精品解析：广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024-2025学年第一学期高一年级第二次月考数学试题

惠阳华附 2024-2025 学年第一学期高一年级第二次月考 数学试题 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 1-11 题，共 58 分，第 II 卷为 12-19 题，共 92 分．全卷共计 150 分． 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回．考试时间为 120 分钟． 第 I 卷（选择题） 一、单选题（本题有 8 小题，每题 5 分，共 40 分，每题只有一个正确答案） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 函数，满足：对任意都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．） 9. 下列四组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）． A. 函数为增函数 B. 当时， C. 函数为偶函数 D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域是 B. 若函数，则 C. 设函数，则为奇函数 D. 已知函数是定义在的偶函数，，且当时，，则 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（本题有 3 小题，每题 5 分，共 15 分，其中 14 题为双空题，第一个空 3 分，第二个空 2 分） 12. 函数的定义域为______ 13. 函数（，）的图象经过定点，若点也在函数的图象上，则______. 14. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数t的取值范围是____________，设，则______. 四、解答题（本题有 5 小题，共 77 分，写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知函数 f(x)=（ 且 ）的图象过点 ． （1）求 a 的值； （2）求不等式 的解集． 17. 全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18. 杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完． （1）求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？ 19. 已知函数. （1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若恒成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳华附 2024-2025 学年第一学期高一年级第二次月考 数学试题 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 1-11 题，共 58 分，第 II 卷为 12-19 题，共 92 分．全卷共计 150 分． 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回．考试时间为 120 分钟． 第 I 卷（选择题） 一、单选题（本题有 8 小题，每题 5 分，共 40 分，每题只有一个正确答案） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，则. 故选：A. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简求值可比较大小. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：C. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由，得或，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 函数的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】变形条件，再运用基本不等式计算即可. 【详解】， 故最小值是4,当且仅当，解得.时,取得最小值. 故选：A 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】函数，令，即，解得或， 所以的定义域为， 又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故选：C 7. 函数，满足：对任意都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数为增函数且的函数值不大于时的函数值列不等式组求解即可； 【详解】因为对任意都有成立， 所以在定义域上为递增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出等式，化简后即可求解. 【详解】由题意知是，， 代入公式，可得， 则，两边同时取对数得， 即，则，故C正确. 故选：C. 二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．） 9. 下列四组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义以及判定方法和步骤去分析即可解决. 【详解】对于A：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A不正确； 对于B：要使函数有意义，则，解得或， 所以该函数定义域为； 要使函数有意义，则，解得， 所以该函数定义域为. 所以两个函数定义域不同，不是同一函数，故B不正确； 对于C：两个函数定义域均为R，因为，所以两个函数对应法则相同，是同一函数，故C正确； 对于D： 两个函数定义域均为R，因为，所以两个函数对应法则相同，是同一函数，故D正确； 故选：CD. 10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）． A. 函数为增函数 B. 当时， C. 函数为偶函数 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数的性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，则，解得，， 对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，函数的定义域为，，函数为偶函数，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：CD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域是 B. 若函数，则 C. 设函数，则为奇函数 D. 已知函数是定义在的偶函数，，且当时，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的值域判断A；利用配凑法求出解析式判断B；判断函数的奇偶性判断C；利用偶函数性质计算判断D. 【详解】对于A，令，则，函数在上单调递增， 其值域为，因此函数的值域是，A正确； 对于B，函数，因此，B正确； 对于C，由，得为非奇非偶函数，C错误； 对于D，函数是定义在的偶函数，且当时，， ，解得，则，D正确. 故选：ABD 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（本题有 3 小题，每题 5 分，共 15 分，其中 14 题为双空题，第一个空 3 分，第二个空 2 分） 12. 函数的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义， 则满足，可得，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 函数（，）的图象经过定点，若点也在函数的图象上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数的性质求得，代入的解析式，求得，进而求得. 【详解】由，解得，，所以， 所以， 所以，所以. 故答案为： 14. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数t的取值范围是____________，设，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出函数的图象，结合图象找到，，然后利用、可得答案. 【详解】有四个不同的零点，即方程有四个不同的解， 函数的图象如下图，且与的交点的横坐标为， 与的交点的横坐标为， 由图可知， 由二次函数的对称性，可得， 由，得， 即，得，所以，故. 故答案为：①；②-8. 【点睛】本题考查了函数零点的问题，解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．考查了数形结合思想. 四、解答题（本题有 5 小题，共 77 分，写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，，. 所以原式 . 【小问2详解】 因为. ，. 所以原式 . 16. 已知函数 f(x)=（ 且 ）的图象过点 ． （1）求 a 的值； （2）求不等式 的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把图象过的点坐标代入函数解析式，即可求出； （2）结合函数的定义域和单调性求解不等式. 【小问1详解】 由的图象过点 ，得 ，即 ，又 且 ，故 . 【小问2详解】 由（1）得，定义域为 ，且在定义域上单调递增， 由得，解得， 故不等式的解集为. 17. 全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A、B，结合并集的概念和运算即可求解； （2）根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合补集的定义和运算与充分条件、必要条件的概念即可求解. 【小问1详解】 ， 当时， 所以； 【小问2详解】 由，得， 所以集合， 因为是的充分不必要条件， 所以是的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得． 即实数a的取值范围是． 18. 杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完． （1）求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】（1） （2）9；9.5万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可列出利润与产量的函数关系式. （2）根据（1）中的关系式分类讨论和时的产量，并分别利用二次函数求最值和基本不等式求最值求出利润最大值. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以： 【小问2详解】 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为8.5万元． 当时， 当且仅当，即时，取得最大值，最大值为9.5万元． 综上，当产量为9万件时，该工厂在生产中所获得利润最大，最大利润为9.5万元. 19. 已知函数. （1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） 函数是增函数，任取，不妨设 ， ， ∵， ∴，又， ∴，即， ∴函数是上的增函数. （2） 函数为奇函数，证明如下： 由解析式可得：，且定义域为关于原点对称， ， ∴函数是定义域内的奇函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取，设，然后判断与0的大小，即可确定单调性. （2），直接利用函数奇偶性的定义判断； （3）利用函数是奇函数，将题设不等式转化为，再利用是上的单调增函数求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由等价于， ∵是上的单调增函数， ∴，即恒成立， ∴，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $