3.2.1 单调性与最大（小）值（第二课时）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数的最大（小）值，涵盖概念、几何意义及求法，通过核心知识梳理的表格对比建立概念框架，衔接前序单调性知识，以图象法、单调性法、二次函数分类讨论等题型为学习支架，引导学生逐步掌握求最值的方法。 导学案通过分层跟踪训练（基础、能力、拓展）满足不同学生需求，典例精析中方法总结步骤化，结合实际应用题培养数学建模素养，题型覆盖全面且突出二次函数分类讨论难点，助力学生提升数学运算和直观想象能力，适合教师开展分层教学。

3.2.1单调性与最大（小）值 第二课时函数的最大（小）值 【学习目标】 ①理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义； ②能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值； ③能利用函数的最值解决有关的实际应用问题； ④借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养； ⑤利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养. 【学习重点】 ①理解函数最值的概念与几何意义，掌握图象法、单调性法求函数最值； ②熟练求解含参数二次函数闭区间最值并建立函数模型解决利润类实际应用题. 【学习难点】 精准理解最值定义里 “任意性、存在性” 的逻辑，合理分类讨论动轴定区间、定轴动区间的二次函数最值. 一、核心知识梳理（必背必会） 函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：，都有 ，使得 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 几何意义 图象上最高点的纵坐标 图象上最低点的纵坐标 二、典例精析 题型1 图象法求函数的最值 例1 已知函数，求函数的最大值、最小值. 思路分析：分别画出两段函数的图像，观察图像上点的纵坐标，最高点纵坐标就是最大值，最低点纵坐标就是最小值. 规范解答： 当时，，是开口向上 抛物线顶点，左端点，右端点； 当时，单调递减，时，左端点为空心点，时，； 由此得到函数图象，如图： 观察图象的纵坐标：图象上最高位置点，纵坐标为2；图象上最低位置，纵坐标为； 所以函数的最大值为，最小值为. 方法总结：用图象法求函数最值的基本步骤 （1）作：作出函数图象； （2）找：在图象上找到最高点和最低点的纵坐标； （3）定：确定函数的最大（小）值. 题型2单调性求函数的最值 例2．已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 思路分析：(1) 单调性定义证明：取值→作差→变形→判号→结论，先分离常数预判单调性. （2）单调函数在端点取得最值，直接代入端点计算即可. 规范解答： 在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (2) 由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 反思领悟： （1）利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤 ①判断函数的单调性；②利用函数的单调性求出最大（小）值. （2）函数的最大（小）值与单调性的关系 ①若函数在区间上单调递增（减），则函数在区间上的最小（大）值是，最大（小）值是； ②若函数在区间上单调递增（减），在区间上单调递减（增），则函数在区间上的最大（小）值是，最小（大）值是. 题型3 二次函数的最值问题 类型1 “轴定区间定”问题 例3函数在上的值域为__________． 答案： 思路分析：先根据函数的性质和图象分析函数在区间内的单调性，再求出端点及对称轴的函数值，进而得出函数在区间上的值域． 规范解答 函数开口向上，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值， ， 在上的值域为． 故答案为：． 方法总结： （1）闭区间二次函数值域步骤：配方找对称轴→判断对称轴是否在区间内→计算顶点、两端点函数值→比较大小，写出值域； （2）开口向上：顶点是区间最小值，最大值在离对称轴更远的端点；开口向下：顶点是区间最大值，最小值在离对称轴更远的端点. 类型2 “轴动区间定”问题 例4．已知函数 (1)若在区间上是单调函数，求实数m的取值范围； (2)试求在区间上的最大值 思路分析： （1）根据二次函数的性结合函数在区间上是单调函数求出实数的取值范围； （2）根据二次函数的性质，结合函数单调性对对称轴与区间位置关系分情况讨论得出． 规范解答：（1）图象开口向上，对称轴为，在区间上是单调函数， 或，即或， 实数m的取值范围为或． （2），函数图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增，最大值为； 当，即时，在区间上单调递减，最大值为； 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若，即时，，故函数最大值为， 若，即时，，故函数最大值为， 综上所述，． 方法总结 （1）动轴定区间模型：二次函数对称轴含参数，区间固定。 （2）闭区间单调条件：对称轴全部落在区间左边 或 全部落在区间右边。 （3）开口向上：最大值看两端点，谁离对称轴远谁更大；最小值看对称轴是否落入区间。 以一元二次函数图象开口向上，对称轴为为例，若区间为，则 ①；② 类型3 “轴定区间动”问题 例5．设，，，则函数的最小值的解析式为__________. 答案： 思路分析：利用配凑法可得函数的解析式，分情况讨论函数单调性与最值情况，即可得解. 规范解答： 由已知，， 则，， 又函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当，即时，函数在上单调递减， 则的最小值为，即此时； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，即此时； 当时，函数在上单调递增， 则的最小值为，即此时； 综上所述. 故答案为：. 方法总结 （1）定轴动区间模型：对称轴固定，区间长度或端点含参数；核心判断：对称轴与动区间的位置关系。 （2）开口向上二次函数最小值： ①区间整体在对称轴左边：最小值在区间右端点； ②对称轴落在区间内：最小值在顶点； ③区间整体在对称轴右边：最小值在区间左端点； ④边界处带上等号，分界点放任意一侧都可以. 题型4根据函数最值求参数范围 例6（1）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 答案：D 思路分析：将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 规范解答：因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. （2）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 答案：B 思路分析：先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 规范解答：设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 方法总结：恒能成立问题最值转化 若对于区间上的任意，恒成立，则； 若对于区间上的任意，恒成立，则； 若在区间上存在，使得成立，则； 若在区间上存在，使得成立，则 题型5最值在实际问题中的应用 例7.某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 思路分析： （1）根据给定条件，分段列式求出函数解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式分段求解即得最大值. 规范解答： （1）由每件产品的售价均为万元，得x千件产品的销售收入为万元，                                 当时，；                     当时，，               所以年利润关于年产量x的函数解析式为. （2）当时，，   函数在上单调递增， 此时（万元）；       当时，，                           当且仅当，即时取等号，而， 所以当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． 方法总结 （1）利润模型公式：利润=总收入-固定成本-可变成本；产量分段，利润也要写分段函数； （2）分段求最值：每一段分别求该段的最大值，再比较各段最大值得到全局最大值； （3）二次函数：看对称轴是否落在对应区间，判断单调性求最值； （4）对勾函数，用基本不等式求最值，必须验证等号成立的自变量是否在定义域内； （5）应用题最后实际要求作答. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：必要性：若的值域为，则在定义域上的最大值为1，最小值为-1，则必要性成立， 充分性：若在定义域上的最大值为1，最小值为-1， 取，满足题意，但的值域为，则充分性不成立， 故“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的必要不充分条件． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 3．若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 答案：A 解析：∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在上的最大值会在区间的端点或处取到， 又，，若，则， 此时对称轴，且，符合条件； 若，则，此时对称轴，且，符合条件， 综上所述，或1. 4．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．120元 B．150元 C．180元 D．210元 答案：B 解析：，所以当x＝150时，y取最大值． 故选：B 5．函数在区间上的最小值为______． 答案：1 解析：因为二次函数开口向下，对称轴为，且， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数在区间上的最小值为. 6．中美关系日趋严峻，为此各相关企业在积极拓展市场的同时，也积极进行企业内部细化管理，某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本（单位：万元）与货物量（单位：吨）满足函数关系式，单次装箱收入（单位：万元）与货物量的函数关系式，已知单次装箱的利润，且当时，,则单次装箱利润最大值为______． 答案：6 解析：由题意可得单次装箱的利润与货物量的函数关系式为， 因为当时，,即，解得， 即， 当时，为单调递减函数， 故当时，的最大值为， 当时，， 当且仅当 ，即时，取最大值， 综上所述，当每日产量为吨时，单次装箱利润取得最大值， 故答案为： 7．已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 解析：（1）当时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. （2），开口向上，对称轴为， 所以，当时，在上单调递增，故，解得，满足； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故，即，方程无解； 当时，在上单调递减，故，解得，不满足； 综上，当时，函数在上的最小值为2. 8．已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． 解析：由得， 当，即时， 的最小值为； 当，即时，在上为增函数， 所以最小值为； 当，即时，在上为减函数， 所以最小值为． 于是 当时，， 当，，一个开口向下的一元二次函数， 其对称轴，， 因此在内，； 当，，，其为一个减函数， 因此在，. 综上在处取得最大值为． 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 答案：D 解析：因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 10．已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：当时，，当且仅当时取等号. 即， 当时，在上单调递减，此时， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 11．函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 答案： 解析：若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 12．已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 解析：（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 答案： 解析：对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 14．若函数的最小值为4，则实数的所有取值之和为__________. 答案：4 解析：表示数轴上动点到定点、、的距离之和， 对于奇数个绝对值相加，距离和的最小值在中间点（中位数）处取得， 分情况讨论： 当时，三个点排序为，最小距离和为， 令，解得； 当时，三个点排序为，最小距离和，不合题意，舍去； 当时，三个点排序为，最小距离和为， 令，解得； 的所有取值为和，取值之和为. 四、课时小结 （1）基础概念：掌握函数最值的定义与几何意义，学会图象法、单调性法两种基础求最值手段； （2）核心题型：熟练分三类讨论含参数二次函数区间最值，掌握恒成立、有解类参数问题的最值转化思路； （3）综合应用：能根据实际利润场景建立分段函数，结合二次函数、基本不等式求解实际最值问题. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1单调性与最大（小）值 第二课时函数的最大（小）值 【学习目标】 ①理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义； ②能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值； ③能利用函数的最值解决有关的实际应用问题； ④借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养； ⑤利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养. 【学习重点】 ①理解函数最值的概念与几何意义，掌握图象法、单调性法求函数最值； ②熟练求解含参数二次函数闭区间最值并建立函数模型解决利润类实际应用题. 【学习难点】 精准理解最值定义里 “任意性、存在性” 的逻辑，合理分类讨论动轴定区间、定轴动区间的二次函数最值. 一、核心知识梳理（必背必会） 函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：，都有 __ __ ，使得__________ 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 几何意义 图象上最高点的______ 图象上最低点的_______ 二、典例精析 题型1 图象法求函数的最值 例1 已知函数，求函数的最大值、最小值. 方法总结：用图象法求函数最值的基本步骤 （1）作：作出函数图象； （2）找：在图象上找到最高点和最低点的纵坐标； （3）定：确定函数的最大（小）值. 题型2单调性求函数的最值 例2．已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 反思领悟： （1）利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤 ①判断函数的单调性；②利用函数的单调性求出最大（小）值. （2）函数的最大（小）值与单调性的关系 ①若函数在区间上单调递增（减），则函数在区间上的最小（大）值是，最大（小）值是； ②若函数在区间上单调递增（减），在区间上单调递减（增），则函数在区间上的最大（小）值是，最小（大）值是. 题型3 二次函数的最值问题 类型1 “轴定区间定”问题 例3函数在上的值域为__________． 方法总结： （1）闭区间二次函数值域步骤：配方找对称轴→判断对称轴是否在区间内→计算顶点、两端点函数值→比较大小，写出值域； （2）开口向上：顶点是区间最小值，最大值在离对称轴更远的端点；开口向下：顶点是区间最大值，最小值在离对称轴更远的端点. 类型2 “轴动区间定”问题 例4．已知函数 (1)若在区间上是单调函数，求实数m的取值范围； (2)试求在区间上的最大值 方法总结 （1）动轴定区间模型：二次函数对称轴含参数，区间固定。 （2）闭区间单调条件：对称轴全部落在区间左边 或 全部落在区间右边。 （3）开口向上：最大值看两端点，谁离对称轴远谁更大；最小值看对称轴是否落入区间。 以一元二次函数图象开口向上，对称轴为为例，若区间为，则 ①；② 类型3 “轴定区间动”问题 例5．设，，，则函数的最小值的解析式为__________. 方法总结 （1）定轴动区间模型：对称轴固定，区间长度或端点含参数；核心判断：对称轴与动区间的位置关系。 （2）开口向上二次函数最小值： ①区间整体在对称轴左边：最小值在区间右端点； ②对称轴落在区间内：最小值在顶点； ③区间整体在对称轴右边：最小值在区间左端点； ④边界处带上等号，分界点放任意一侧都可以. 题型4根据函数最值求参数范围 例6（1）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． （2）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 方法总结：恒能成立问题最值转化 若对于区间上的任意，恒成立，则； 若对于区间上的任意，恒成立，则； 若在区间上存在，使得成立，则； 若在区间上存在，使得成立，则 题型5最值在实际问题中的应用 例7.某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 方法总结 （1）利润模型公式：利润=总收入-固定成本-可变成本；产量分段，利润也要写分段函数； （2）分段求最值：每一段分别求该段的最大值，再比较各段最大值得到全局最大值； （3）二次函数：看对称轴是否落在对应区间，判断单调性求最值； （4）对勾函数，用基本不等式求最值，必须验证等号成立的自变量是否在定义域内； （5）应用题最后实际要求作答. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 4．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．120元 B．150元 C．180元 D．210元 5．函数在区间上的最小值为______． 6．中美关系日趋严峻，为此各相关企业在积极拓展市场的同时，也积极进行企业内部细化管理，某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本（单位：万元）与货物量（单位：吨）满足函数关系式，单次装箱收入（单位：万元）与货物量的函数关系式，已知单次装箱的利润，且当时，,则单次装箱利润最大值为______． 7．已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 8．已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 10．已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 11．函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 12．已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 14．若函数的最小值为4，则实数的所有取值之和为__________. 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $