精品解析：广东惠州市惠阳区第一中学高中部2024-2025学年第一学期高一年级第一次质量检测数学试卷

惠阳区第一中学高中部 2024—2025 学年第一学期高一年级 第一次质量检测数学试卷 （考试时间：120 分钟　试卷满分：150 分）　 一、单项选择题（本大题有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解集合，结合交集的运算求解即可. 【详解】不等式，即，解得，即. 所以. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】原命题为全称命题，其否定需将全称量词改为存在量词，且否定结论. 所以命题的否定是. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解. 【详解】由图可知：阴影部分表示的集合为. 因为集合， 所以， 则， 所以阴影部分表示的集合的子集个数为. 故选：B. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零，二次根式的性质进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可得： 故选：B. 5. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 6. 已知函数，则当时，的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由， 得，即，所以或， 即的范围为. 7. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解的最小值，然后利用恒成立法则转化为，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以由恒成立，得，所以. 故选：D. 8. 如图，线段，相交于，且，，，长度构成集合，，求的取值个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的性质得到最长，结合集合元素的性质即勾股定理分情况求解即可. 【详解】因为，所以，，则. 过点作，交的延长线于点， 则四边形为平行四边形，所以，. 在中，，， 所以， 故最长，即只能是9或. 当时，，的长度为集合中的三个数. 若，则分别为5或，所以， 整理得，解得. 因为，符合题意. 若，则分别为1或，所以， 整理得，解得. 因为，符合题意. 若，则分别为1或5，所以， 整理得，解得. 因为，符合题意. 当时，，的长度为集合中的三个数. 若，则分别为5或9，所以，解得. 因为，符合题意. 若，则分别为1或9，所以，解得. 因为，符合题意. 若，则分别为1或5，所以，解得. 因为，符合题意. 综上，的取值为，，，，，，共6个. 二、多项选择题（本大题有 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由作差法，举特例结合题设可判断选项正误. 【详解】对于A，，易得，则，A错误； 对于B，取，则，B错误； 对于C，，易得，则，C正确； 对于D，，易得， 则，D正确. 10. 下列两个函数是相同函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数的定义域和对应法则、判断函数是否相同的方法分析运算判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项B，， 两函数定义域和对应法则相同，故为相同函数，故B正确； 对于选项C，与定义域不同， 故不是相同函数，故C错误； 对于选项D，，函数的定义域、对应法则均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：BD． 11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题有 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数单调性求解值域. 【详解】 开口向上，对称轴为, 函数单调递减，函数单调递增， 当时，, 当时，, 所以. 故答案为： 13. 已知，则的最小值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】由题得，利用基本不等式得到，解不等式即得解. 【详解】由题得， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以或（舍去） 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为9. 故答案为：9 四、解答题（本大题有 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）求不等式的解集； （2） 解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【详解】（1）不等式等价于且， 即且， 解得. 所以原不等式的解集为. （2）原不等式可化为， 对应方程的两根为，. 因为，所以两根的大小关系取决于的符号. ①当时，，解得； ②当时，原不等式化为，无解； ③当时，，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 16. 已知 ，命题 ；命题 . （1）若 是假命题，求 的取值范围； （2）若 与 中恰有一个为真命题，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是假命题，可得为真命题，据此可得答案； （2）先分别求解命题为真时对应的参数的取值范围，再结合命题否定的真假等价关系、“恰有一真”的逻辑分类，联立求解对应的取值范围. 【小问1详解】 因 是假命题，则为真命题，  易得函数在上单调递增， 则，从而， 即的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）可得为真命题时，，则为假命题时，； 命题为真命题时，则方程有解， 从而可得， 则命题为假命题时，. 则当真假时，可得； 当假真时，. 综上可得：. 17. 已知函数，满足． （1）求的值； （2）若，求的解析式与最小值． 【答案】（1）11； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，取代入计算作答. （2）求出的解析式，再利用配凑法求出的解析式，并求出最小值作答. 【小问1详解】 因为函数，满足， 所以当时，. 【小问2详解】 由，得，于是， 即，因此，当时，， 所以的解析式是，最小值为. 18. 已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ （1）是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） （2）请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【答案】（1）不存在，理由如下： 若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据是成立的充要条件可得，再根据不等式区间端点对应相等列式求解即可； （2）根据充分与必要条件可得集合的包含关系，再根据区间端点满足的不等式列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 19. 已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． （1）若，求的取值范围； （2）若为两个整数根，为整数，且，求； （3）若满足，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得二次项系数不为0且判别式大于0，列出不等式即可求解. （2）由题意首先得到，，再结合均为整数，即可得的值，分类讨论解一元二次方程即可求解. （3）结合韦达定理以及判别式大于0，解一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解，则，解得且， 所以的范围是 . 【小问2详解】 依题意：（否则方程没有两个实数根），且有， ，， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． 【小问3详解】 ，方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，∴． 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳区第一中学高中部 2024—2025 学年第一学期高一年级 第一次质量检测数学试卷 （考试时间：120 分钟　试卷满分：150 分）　 一、单项选择题（本大题有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 6. 已知函数，则当时，的范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，线段，相交于，且，，，长度构成集合，，求的取值个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题（本大题有 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列两个函数是相同函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 三、填空题（本大题有 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 函数的值域为__________． 13. 已知，则的最小值为____________ 14. 已知，则的最小值为__________． 四、解答题（本大题有 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）求不等式的解集； （2） 解关于的不等式. 16. 已知 ，命题 ；命题 . （1）若 是假命题，求 的取值范围； （2）若 与 中恰有一个为真命题，求 的取值范围. 17. 已知函数，满足． （1）求的值； （2）若，求的解析式与最小值． 18. 已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ （1）是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） （2）请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 19. 已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． （1）若，求的取值范围； （2）若为两个整数根，为整数，且，求； （3）若满足，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $