精品解析：上海音乐学院附属黄浦比乐中学2026-2027学年高三第一学期期中质量监控数学试卷

2026学年第一学期期中质量监控试卷 高三年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为全集，集合， 所以. 2. 若复数（其中表示虚数单位），则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合虚部的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 复数z的虚部为，所以. 故答案为： 3. 设，则方程的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】分区间讨论，去掉绝对值号即可得解. 【详解】当时，原方程可得，解得， 又，故方程的解为； 当时，原方程可得，解得，故无解； 当时，原方程可得，解得； 当时，原方程可得，解得，所以. 综上，方程的解集为. 故答案为： 4. 已知是等差数列的前项和，若，则满足的正整数的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式，然后利用等差数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意得等差数列，得， 所以其前项和为， 由，即，解得，（舍）， 所以的值为. 故答案为：. 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，向量，则向量在向量上的投影为. 6. 设为常数，若，则函数的图象必定不经过第________象限 【答案】二 【解析】 【分析】由指数函数的性质与图象的平移可得. 【详解】已知, 则指数函数单调递增，过定点，且， 函数的图象是由函数函数向下平移个单位， 作出函数的图象，可知图象必定不经过第二象限. 故答案为：二. 7. 已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到圆锥底面半径与高之间的关系，再根据圆锥的体积公式列方程即可求解. 【详解】圆锥的轴截面图如图所示： 由题意，解得，即圆锥的底面半径为. 故答案为：. 8. 在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：①；②；③；④，其中恒成立的是___________（写出所有恒成立式子的序号） 【答案】② 【解析】 【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案. 【详解】，，所以①错误. ，，所以④错误. 设， . ，所以②正确. 是数，是向量，所以③不正确. 9. 若直线是曲线的切线，则实数 p 的值为 __________. 【答案】1或 【解析】 【详解】设切点为（m ， m）， 则由切点在该曲线上得. 从而， m 满足m = 0， ①或. ② 又切线的斜率为 1，在曲线上切点处的斜率亦为 1， 故.③ 联立式①、③， 解得 p = 1； 联立式②、③， 解得 p =， m =. 因此实数 p 的值为1或 10. 如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出的解析式，即可求解. 【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为， 则，且，得， 又，所以， 所以，又函数图象过点， 所以，由解得， 故， 所以. 故答案为： 11. 已知函数，正项等比数列满足，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用倒序相加法，结合函数的对称性以及等比数列的性质即可求得正确答案. 【详解】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到, 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以， 因为正项等比数列满足，所以， 所以， 所以， ①， ②， 则①②相加得： 即， 所以. 故答案为：. 12. 设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分类讨论，转化为二次函数问题直接求解即可. 【详解】当时，方程可化为，即， 则或（舍）； 当时，方程可化为； 要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根， 则且，解得且， 所以实数a的取值范围为 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 二、选择题：（共4小题，13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质并结合特殊值法，即可逐项判断. 【详解】对A、B：由，不妨设，，则，，故A、B项错误； 对于C：由，所以，故C项错误； 对于D：由，所以，故D项正确. 故选：D. 14. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，可能是正数、负数或零， 所以由，可得， 可得不等式解集相同的是，故B正确. 15. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D. 【详解】对于A，设，则，，A错误； 对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上， 可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为， 则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确； 对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误； 对于D，依题意，，整理得， 而，因此，解得，D错误． 故选：B. 16. 对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论： ①在区间上优于； ②当时，在区间上优于． 那么（ ） A. ①、②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①、②均错误 【答案】B 【解析】 【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解. 【详解】①：当时，；当时，， 所以函数图象都经过点， 则直线的方程为，即， 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可知，， 即存在使得在区间上恒成立， 所以在区间上优于，故①正确； ②：当时， 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可得，，即， 所以直线的方程为，即. 设曲线在处且平行于直线的切线为， 由，，得，解得， 则切点， 所以，即， 由， 所以此时切线位于直线的下方，则当时存在实数使得. 所以当时，在区间上不一定优于，故②错误； 故选：B 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查函数的综合性质，主要考查函数不等式恒成立问题和导数的几何意义，考查运算能力，注重培养数形结合的思想，属于难题. 三、解答题：（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知函数，其中． （1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），证明：函数定义域为R，若是奇函数，则，解得， 此时，，符合题意， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可． （2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 由，则，当且仅当，即时等号成立， 所以，又不等式恒成立，得， 则实数的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点． （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）由平面，平面， 得，又，建立如图空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，故， 且平面PBC，即平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面的法向量满足，即可证明； （2）由（1）可得，利用向量法求点面距即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以点D到平面的距离为 ， 即点D到平面的距离为. 19. 某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. （1）求岸线上点与点之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元） 【答案】（1）米 （2）55076元 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可； （2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值. 【小问1详解】 ， 岸线上点与点之间的直线距离为米. 【小问2详解】 △中，， ，，（）， 设两段网箱获得的经济总收益为元，则 ， 当，即时， （元） 所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元. 20. 如图，棱长为2的正方体中，M、N、P分别是、、的中点. （1）证明：M、N、、B四点共面； （2）求异面直线与MN所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 如图1，连结、、. 由已知可得，，，所以四边形为平行四边形，则. 又M、N分别是、的中点，所以，且， 所以，且. 所以M、N、、B四点共面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知可证明和，即可证明，进而得出结果； （2），所以即等于异面直线与MN所成角，在中，求出各边长，用余弦定理即可求出； （3）根据已知可得，四边形为梯形，，则，根据等体积法可知，求出，即可解出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，连结、、. 因为平面，平面，所以. 因为，是的中点，所以. 又，所以.同理. 在中，.又， 在中，有，，， 由余弦定理可得，. 又，所以异面直线与所成角的大小即等于直线与所成角的大小，即等于. 【小问3详解】 如图3，， 因为，且，且M、N、、B四点共面， 所以四边形为梯形，设梯形高为，则，， 所以. 设到平面即到平面的距离为， 则，，则，且. 因为平面，平面，， 所以到平面的距离等于线段到平面的距离. 又，所以， 所以，. 21. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 【答案】（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数， 理由：函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点； 函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数； （2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围； （3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点， 令，所以， 设， 所以，由可知恒成立， 所以在区间上单调递增， 若满足谷点，则有，解得， 故m的取值范围是. 【小问3详解】 因为， 所以， 若恒成立， 则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意； 因此关于x的方程有两个相异实根，即， 设两根为，且， 因为，所以函数在区间上不为严格增， 但是当时，，为严格增， 所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即， 同理，因为，所以， 因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减， 从而函数的含谷区间必满足， 即， 因为， ， 由得，所以， 由得，所以， 所以， 当时，， 当时，， 因此的最小值为，当时成立. 【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数； （2）根据谷点性质求参数的取值范围； （3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中质量监控试卷 高三年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则___________． 2. 若复数（其中表示虚数单位），则____________． 3. 设，则方程的解集为________ 4. 已知是等差数列的前项和，若，则满足的正整数的值为____________． 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影为___________． 6. 设为常数，若，则函数的图象必定不经过第________象限 7. 已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为___________． 8. 在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：①；②；③；④，其中恒成立的是___________（写出所有恒成立式子的序号） 9. 若直线是曲线的切线，则实数 p 的值为 __________. 10. 如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________． 11. 已知函数，正项等比数列满足，则_________ 12. 设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为________． 二、选择题：（共4小题，13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）. A. B. C. D. 15. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 16. 对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论： ①在区间上优于； ②当时，在区间上优于． 那么（ ） A. ①、②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①、②均错误 三、解答题：（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知函数，其中． （1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点． （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离． 19. 某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. （1）求岸线上点与点之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元） 20. 如图，棱长为2的正方体中，M、N、P分别是、、的中点. （1）证明：M、N、、B四点共面； （2）求异面直线与MN所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （3）求三棱锥的体积. 21. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $