，甲运动员向乙运动员发起挑战赛，挑战赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛．②挑战模式：赢前两局者为胜；若前两局打成平手，则抽签决定是否开启第三局，若甲抽中“开启”，则第三局胜者赢得比赛，若甲抽中“不开启”，则乙赢得比赛．若甲抽中“开启”的概率为0.8，且甲在每局比赛中获胜的概率均为，试判断哪种赛制对甲更有利，并说明理由． 18. 如图，一个圆锥的顶点是，是底面的圆心，是底面的一条直径，． （1）若直线和圆锥底面所成角的大小是，求该圆锥的表面积； （2）若是母线中点，、是底面圆周上两点，劣弧的长为，，是线段上一点，求证：平面平面，并直接说明与平面的位置关系． 19. 设为实数，函数，． （1）若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围； （2）当，判断函数与函数的图象是否有公共点，并说明理由． 20. 已知椭圆：的中心是坐标原点，焦点，在轴上，其中右焦点为． （1）求椭圆的离心率； （2）点在椭圆上，且，求的面积； （3）直线，均过右焦点且斜率分别为，，与交于，两点，与交于，两点，问：是否存在常数，使得对于任意的直线，都存在直线满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 21. 设函数的定义域为，，若存在集合的真子集，使得，则称函数具有性质，且为的一个“代表集”． （1）判断函数，和，是否具有性质（无需说明理由）．若具有性质，直接写出它的一个“代表集”； （2）设，函数的定义域，且．若函数具有性质，求实数的取值范围； （3）设函数的定义域，是定义在上的严格减函数且，集合．若，证明：函数具有性质，且对的任意“代表集”，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $