3.2.1单调性与最大（小）值导学案第1课时-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学导学案

人教A版（2019）必修第一册　第三章　函数的概念与性质

3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时　函数的单调性）

班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿　小组：＿＿＿＿　评价：＿＿＿＿

一、学习目标

1. 我能观察函数图象的“上升”“下降”，说出函数的单调性研究的是什么。

2. 我能准确说出增函数、减函数、单调区间的定义，会用符号语言“∀x₁，x₂∈I，当 x₁<x₂ 时，都有 f(x₁)<f(x₂)”描述单调递增。

3. 我能用定义判断、证明简单函数在给定区间上的单调性，会求函数的单调区间。

二、学习重难点

重点：函数单调性的定义，用定义证明函数的单调性。

难点：把图象的“升降”用符号语言“任意 x₁<x₂，都有 f(x₁)<f(x₂)”准确刻画，并规范写出证明过程。

三、知识链接（复习上节课：3.1 函数的概念及其表示）

1. 函数 f(x)=√(x-2) 的定义域是＿＿＿＿＿＿。

2. 已知 f(x)=x²+2x，则 f(-1)=＿＿＿＿，f(2)=＿＿＿＿，f(a)=＿＿＿＿。

3. 函数的三要素是＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿。

四、预习任务（通读课本 P76—P79，完成下面的填空）

1. 设函数 f(x) 的定义域为 D，区间 I⊆D。如果∀x₁，x₂∈I，当 x₁<x₂ 时，都有 f(x₁)＿＿＿＿f(x₂)，那么就称函数 f(x) 在区间 I 上单调＿＿＿＿。

2. 特别地，当函数 f(x) 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是＿＿＿＿。

3. 如果∀x₁，x₂∈I，当 x₁<x₂ 时，都有 f(x₁)＿＿＿＿f(x₂)，那么就称函数 f(x) 在区间 I 上单调递减，这时称它是＿＿＿＿。

4. 如果函数 y=f(x) 在区间 I 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有（严格的）＿＿＿＿，区间 I 叫做 y=f(x) 的＿＿＿＿。

5. 从图象上看，增函数的图象从左往右是＿＿＿＿的。

五、课堂探究

探究一　函数的单调性（知识点1）

【知识点】设 f(x) 的定义域为 D，区间 I⊆D。若∀x₁，x₂∈I，当 x₁<x₂ 时都有 f(x₁)<f(x₂)，则 f(x) 在 I 上单调递增；若都有 f(x₁)>f(x₂)，则 f(x) 在 I 上单调递减。若 f(x) 在 I 上单调递增或单调递减，就说 f(x) 在 I 上具有（严格的）单调性，I 叫做 f(x) 的单调区间。注意：单调性要指明区间，几个单调区间之间不能用“∪”连接。

【例题1】写出下列函数的单调区间：(1) y=2x+1；(2) y=x²-2x。

解：(1) y=2x+1 在 R 上单调递增，单调递增区间是 (-∞,+∞)。(2) y=x²-2x=(x-1)²-1，单调递减区间是 (-∞,1]，单调递增区间是 [1,+∞)。

【即时练习1】写出函数 y=-x²+4x 的单调递增区间和单调递减区间。

【我的发现】判断单调区间，我用的方法是＿＿＿＿＿＿；我发现二次函数的单调区间与它的＿＿＿＿有关。

探究二　用定义证明函数的单调性（知识点2）

【知识点】用定义证明的五个步骤：①取值：设 x₁，x₂∈I，且 x₁<x₂；②作差：算 f(x₁)-f(x₂)；③变形：化成几个因式相乘（相除）的形式；④定号：判断差的正负；⑤结论：由定义下结论。

【例题2】用定义证明函数 f(x)=1/x 在区间 (0,+∞) 上单调递减。

证明：∀x₁，x₂∈(0,+∞)，且 x₁<x₂，则 f(x₁)-f(x₂)=1/x₁-1/x₂=(x₂-x₁)/(x₁x₂)。因为 x₁，x₂∈(0,+∞)，所以 x₁x₂>0；又 x₁<x₂，所以 x₂-x₁>0，于是 f(x₁)-f(x₂)>0，即 f(x₁)>f(x₂)。所以 f(x)=1/x 在区间 (0,+∞) 上单调递减。

【即时练习2】用定义证明函数 f(x)=-2x+1 在 R 上是减函数。

【我的发现】作差后，我通常要把式子变形为＿＿＿＿的形式才好判断符号；如果式中有分式，还要说明分母的＿＿＿＿。

六、当堂检测（3道基础 + 2道提升）

1. 函数 y=x²-4x 的单调递减区间是（　　）

A. (-∞,2]　　B. [2,+∞)　　C. (-∞,-2]　　D. [-2,+∞)

2. 函数 f(x)=-3x+2 在 R 上是＿＿＿＿函数（填“增”或“减”）。

3. 下列说法正确的是（　　）

A. 若 f(1)<f(3)，则 f(x) 是增函数　　B. 增函数的图象从左往右上升

C. 一个函数只能有一个单调递增区间　　D. 若 f(x) 在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上都单调递减，则 f(x) 在 R 上单调递减

4.（提升）若函数 f(x)=x²+2(a-1)x+2 在区间 (-∞,4] 上单调递减，求实数 a 的取值范围。

5.（提升）用定义证明函数 f(x)=x+1/x 在区间 (0,1] 上单调递减。