专题3.2 空间向量基本定理（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题3.2 空间向量基本定理 教学目标 1.经历由平面向量基本定理向空间推广的过程，理解空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底. 2.理解共面向量定理及其推论，掌握判断空间中向量共面、点共面的基本方法. 3.掌握空间向量基本定理的内容，会用一组基底表示空间中的任意向量，理解表示系数的唯一性. 4.会用基底法解决立体几何中的平行、共面、线段比值与体积等问题. 教学重难点 1.重点 （1）共面向量定理及其推论；（2）空间向量基本定理与基底表示法； 2.难点 （1）系数唯一性的理解与“封闭图形”思想；（2）把几何条件翻译成向量等式； 知识点01 共线向量、共面向量定理 1.共线（平行）向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2.共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． (1) 共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使，若在上取，则. (2) 拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中. 3.共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. （1）空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． （2）四点共面（其中不共线）且． 【即学即练】 1．(26-27高二上·河北邯郸冀南新区凌云中学·月考)对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 【答案】A 【详解】分两种情况讨论： 若共线，则均为共线向量，而共线向量必然是共面向量， 若不共线，则可作为平面内的一组基底，是的线性组合， 根据共面向量定理，三个向量共面， 综上，一定是共面向量. 2．(讲义·第1讲 二维升三维)已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 【答案】D 【详解】对于A，因为，为共线向量，所以，则，即与共线，所以A正确， 对于B，因为空间中任意两个向量必定共面，所以B正确， 对于C，由A可知，与共线，所以，，共面，所以C正确， 对于D，与不一定共线，所以D错误. 故选：D. 3．(25-26高二下·江苏南京师范大学附属中学·阶段测试)已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 4．(25-26高二上·四川绵阳·期末)（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点， 因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直， 由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 5．(26-27高二上·广西平南县中学等校·期中联考)若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得. 知识点02 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2.基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【即学即练】 1．(26-27高二上·福建厦门大学附属科技中学·期中)在正方体中，能与向量，构成空间的一组基底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 能构成基底的三个向量不共面，能与向量，构成空间的一组基底， 就是不在平面内或与平面平行的向量，而平面就是平面, 选项A，//，所以不能构成基底，A错误； 选项B，C，，都在平面内，B，C错误； 选项D， 平面，不在平面内，所以可以和向量，构成空间的一组基底，选项D正确. 2．(24-25高三下·上海黄浦区·高考模拟)如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 3．(26-27高二上·广西南宁宾阳中学·月考)在平行六面体中，（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示： ． 题型01 共面向量判定与求参 【典例1】(24-25高二下·江苏连云港高级中学·期中)（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 【变式1】(25-26高二上·北京朝阳区·期末)设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由与共线，所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 【变式2】(25-26高三上·江苏盐城七校联盟·学情检测)向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 【变式3】(24-25高二上·新疆喀什莎车县第九中学·月考)在四面体中，空间的一点满足．若共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在四面体中，不共面，而， 则由，得，所以. 故选：D 【变式4】(26-27高二上·广东深圳高级中学高中园·诊断)已知空间向量，，不共面，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将移项整理为：， 由不共面，根据空间向量基本定理，若这三个向量的线性组合为零向量，则各向量的系数均为0， 因此得到方程组： ，解得. 题型02 空间四点共面的判定与证明 【典例1】(人教B版·专题01 专项训练)已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 【答案】 【详解】， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 【典例2】(26-27高二上·河北石家庄精英中学·调研)如图，已知三棱锥，为的重心，点，分别为线段，的中点，点，分别在，上，，．若四点共面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由为的重心，则， 由点为中点，则， 又，，为的中点， 则，，， 所以， 又因为四点共面，所以，解得. 【变式1】(讲义·新知预览1)（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 【变式2】(25-26高二上·天津第一0二中学·检测)已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 【答案】C 【详解】因为非零向量不共线，， 所以， 由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面． 故选：C. 【变式3】(讲义·新知预览1)已知向量，不共线，如果，，， 求证：A，B，C，D四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】易得不共线．令， 则． 和不共线，，解得， ，∴A，B，C，D四点共面． 【变式4】(讲义·空间向量及其运算)在正方体中，，分别为，的中点，若点满足， 证明：，，，四点共面.    【详解】略取中点，连接，，，如图所示. 因为点是中点，所以. 因为点为的中点，所以， 因为， 所以， 因为，点是中点，所以G为HD的中点. 又点为的中点，所以为的中位线， 所以， 所以，，，四点共面. 题型03 用空间基底表示向量 【典例1】(24-25高二上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】A选项，，所以，，是共面向量； B选项，，所以，，是共面向量； C选项，， 所以，，是共面向量； D选项，令 ，显然无解，故不是共面向量. 故选：D 【典例2】(26-27高二上·浙江台州十校联盟·期中联考)如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点是棱的中点，则， 所以. 【典例3】(26-27高二上·江苏宜兴中学·月考)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，为的重心，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点为的重心， 所以连接并延长交于点，则为的中线， 所以，且， 所以 . 【变式1】(25-26高二下·安徽合肥一中等校·联考)（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】对于A，易得，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为， 所以，，共面，故C错误； 对于D，假设，，共面， 则存在实数，，使得， 因为，，不共面，所以， 该方程组无解，所以假设不成立，故D正确. 【变式2】(26-27高二上·广东惠州大亚湾博雅培文实验学校·阶段测试)在长方体 中，， ，M 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据向量运算法则， 【变式3】(25-26高二上·湖北部分学校·期中)如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】           【变式4】(26-27高二上·北京丰台区·期中)如图，在平行六面体中，与交于点，设，，，则与向量相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知 . 【变式5】(26-27高二上·重庆礼嘉中学·月考)如图，在平行六面体中，，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在上，且，所以， 因为在上，且，所以， 在平行六面体中，， 所以，， 所以 所以. 【变式6】(24-25高三上·上海黄浦区·期末调研)在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 【答案】/ 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接，则，， 于是 ， 即得，故.故答案为：. 【变式7】(26-27高二上·天津河东区·期中)如图，已知正方体 , 分别是上底面 和侧面 的中心，若 ，则 的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为 是上底面 的中心， 则，   又因为 是侧面 的中心， 则 ， 则 又因 ， 是不共面向量， 故可得 ，，， 则 . 【变式8】(人教B版·新知预览3 空间向量基本定理)如图所示，在平行六面体中，取，，． (1)用，，表示； (2)若，分别为，的中点，用，，表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接，因为，，， 所以， 在平行六面体中，， 故． （2）连接，因为的中点，则， 因为的中点，则， 又，则， 故． 【变式9】(22-23高二上·广东中山民众德恒学校·段考)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 【答案】(1) (2)证明如下： 连接 ∵分别是的中点， ∴. 又∵， ∴， ∴，则四点共面. 【详解】（1）∵ ∴ （2）略 题型04 空间向量基底的应用 【典例1】(26-27高二上·上海奉贤东华大学附属奉贤致远中学·期中)如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为________. 【答案】 【详解】如图所示； 由题知，， ， ， . 【典例2】(26-27高二上·河南周口商水县实验高级中学·月考)如图，在平行六面体 中，，，，，，．设 ，，． (1)用 ，，表示； (2)求 ； (3)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）由空间向量加法的多边形法则， ； （2）由（1）知，， 故， 其中，故， 同理，， 故，故； （3）设两向量夹角为，由向量夹角公式， ， 其中，故. 【变式1】(26-27高二上·广东佛山顺德北滘中学·训练)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长为_______． 【答案】 【详解】设，，， 由题意可知，且. 根据向量加法运算可得： ， 则 ， 所以，即对角线的长为. 【变式2】(26-27高二上·重庆石柱中学校·月考)如图，平行六面体中，，，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在平行六面体中，， 因为，，，， 所以，， ， 所以 . 所以. 【变式3】(26-27高二上·天津外国语大学附属中学·月考)如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，， 由题意可得，，且， 所以，， ， 在平行六面体 中，， ， 则 ， 所以， 又， 设异面直线与所成角为，则， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【变式4】(26-27高二上·安徽六安第二中学·检测)如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则的长度为（    ）. A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】不妨设，，， ， 所以①， 其中，，， 代入①式得：. 【变式5】(26-27高二上·河北唐山遵化市第一中学·月考)在棱长为 的正四面体（四个面都是正三角形） 中，， 分别为 ， 的中点，且 在 方向上的投影向量为 ，则 的值为____________． 【答案】 【详解】由题意可知， 在 方向上的投影向量为 ， 因为投影向量为 ，所以 ， 设 ，，， 因为四面体 为棱长为 的正四面体， 所以 ，且 ， 因为 为 的中点，所以 ， 则 ， 因为 为 的中点，所以 ， 则 ， 所以 ， 又 ， 所以 . 【变式6】(26-27高二上·广东中山三鑫学校·月考)如图，在平行六面体中，，，是的中点，设，，． (1)若，求的值； (2)用，，表示； (3)求的长． 【答案】(1)6 (2) (3) 【详解】（1）由空间向量基本定理及得， ，∴ （2）由是的中点，则， ∴； （3）∵ ， ∴，即的长为． 【变式7】(26-27高二上·江苏无锡宜兴市第二高级中学·阶段考试)如图，在三棱柱中，点为线段的中点，点是线段上靠近的四等分点． (1)若，求，，的值； (2)若． （i）求的值； （ii）求的大小． 【答案】(1)、、； (2)（i）；（ii） 【详解】（1） ， 故、、； （2）（i）由，则， 由，则，由，则， 则 ； （ii） . 【变式8】(26-27高二上·广东惠州惠阳区第一中学·检测)如图，在平行六面体中，，，，    (1)求线段的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记，由题，夹角都为， 则， ， ， 所以 ， 所以. （2）， 则， ， 则， 则， 则. 1．(25-26高二上·天津博文中学·阶段测试)下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【详解】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确； ，若，，不共面， 则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误； ， 所以，即，，，四点共面，命题③正确． 故选：C. 2．(24-25高二下·浙江四校·联考)三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量满足，则共面， 反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，就不存在实数使得， 故共面是的必要不充分条件， 故选：B 3．(26-27高二上·吉林吉林市普通中学·期中调研)若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对选项A：由，可知三个向量共面，无法构成基底，故A错误； 对选项B：由，可知三个向量共面，无法构成基底，故B错误； 对选项C：假设存在实数使得， 整理得，解得， 解得唯一解，故三个向量线性无关，可构成空间基底，故C正确； 对选项D：由，可知三个向量共面，无法构成基底，故D错误． 4．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数________． 【答案】 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 5．(26-27高二上·陕西咸阳彩虹学校·阶段检测)已知为空间中一点，，，三点不共线，平面且满足，若，，，四点共面，则________． 【答案】/ 【详解】已知为空间中一点，，，三点不共线，平面， 且满足，则向量，，不共面． 若，，，四点共面，则可知向量，，的系数和为1， 即，解得． 6．(25-26高二下·甘肃兰州新区贺阳高级中学等校·期中)已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 7．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 8．(26-27高二上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)在平行六面体中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，在平行六面体 中，，，。 根据向量加法的三角形法则，可得： ， 因为 ， 又因为 是平行四边形 对角线 与 的交点， 所以 为 的中点， 则 . 在 中，， 所以 . 综上所述， . 9．(人教A版·1.2 第1课时分层作业)在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】如图所示，， 所以. 10．(25-26高二下·辽宁朝阳建平县高级中学·月考)如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 11．(26-27高二上·北京第九中学·期中)如图，在平行六面体中，，记向量，，，若向量，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】在平行六面体中，侧面为平行四边形， 因为，所以为线段的中点， 所以，故. 12．(26-27高二上·北京育才学校·月考)如图，在平行六面体中，点为与的交点，若，，，且，则________． 【答案】 / 【详解】因点为与的交点，则, 于是 ，则， 故. 13．(26-27高二上·辽宁沈阳联合体·期中)如图，在三棱锥中，点，满足，，记，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由题意可知，在三棱锥 中， 因为 ，所以 . 因为 ，所以 . ， . 将 和 代入上式，得： ，整理得： 又因为已知 ， 可得： . 所以， . 14．(24-25高二上·广东惠州泰雅实验学校·月考)在平行六面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 所以， 又，， 则， 所以，即. 15．(26-27高二上·广东揭阳第一中学·阶段考试)如图，在正四棱台中，，，，，直线与平面交于点，则_________． 【答案】 【详解】设，，，则， 由于，则， 于是① 由题意得，②， ③，④， 设，由①得⑤， 因为，，，四点共面，则存在，使得， 而，，，. 整理得， 将②③④代入得⑥ 比较⑤⑥系数得，，，即，解得. 16．(26-27高二上·天津外国语大学附属中学·月考)设为空间的一个基底，，，.若空间向量满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则. . 又，故. 于是，即. 由数量积的性质，，故，解得. 当与同向或反向时等号成立，故的取值范围为. 17．(26-27高二上·天津中学·诊断)如图，在平行六面体中，，，点为线段上靠近于点的三等分点．若点为棱上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】设，，，设， 则， ， ， 由题意可知， 故 ， 当时，取得最小值 ， 即的最小值为． 18．(26-27高二上·河南周口鹿邑县高级中学校·阶段检测)如图，正四面体的外接球球心为，点在底面上的射影为，点，，满足，，，其中，，若与平面的交点正好是，则的最小值为（      ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为 ， 设正四面体棱长为，则正四面体高，， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 19．(25-26高三上·上海延安中学·调研)正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，动点的轨迹所形成的空间区域是以为邻边的平行六面体除去正四面体余下的部分， 如图所示，为的中点，为四面体的高， 已知是正四面体，可得，则，， 所求体积. 故选：B 20．(23-24高二上·山西金科大联考·开学考)已知是空间的一个基底，且，，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 【答案】(1)证明：由，， 而，则， 所以，，，四点共面； (2)不能作为基底，理由： 若共面，则，即， 所以，则，可得， 所以，故不能作为基底. 【详解】（1）略 （2）略 21．(26-27高二上·重庆第七中学校·月考)如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. (1)试用基底表示向量. (2)设M为的中点，点N在直线上，且，若A，M，N，C四点共面，求实数的值.并说明此时N点的位置. 【答案】(1). (2),是线段的中点. 【详解】（1）. （2）因为是中点， 所以， 而， ， 因为四点共面，所以存在实数，使得， 则， 由于不共面，则，解得，，， 则，即，说明是线段的中点. 22．(26-27高二上·河北石家庄精英中学·调研)如图，在平行六面体 中，，、 分别为棱 、 的中点， 为线段 上一点（包含端点），且满足 ． (1)若 、、 三点共线，求 ； (2)若 ，，，求棱 的长度． 【答案】(1) (2) 或 【详解】（1）设，，，则不共面． 因为为的中点，所以． 因为为的中点， 所以． 所以． 因为，所以． 又， 所以． 所以． 因为、、三点共线，所以与共线， 即存在实数，使得． 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 所以， 解得， ， 故； （2）设，，即，． 由题意知， 所以，． 因为，所以， 即， 代入得，即①． 因为，所以， 即， 代入得，即②． ②①得，即，所以． 将代入①得， 整理得， 即． 解得或． 因为，所以或． 故棱的长度为或． 23．(26-27高二上·浙江平阳万全综合高级中学·月考)如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示，； (2)求线段的长 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解:方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点， 所以 ． （2）解：因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 24．(26-27高二上·河南郑州第十六高级中学·月考)如图，，分别是三棱锥的棱，的中点，是线段上一点且 ，记，，． (1)用，，表示，，； (2)若，，，，求． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）如图，连接，可得， ， ． （2）由题意，得，，， 由（1）得，，， 所以， ， 所以， 所以. 25．(26-27高二上·河南周口商水县实验高级中学·月考)图，在平行六面体中，，，设，，． (1)用表示与，并求的值； (2)求与，并求与夹角的余弦值； (3)若，其中为实数且，求的最小值． 【答案】(1)，， (2)，，余弦值为 (3) 【详解】（1）， ， 因为，， 因为，，， 所以； （2）， ， 所以，即与夹角的余弦值为； （3）， 由， 得， 所以， 由，，，得， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以． 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 空间向量基本定理 教学目标 1.经历由平面向量基本定理向空间推广的过程，理解空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底. 2.理解共面向量定理及其推论，掌握判断空间中向量共面、点共面的基本方法. 3.掌握空间向量基本定理的内容，会用一组基底表示空间中的任意向量，理解表示系数的唯一性. 4.会用基底法解决立体几何中的平行、共面、线段比值与体积等问题. 教学重难点 1.重点 （1）共面向量定理及其推论； （2）空间向量基本定理与基底表示法； 2.难点 （1）系数唯一性的理解与“封闭图形”思想； （2）把几何条件翻译成向量等式； 知识点01 共线向量、共面向量定理 1.共线（平行）向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2.共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． (1) 共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使，若在上取，则. (2) 拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中. 3.共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. （1）空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． （2）四点共面（其中不共线）且． 【即学即练】 1．(26-27高二上·河北邯郸冀南新区凌云中学·月考)对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 2．(讲义·第1讲 二维升三维)已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 3．(25-26高二下·江苏南京师范大学附属中学·阶段测试)已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．(25-26高二上·四川绵阳·期末)（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 5．(26-27高二上·广西平南县中学等校·期中联考)若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（     ） A． B． C． D． 知识点02 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2.基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【即学即练】 1．(26-27高二上·福建厦门大学附属科技中学·期中)在正方体中，能与向量，构成空间的一组基底的是（     ） A． B． C． D． 2．(24-25高三下·上海黄浦区·高考模拟)如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 3．(26-27高二上·广西南宁宾阳中学·月考)在平行六面体中，（     ） A． B． C． D． 题型01 共面向量判定与求参 【典例1】(24-25高二下·江苏连云港高级中学·期中)（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【变式1】(25-26高二上·北京朝阳区·期末)设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【变式2】(25-26高三上·江苏盐城七校联盟·学情检测)向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3】(24-25高二上·新疆喀什莎车县第九中学·月考)在四面体中，空间的一点满足．若共面，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】(26-27高二上·广东深圳高级中学高中园·诊断)已知空间向量，，不共面，且，则（    ） A． B． C． D． 题型02 空间四点共面的判定与证明 【典例1】(人教B版·专题01 专项训练)已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 【典例2】(26-27高二上·河北石家庄精英中学·调研)如图，已知三棱锥，为的重心，点，分别为线段，的中点，点，分别在，上，，．若四点共面，则（   ）    A． B． C． D． 【变式1】(讲义·新知预览1)（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【变式2】(25-26高二上·天津第一0二中学·检测)已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 【变式3】(讲义·新知预览1)已知向量，不共线，如果，，， 求证：A，B，C，D四点共面． 【变式4】(讲义·空间向量及其运算)在正方体中，，分别为，的中点，若点满足， 证明：，，，四点共面.    题型03 用空间基底表示向量 【典例1】(24-25高二上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【典例2】(26-27高二上·浙江台州十校联盟·期中联考)如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【典例3】(26-27高二上·江苏宜兴中学·月考)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，为的重心，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二下·安徽合肥一中等校·联考)（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】(26-27高二上·广东惠州大亚湾博雅培文实验学校·阶段测试)在长方体 中，， ，M 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高二上·湖北部分学校·期中)如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】(26-27高二上·北京丰台区·期中)如图，在平行六面体中，与交于点，设，，，则与向量相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式5】(26-27高二上·重庆礼嘉中学·月考)如图，在平行六面体中，，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6】(24-25高三上·上海黄浦区·期末调研)在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 【变式7】(26-27高二上·天津河东区·期中)如图，已知正方体 , 分别是上底面 和侧面 的中心，若 ，则 的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【变式8】(人教B版·新知预览3 空间向量基本定理)如图所示，在平行六面体中，取，，． (1)用，，表示； (2)若，分别为，的中点，用，，表示． 【变式9】(22-23高二上·广东中山民众德恒学校·段考)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 题型04 空间向量基底的应用 【典例1】(26-27高二上·上海奉贤东华大学附属奉贤致远中学·期中)如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为________. 【典例2】(26-27高二上·河南周口商水县实验高级中学·月考)如图，在平行六面体 中，，，，，，．设 ，，． (1)用 ，，表示； (2)求 ； (3)求与夹角的余弦值． 【变式1】(26-27高二上·广东佛山顺德北滘中学·训练)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长为_______． 【变式2】(26-27高二上·重庆石柱中学校·月考)如图，平行六面体中，，，，则=（ ） A． B． C． D． 【变式3】(26-27高二上·天津外国语大学附属中学·月考)如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(26-27高二上·安徽六安第二中学·检测)如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则的长度为（    ）. A． B． C．0 D． 【变式5】(26-27高二上·河北唐山遵化市第一中学·月考)在棱长为 的正四面体（四个面都是正三角形） 中，， 分别为 ， 的中点，且 在 方向上的投影向量为 ，则 的值为____________． 【变式6】(26-27高二上·广东中山三鑫学校·月考)如图，在平行六面体中，，，是的中点，设，，． (1)若，求的值； (2)用，，表示； (3)求的长． 【变式7】(26-27高二上·江苏无锡宜兴市第二高级中学·阶段考试)如图，在三棱柱中，点为线段的中点，点是线段上靠近的四等分点． (1)若，求，，的值； (2)若． （i）求的值； （ii）求的大小． 【变式8】(26-27高二上·广东惠州惠阳区第一中学·检测)如图，在平行六面体中，，，，    (1)求线段的长； (2)求的面积． 1．(25-26高二上·天津博文中学·阶段测试)下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．(24-25高二下·浙江四校·联考)三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(26-27高二上·吉林吉林市普通中学·期中调研)若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数________． 5．(26-27高二上·陕西咸阳彩虹学校·阶段检测)已知为空间中一点，，，三点不共线，平面且满足，若，，，四点共面，则________． 6．(25-26高二下·甘肃兰州新区贺阳高级中学等校·期中)已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 7．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 8．(26-27高二上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)在平行六面体中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 9．(人教A版·1.2 第1课时分层作业)在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 10．(25-26高二下·辽宁朝阳建平县高级中学·月考)如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 11．(26-27高二上·北京第九中学·期中)如图，在平行六面体中，，记向量，，，若向量，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 12．(26-27高二上·北京育才学校·月考)如图，在平行六面体中，点为与的交点，若，，，且，则________． 13．(26-27高二上·辽宁沈阳联合体·期中)如图，在三棱锥中，点，满足，，记，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 14．(24-25高二上·广东惠州泰雅实验学校·月考)在平行六面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 15．(26-27高二上·广东揭阳第一中学·阶段考试)如图，在正四棱台中，，，，，直线与平面交于点，则_________． 16．(26-27高二上·天津外国语大学附属中学·月考)设为空间的一个基底，，，.若空间向量满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．(26-27高二上·天津中学·诊断)如图，在平行六面体中，，，点为线段上靠近于点的三等分点．若点为棱上的一个动点，则的最小值为______． 18．(26-27高二上·河南周口鹿邑县高级中学校·阶段检测)如图，正四面体的外接球球心为，点在底面上的射影为，点，，满足，，，其中，，若与平面的交点正好是，则的最小值为（      ） A． B．1 C． D． 19．(25-26高三上·上海延安中学·调研)正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高二上·山西金科大联考·开学考)已知是空间的一个基底，且，，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 21．(26-27高二上·重庆第七中学校·月考)如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. (1)试用基底表示向量. (2)设M为的中点，点N在直线上，且，若A，M，N，C四点共面，求实数的值.并说明此时N点的位置. 22．(26-27高二上·河北石家庄精英中学·调研)如图，在平行六面体 中，，、 分别为棱 、 的中点， 为线段 上一点（包含端点），且满足 ． (1)若 、、 三点共线，求 ； (2)若 ，，，求棱 的长度． 23．(26-27高二上·浙江平阳万全综合高级中学·月考)如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示，； (2)求线段的长 24．(26-27高二上·河南郑州第十六高级中学·月考)如图，，分别是三棱锥的棱，的中点，是线段上一点且 ，记，，． (1)用，，表示，，； (2)若，，，，求． 25．(26-27高二上·河南周口商水县实验高级中学·月考)图，在平行六面体中，，，设，，． (1)用表示与，并求的值； (2)求与，并求与夹角的余弦值； (3)若，其中为实数且，求的最小值． 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $