3.1.3第二课时函数的奇偶性导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

学案导学 编号：qyj-bx1-3-9 3.1.3第二课时　函数奇偶性的应用（解析） 课堂讲练 性质探究： 1、单调性： 【探究1】若奇函数在区间[a ,b]是增（减）函数，则函数在区间[－b ,-a]上是单调性如何？ 若函数为偶函数呢？ 【答案】奇函数在 对称区间 上的单调性与 相同（同为增函数或同为减函数）； 偶函数在对称区间 上的单调性与 相反。 【结论】奇函数的图像关于原点对称，在关于原点对称的两个区间上单调性一致；偶函数的图像关于 轴对称，在对称区间上单调性相反。 2、关于f(0) 【探究2】若奇函数在在x=0处有意义，f(0)的值是一个常数吗？偶函数呢？如何证明？ 【答案】奇函数：若 属于定义域，则 （唯一确定，是常数）；偶函数： 不一定是常数，可随函数不同而取不同值。 【结论】奇函数情形：由奇函数定义，对定义域内任意 恒有 。 取 （ 在定义域内），得，即 ，移项得 ，故 。 偶函数， 不是常数。 3、关于既奇又偶函数 【探究3】若函数在区间D上既是奇函数，又是偶函数，则有什么特点？ 【答案】 在区间 上恒等于 ，即 （零函数）。 【结论】在关于原点对称的区间 上，既奇又偶的函数只能是零函数 （），其图像是与 轴重合的直线（或线段）。 题型探究： 一、利用奇偶性求解析式 例1 若f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求f(x)在R上的的解析式. 解　当x<0时，-x>0，则f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3.当x=0时，f(0)=0. 故f(x)= 1-1设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)= x2 - x，求函数f(x)的解析式; 解　设任意x>0，则-x<0，∴f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x. 又f(x)是R上的偶函数，∴f(x)=f(-x)=x2+x.又∵f(x)的定义域为R，综上，f(x)= 1-2设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)， 由f(x)+g(x)=，①用-x代替x，得f(-x)+g(-x)=，∴f(x)-g(x)=，② (①+②)÷2，得f(x)=;(①-②)÷2，得g(x)=. 1-3设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，由f(x)+g(x)=2x+x2.① 用-x代替x，得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2，∴f(x)-g(x)=-2x+x2，② (①+②)÷2，得f(x)=x2;(①-②)÷2，得g(x)=2x. 二、函数奇偶性与单调性的应用 例2 已知函数y=f(x)在[-1，1]上既是奇函数，又是减函数，若f(1-a2 )+f(1-a)<0， 求实数a的取值范围. 解　由f(1-a2)+f(1-a)<0，得f(1-a2)<-f(1-a).∵y=f(x)在[-1，1]上是奇函数， ∴-f(1-a)=f(a-1)，∴f(1-a2)<f(a-1).又∵f(x)在[-1，1]上单调递减， ∴ ∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0，1). 2-1 设定义在[-2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1-m)<g(m)成立，求m的取值范围. 解　∵g(x)在[-2，2]上为偶函数，且x≥0时，g(x)为减函数， ∴g(1-m)<g(m)⇔g(|1-m|)<g(|m|)，∴∴∴-1≤m<. 即m的取值范围为. 2-2.设a∈R，已知函数y=f(x)是定义域[-4，4]上的奇函数，且在[0，4]上是减函数，且f(a+1)>f(2a)，则a的取值范围是　　　　.  答案　(1，2] 解析　∵y=f(x)的定义域是[-4，4]，且为奇函数且在[0，4]上是减函数，∴y=f(x)在[-4，0]上是 减函数，∴y=f(x)在[-4，4]上是减函数.又∵f(a+1)>f(2a)，∴解得1<a≤2. 三、简单函数的对称性 例3求证:二次函数f(x)=-x2+4x+3关于x=2对称. 证明　任取h∈R., 因为f(2+h)=-(2+h)2+4(2+h)+3=-h2+7， f(2-h)=-(2-h)2+4(2-h)+3=-h2+7，所以f(2+h)=f(2-h)，即函数f(x)=-x2+4x+3关于x=2对称. 3-1求证:函数f(x)=的图象关于点(1，0)对称. 证明　任取h≠1.因为f(1+h)==，f(1-h)==，所以f(1+h)+f(1-h)=-=0， 即函数f(x)=的图象关于点(1，0)对称. 思维升华　 (1)若求证函数关于x=a对称，只需证明f(a+x)=f(a-x). (2)若求证函数关于(a，b)对称，只需证明f(a+x)+f(a-x)=2b. 课后练 1.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则当x<0时，f(x)=(　　) A.-x2-2x B.-x2+2x C.x2+2x D.以上都不对 答案　A 解析　设x<0，则-x>0，又f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-(x2+2x)=-x2-2x. 2.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是(　　)A.f(-3)>f(-1) B.f(0)<f(5) C.f(-1)<f(3) D.f(2)>f(0) 答案　AC 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(-3)=f(3)，f(-1)=f(1)， 又f(3)>f(1)，∴f(-3)>f(-1)，f(3)>f(-1)都成立.B、D不一定成立. 3.如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 答案　A 解析　∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[1，3]上的单调性与[-3，-1]上一致且f(1)为最小值， 又f(-1)=5，∴f(-1)=-f(1)=5，∴f(1)=-5. 4.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意得|2x-1|<，∴-<2x-1<，∴<2x<，∴<x<. 5.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，则下列结论正确的是(　　) A.|f(x)|≥2 B.当x<0时，f(x)=-x2-2x-3 C.x=1是f(x)图象的一条对称轴 D.f(x)在(-∞，-1)上单调递增 答案　BD 解析　当x>0时，f(x)=x2-2x+3，而函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0，A错误; 当x<0时，f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)+3]=-x2-2x-3，B正确; 因为f(2)=22-2×2+3=3≠f(0)， 故x=1不是f(x)图象的对称轴，C错误; 因为当x<0时，f(x)=-(x+1)2-2，因此函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增，D正确. 6.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(-∞，0]上单调递减，则(　　) A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) 答案　BD 解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(-∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，g(x)在[0，+∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减， 所以f(1)<f(2)，g(0)=0>g(1)>g(2)，所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))， 所以B、D正确，C错误;若|f(1)|>|f(2)|，则f(f(1))>f(f(2))，A错误. 7.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)的大小关系是　　　　.  答案　f(-2)<f(1)<f(0) 解析　∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)恒成立，即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立， ∴m=0，即f(x)=-x2+12.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，+∞)上单调递减， ∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(-2)<f(1)<f(0). 8.已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=3x+，则f(x)=　　　　.  答案　3x+ 解析　因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)， 所以即因此f(x)=3x+. 9.设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b. (1)求b值; (2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)+f(m-1)>0，求实数m的取值范围. 解　(1)∵函数f(x)是定义在[-2，2]上的奇函数，∴f(0)=0，解得b=0(经检验符合题意). (2)∵函数f(x)在[0，2]上是增函数，又f(x)是奇函数，∴f(x)在[-2，2]上是增函数. ∵f(m)+f(m-1)>0，∴f(m-1)>-f(m)=f(-m)， ∴解得<m≤2，∴实数m的取值范围为. 10.已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)求实数a，b的值; (2)若对于任意的x∈[-2，2]，不等式f(x)>c恒成立，求实数c的取值范围. 解　(1)因为f(x)=是定义在R上的奇函数，则f(-1)=-f(1)，f(-2)=-f(2)， 得到解得a=-1，b=2，经检验a=-1，b=2满足题意. (2)由(1)知f(x)=当x∈[-2，0)时，f(x)=x2+2x， 又f(x)=x2+2x的对称轴为x=-1，所以当x∈[-2，0)时，f(x)∈[-1，0]; 当x∈[0，2]时，f(x)=-x2+2x，又f(x)=-x2+2x的对称轴为x=1， 所以当x∈[0，2]时，f(x)∈[0，1]，函数图象如图所示. 故不等式f(x)>c恒成立时，c<-1，所以实数c的取值范围为(-∞，-1). 11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系; (2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数m的取值范围. 解　(1)∵a>b，∴a-b>0，由题意得>0，∴f(a)+f(-b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(-b)=-f(b)，∴f(a)-f(b)>0，即f(a)>f(b). (2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，且为奇函数， ∵f(1+m)+f(3-2m)≥0，∴f(1+m)≥-f(3-2m)，即f(1+m)≥f(2m-3)， ∴1+m≥2m-3，∴m≤4.∴实数m的取值范围为(-∞，4]. 1 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 编号：qyj-bx1-3-9 3.1.3第二课时　函数奇偶性的应用 课堂讲练 学习目标 1.会利用函数的奇偶性求解析式。2.理解函数奇偶性对单调性的影响。 3.会判断简单函数的对称性。 性质探究： 1、单调性： 【探究1】若奇函数在区间[a ,b]是增（减）函数，则函数在区间[－b ,-a]上是单调性如何？ 若函数为偶函数呢？ 结论： 2、关于f(0) 【探究2】若奇函数在在x=0处有意义，f(0)的值是一个常数吗？偶函数呢？如何证明？ 结论： 3、关于既奇又偶函数 【探究3】若函数在区间D上既是奇函数，又是偶函数，则有什么特点？ 结论： 题型探究： 一、利用奇偶性求解析式 例1 若f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求f(x)在R上的的解析式. 1-1设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)= x2 - x，求函数f(x)的解析式; 1-2设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=，求函数f(x)，g(x)的解析式. 1-3设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)，g(x)的解析式. 二、函数奇偶性与单调性的应用 例2 已知函数y=f(x)在[-1，1]上既是奇函数，又是减函数，若f(1-a2)+f(1-a)<0，求实数a的取值范围. 2-1 设定义在[-2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1-m)<g(m)成立，求m的取值范围. 2-2.设a∈R，已知函数y=f(x)是定义域[-4，4]上的奇函数，且在[0，4]上是减函数，且f(a+1)>f(2a)，则a的取值范围是　　　　.  三、简单函数的对称性 例3求证:二次函数f(x)=-x2+4x+3关于x=2对称. 3-1求证:函数f(x)=的图象关于点(1，0)对称. 思维升华　 (1)若求证函数关于x=a对称，只需证明f(a+x)=f(a-x). (2)若求证函数关于(a，b)对称，只需证明f(a+x)+f(a-x)=2b. 课后练 1.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则当x<0时，f(x)=(　　) A.-x2-2x B.-x2+2x C.x2+2x D.以上都不对 2.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是(　　) A.f(-3)>f(-1) B.f(0)<f(5) C.f(-1)<f(3) D.f(2)>f(0) 3.如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 4.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 5.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，则下列结论正确的是(　　) A.|f(x)|≥2 B.当x<0时，f(x)=-x2-2x-3 C.x=1是f(x)图象的一条对称轴 D.f(x)在(-∞，-1)上单调递增 6.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(-∞，0]上单调递减，则(　　) A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) 7.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)的大小关系是　　　　.  8.已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=3x+，则f(x)=　　　　.  9.设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b. (1)求b值; (2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)+f(m-1)>0，求实数m的取值范围. 10.已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)求实数a，b的值; (2)若对于任意的x∈[-2，2]，不等式f(x)>c恒成立，求实数c的取值范围. 11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系; (2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $