专题2.3 双曲线（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题2.3 双曲线 教学目标 1.了解双曲线的实际背景，理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其推导过程． 2.会根据条件求双曲线的标准方程（定义法与待定系数法），会判断方程是否表示双曲线及焦点位置． 3.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线与离心率等几何性质． 4.理解等轴双曲线与共轭双曲线的特征，会解决双曲线的焦点三角形问题. 教学重难点 1.重点 （1）双曲线标准方程的求法；（2）双曲线的渐近线与离心率； 2.难点 （1）双曲线定义的灵活运用；（2）与双曲线有关的综合与最值问题； 3.核心素养 直观想象、数学运算、逻辑推理. 知识点01 双曲线的定义 定义：平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数（小于 且大于 0）的点的轨迹叫做双曲线. 即 （）；当 时轨迹是两条射线，当 时无轨迹. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离 叫做焦距. 双曲线由两支组成：一支上点到两焦点距离之差为 ，另一支上为 ，两支关于原点对称. 判断轨迹类型时，应先把常数与 比较大小，再确定是双曲线、射线还是无轨迹. 【即学即练】 1．已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 3．双曲线的一条渐近线方程，，分别为其左、右焦点，M是C上的一点，且，则（） A．1 B．3 C．7 D．9 4．设双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为，则（    ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 知识点02 双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上：，焦点为 . 焦点在 y 轴上：，焦点为 . 其中 （），注意与椭圆的 区别. 求标准方程的两种方法：①定义法——由 与 求出 ；②待定系数法——设出方程后代入已知点坐标求解. 焦点位置的判断：标准方程中 与 的系数异号，正系数对应的轴就是实轴（焦点所在轴）. 共焦点曲线系：与 共焦点的双曲线可设为 （）. 【即学即练】 1．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 3．若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 4．已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程_________. 知识点03 双曲线的简单几何性质 范围：焦点在 x 轴上时 ，，双曲线位于两条直线 的外侧. 对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴以及原点都对称，原点叫做双曲线的对称中心. 顶点：；实轴长 ，虚轴长 ，实半轴 ，虚半轴 . 渐近线：焦点在 x 轴上时 ，焦点在 y 轴上时 . 离心率：，其中 ； 越大，双曲线的开口越阔. 实轴长、虚轴长、焦距、离心率与渐近线斜率五者中，知道任意两个即可求出其余. 【即学即练】 1．已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 2．双曲线的顶点坐标为    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，则（    ） A．的顶点坐标为、 B．的实半轴长为 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 4．双曲线的实轴长_________． 知识点04 等轴双曲线与共轭双曲线 等轴双曲线：实半轴与虚半轴相等（），标准方程可设为 . 等轴双曲线的离心率 ，两条渐近线互相垂直，为 . 共轭双曲线：把 的实轴与虚轴互换得到 ，二者互为共轭双曲线. 互为共轭的两条双曲线有相同的渐近线 ，且四个焦点都在圆 上. 共渐近线双曲线系：与 共渐近线的双曲线可设为 . 【即学即练】 1．已知，，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 2．已知双曲线有相同的渐近线，则数对可以为_____. 3．以直线为渐近线的双曲线的标准方程可以___________.（只需写出一个满足条件的方程） 4．若是两个不相等的正实数，则双曲与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 知识点05 双曲线的焦点三角形 焦点三角形：双曲线上一点 与两焦点 构成的三角形叫做焦点三角形. 由定义有 ，常与余弦定理 联立求解. 面积公式：设 ，则 . 注意与椭圆的区别：椭圆中 为定值，双曲线中 为定值. 最值常用技巧：求 型的最值时，常由定义把 化为 ，从而化归为两点之间距离的最值问题. 【即学即练】 1．已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 2．设双曲线的左右焦点分别，过作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点，若 则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ） A．顶点坐标为 B．虚半轴长为4 C．离心率为2 D．渐近线方程为 3．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 4．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 题型01 求双曲线的标准方程 【典例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 【变式1】已知双曲线的右焦点为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 【变式2】与双曲线有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________. 【变式3】求符合下列条件的双曲线的标准方程 (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【变式4】求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程 (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 【变式5】已知双曲线的实轴长为2，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 题型02 求双曲线的参数或参数范围 【典例1】若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【变式3】双曲线的焦点坐标为_________. 【变式4】已知双曲线，且，那么正实数______. 【变式5】已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程____________． 题型03 双曲线的定义及应用 【典例1】双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2】已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 【变式3】已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【变式4】已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5】已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 题型04 双曲线的简单几何性质 【典例1】已知双曲线方程下列说法中正确的有    ） A．焦点坐标 B．该双曲线的图象过点 C．焦距为10 D．双曲线上存在点P，使得且 【变式1】设双曲线的焦距，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【变式3】已知双曲线的方程为，则   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 【变式4】设双曲线，则    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【变式5】已知双曲线的左右焦点分别，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型05 双曲线的渐近线相关问题 【典例1】双曲线的渐近线方程有   ） A． B． C． D． 【变式1】若双曲线的虚轴长，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为   ） A． B． C． D． 【变式3】已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（______ A． B． C． D． 【变式4】双曲线的渐近线方程______. 【变式5】若双曲线的一条渐近线的方程，则该双曲线的焦距为______． 题型06 双曲线的焦点三角形相关问题 【典例1】已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则（     ） A．C的焦距为6 B．的面积为 C．C的渐近线方程为 D．双曲线是等轴双曲线 【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 【变式3】已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【变式4】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的值. 【变式5】已知双曲线:的左右顶点为，左右焦点为，则以下结论正确的有（    ） ① 若 为双曲线 上一点，且 ，则 的面积为 ； ② 设直线 与双曲线 交于 M,N两点，与 的两条渐近线交于 P,Q两点，则 ； ③ 设 为双曲线 上异于 的一点，若直线 的斜率的取值范围为 ，则直线 的斜率的取值范围为 ； ④ 直线 与双曲线 交于 M,N 两点，则线段MN 的中点为 . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07 求双曲线的离心率或离心率范围 【典例1】双曲线的一条渐近线的倾斜，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的渐近线方，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式2】已知双曲线）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式4】已知双曲线的离心率，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知双曲线的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____. 1．已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 7．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 8．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 9．设点是双上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 10．双曲线的右顶点到其渐近线的距离为   ） A．1 B． C． D． 11．已知椭圆的焦点与双曲的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如图1所示，其横截面如图2所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 13．已知是双曲的左、右顶点，，点在上． (1)求的方程； (2)是左支上一点（异于点），设直线交直线于点，连接，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为． （i）证明：为定值； （ii）直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由． 14．已知双曲线 的两条渐近线分别为 过点 作 的平行线交于点A，作 的平行线交 于点B，且 (1)若C的焦距为 求C的方程. (2)过点 P 且斜率为k的直线与C的左、右两支分别交于点 （i）证明： 成等比数列； （ii）设Q为C的右顶点，若过点Q的直线l平分 直线l的倾斜角为θ，求 的值. 15．小申同学在尝试用数学方法分析足球比赛的技术问题时发现了下面的有趣现象．如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点．而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上．则该曲线的离心率为______________． 16．已知等轴双曲线的左、右顶点分别，且.不在x轴上的点关于原点O对称，且点都在双曲线C上，过点分别作以线段为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求点P的横坐标； (3)求的面积的最小值. 17．已知曲线，则（   ） A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 18．设曲线 若是双曲线或椭圆，它们有4个不同的交点，且这四个交点都在以为圆心的圆上，则（     ） A．若为椭圆，则的焦点在轴上 B．若为双曲线，则的焦点在轴上 C． D．存在使得圆的半径为1 19．将双曲线绕原O逆时针旋转后，得到函数的图象，已知直线是函数图象的一条渐近线，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 20．如图，在半径为2的圆中，是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，为双曲线的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，设直线的斜率为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 双曲线 教学目标 1.了解双曲线的实际背景，理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其推导过程． 2.会根据条件求双曲线的标准方程（定义法与待定系数法），会判断方程是否表示双曲线及焦点位置． 3.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线与离心率等几何性质． 4.理解等轴双曲线与共轭双曲线的特征，会解决双曲线的焦点三角形问题. 教学重难点 1.重点 （1）双曲线标准方程的求法；（2）双曲线的渐近线与离心率； 2.难点 （1）双曲线定义的灵活运用；（2）与双曲线有关的综合与最值问题； 3.核心素养 直观想象、数学运算、逻辑推理. 知识点01 双曲线的定义 定义：平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数（小于 且大于 0）的点的轨迹叫做双曲线. 即 （）；当 时轨迹是两条射线，当 时无轨迹. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离 叫做焦距. 双曲线由两支组成：一支上点到两焦点距离之差为 ，另一支上为 ，两支关于原点对称. 判断轨迹类型时，应先把常数与 比较大小，再确定是双曲线、射线还是无轨迹. 【即学即练】 1．已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【详解】依题意得．当时，，此时，符合双曲线定义，因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支；当时，，此时，说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸，故点的轨迹为一条射线．综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【答案】7 【来源】北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学 【详解】由题意可知：，，则，由双曲线定义可得，即，解得或（舍去），且，符合题意，所以. 3．双曲线的一条渐近线方程，，分别为其左、右焦点，M是C上的一点，且，则（） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【来源】辽宁北票市高级中学2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试卷 【详解】由题意得，，得，则，若在左支，则；若在右支，则；因为，所以在左支，则， 得. 4．设双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为，则（    ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 【答案】ACD 【来源】安徽省部分重点高中2026-2027学年高三上学期9月学情检测数学试卷 【详解】由双曲线，可得，因此，即； 选项A：双曲线的焦距，A正确； 选项B：双曲线的渐近线方程为，不是，B错误； 选项C：双曲线的离心率，C正确； 选项D：将代入双曲线方程，左边，满足方程，故在双曲线右支上，根据双曲线定义，右支上的点满足，D正确. 知识点02 双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上：，焦点为 . 焦点在 y 轴上：，焦点为 . 其中 （），注意与椭圆的 区别. 求标准方程的两种方法：①定义法——由 与 求出 ；②待定系数法——设出方程后代入已知点坐标求解. 焦点位置的判断：标准方程中 与 的系数异号，正系数对应的轴就是实轴（焦点所在轴）. 共焦点曲线系：与 共焦点的双曲线可设为 （）. 【即学即练】 1．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【来源】云南昭通一中教研联盟2025-2026学年高二下学期期末考试数学（B卷） 【详解】双曲线的标准方程为其中设双曲线的焦距参数为 ，则已知一个焦点坐标为 ，所以因此 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为，所以 3．若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 【答案】18 【来源】上海市华东师范大学松江实验高级中学2026-2027学年高二上学期10月教学评估数学试卷 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，因此该双曲线的实半轴长平方，虚半轴长平方，且，又双曲线的焦距为10，由焦距定义得，解得半焦距，根据双曲线的基本性质，将、、代入得： ，即，解得，符合的要求, 4．已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程_________. 【答案】 【来源】贵州省贵阳市清华中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题 【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上，且，解得，所以双曲线的标准方程为.故答案为： 知识点03 双曲线的简单几何性质 范围：焦点在 x 轴上时 ，，双曲线位于两条直线 的外侧. 对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴以及原点都对称，原点叫做双曲线的对称中心. 顶点：；实轴长 ，虚轴长 ，实半轴 ，虚半轴 . 渐近线：焦点在 x 轴上时 ，焦点在 y 轴上时 . 离心率：，其中 ； 越大，双曲线的开口越阔. 实轴长、虚轴长、焦距、离心率与渐近线斜率五者中，知道任意两个即可求出其余. 【即学即练】 1．已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】ABD 【来源】湖南省部分学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题 【详解】已知双曲线 ，，因此 ，，因此 ，由，得 ，A.双曲线方程中 项符号为正， 项符号为负，对应焦点在 轴上，A正确；B.焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为 ，代入 、，得 ，B正确；C.双曲线离心率 ，代入 、，得 ，而非 ，C错误；D.双曲线的虚轴长为 ，代入 ，得虚轴长 ，D正确. 2．双曲线的顶点坐标为    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】宁夏海原县某校2025-2026学年高二上学期第三次阶段性质量检测数学试题 【详解】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长，所以双曲线的顶点坐标为.故选：B 3．已知双曲线，则（    ） A．的顶点坐标为、 B．的实半轴长为 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 【答案】BCD 【来源】广西壮族自治区梧州市岑溪市第二中学2026-2027学年高二上学期10月检测数学试题 【详解】将双曲线化为标准形式：，可得，即，，即. 选项A：该双曲线焦点在轴上，顶点坐标为，故A错误； 选项B：由可知实半轴长为，故B正确； 选项C：离心率，故C正确； 选项D：焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，整理得，故D正确. 4．双曲线的实轴长_________． 【答案】 【来源】广东六校2027届高三第一次联考九月考试数学试卷 【详解】由双曲线，可得，可得，所以双曲线的实轴长. 知识点04 等轴双曲线与共轭双曲线 等轴双曲线：实半轴与虚半轴相等（），标准方程可设为 . 等轴双曲线的离心率 ，两条渐近线互相垂直，为 . 共轭双曲线：把 的实轴与虚轴互换得到 ，二者互为共轭双曲线. 互为共轭的两条双曲线有相同的渐近线 ，且四个焦点都在圆 上. 共渐近线双曲线系：与 共渐近线的双曲线可设为 . 【即学即练】 1．已知，，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【答案】BD 【来源】广西南宁市第二中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题 【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确；对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误；对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确；对于D，双曲线的渐近线分别为和，因为，所以它们的渐近线不相同，故D错误.故选：BD 2．已知双曲线有相同的渐近线，则数对可以为_____. 【答案】（答案不唯一） 【详解】可知双曲线的渐近线为，可知双曲线的渐近线为，当渐近线相同时，可得或，即，所以数对可以为. 3．以直线为渐近线的双曲线的标准方程可以___________.（只需写出一个满足条件的方程） 【答案】（答案不唯一，形如均可） 【来源】福建省福州市2025-2026学年高二上学期适应性练习数学试题 【详解】若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可设为，在这里不妨取即可满足题意.故答案为：（答案不唯一，形如均可） 4．若是两个不相等的正实数，则双曲与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 【答案】BD 【来源】浙江省宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试高三数学试题 【详解】 ，，不妨设， 的实轴长分别为，不相等，故A错误；的焦距分别为，相等，故B正确；的离心率分别为，不相同，故C错误；的渐近线分别为，相同，故D正确． 知识点05 双曲线的焦点三角形 焦点三角形：双曲线上一点 与两焦点 构成的三角形叫做焦点三角形. 由定义有 ，常与余弦定理 联立求解. 面积公式：设 ，则 . 注意与椭圆的区别：椭圆中 为定值，双曲线中 为定值. 最值常用技巧：求 型的最值时，常由定义把 化为 ，从而化归为两点之间距离的最值问题. 【即学即练】 1．已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【来源】8.6双曲线【讲】2027届高三大一轮【实战高考】 【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点，的周长等于26，所以有，由双曲线的定义可知，，两式相加得，，即，而，因此可得，所以.因为，所以，于是，所以双曲线方程为.当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为，综上所述，双曲线方程为或. 2．设双曲线的左右焦点分别，过作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点，若 则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ） A．顶点坐标为 B．虚半轴长为4 C．离心率为2 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【来源】广东省东莞市2026届高三下学期数学模拟考试试题 【详解】A选项，由题意得，又，由双曲线定义可知，故，顶点坐标为，A正确；B选项，中，令得，故，又，解得，，故虚轴长为，B错误；C选项，，所以，离心率为，C正确；D选项，渐近线方程为，D正确. 3．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【来源】浙江省强基联盟2026-2027学年高三10月题库数学试题 【详解】设，则，由双曲线定义可得，即，所以，，又，，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得，故离心率． 4．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 【答案】ACD 【来源】江西宜春市部分校2027届高三上学期开学考试数学试卷 【详解】易知，则，又，所以，又，所以，则，所以A正确，对于B，因为，则，所以，则的渐近线方程为，所以B错误，对于C，因为，则，所以的面积为，故C正确，对于D，因为，则，即，所以双曲线是等轴双曲线，D正确. 题型01 求双曲线的标准方程 【典例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的标准方程为． 由题意知，所以．①； 因为点在双曲线上，所以．② 由①②解得，，所以所求双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，则，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 【变式1】已知双曲线的右焦点为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 【来源】广东省佛山市普通高中2025-2026学年高二供题训练数学试题 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，且经过点， 所以，因此双曲线的方程为； （2）由题意可知直线都存在斜率且不为零，且不相等， 设直线的斜率为，方程为，与双曲线方程联立，得 ，不等于0. 所以有， 设， ，解得， 同理， 所以 ， 设直线的斜率为，同理可得：， 因为，所以， 因为，所以， 因此直线与直线的斜率之和是定值. 【变式2】与双曲线有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________. 【答案】 【来源】江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高二上学期期中学情调研测试数学试卷 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点，所以，即，解得或(舍)，所以双曲线的标准方程为，故答案为：. 【变式3】求符合下列条件的双曲线的标准方程 (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【来源】广西壮族自治区桂林市2025-2026学年高二上学期阶段性教学质量检测（11月）数学试题 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 【变式4】求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程 (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 【来源】甘肃省兰州六十中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 【详解】（1）因为椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点， 所以分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在轴上， 可设方程为， 所以，， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点为， 可设双曲线的方程为，且， 将点代入曲线方程可得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. 【变式5】已知双曲线的实轴长为2，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 【来源】四川省内江市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题 【详解】（1）由题意实轴，解得，则离心率， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由双曲线的定义得，且， 由余弦定理，所以，解得， 所以 ， 所以. 题型02 求双曲线的参数或参数范围 【典例1】若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山西省定襄县定襄中学校2026届高考模拟预测数学试题 【详解】已知方程表示双曲线，则，解得或.因此实数的取值范围是. 【变式1】下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省市县级优质高中协作体2026届高三下学期高考仿真模拟数学试题 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上，当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意；B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或，由，由，综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有，此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意；C：因为该选项方程表示双曲线，所以，因为，所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意；D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或，由，由，综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有，此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 【变式2】已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【来源】辽宁铁岭市开原市高级中学等校2026届高三考前模拟数学试题 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号，即， 解得.因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上.对于选项A：与矛盾，故A错误.对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误.对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误.对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 【变式3】双曲线的焦点坐标为_________. 【答案】 【来源】湖南省怀化市2026-2027学年高三上学期开学数学试题 【详解】因为方程是双曲线，所以两个分母异号，因为，所以必须满足 且 ，即双曲线的标准形式为，则，，则，解得，即，又双曲线焦点在轴上，则焦点坐标为. 【变式4】已知双曲线，且，那么正实数______. 【答案】 【来源】上海市闵行中学东校闵中东校2025-2026学年第一学期高二期末质量检测数学试卷 【详解】因为双曲线，且，由，可得，所以，因为，所以.故答案为：. 【变式5】已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程____________． 【答案】 【来源】北京市清华大学附属中学2025-2026学年高三上学期统练七数学试卷 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，因为双曲线的焦距是实轴长的2倍，所以，即.因为，所以，即.当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为，因为双曲线经过点，所以，即，无解；当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为，所以，即，解得，所以双曲线的标准方程为.综上所述，双曲线的标准方程为.故答案为：. 题型03 双曲线的定义及应用 【典例1】双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【来源】吉林省长春市2026届高三质量监测（二）数学试题 【详解】由题意知，，所以.在双曲线中，有，所以，又，所以.由双曲线定义知，，即，所以或.又，即，所以.综上，. 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【来源】甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026-2027学年高三起点摸底考试数学试卷 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ，设双曲线实半轴长为，那么，根据双曲线的定义可知，，,又,所以的周长为. 【变式2】已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 【答案】D 【详解】双曲线：，则，由双曲线定义可知，解得或，因为，所以点在双曲线的左支上，所以，所以. 【变式3】已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【来源】河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期三调数学试卷 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，.则由题意可得，，即.所以 ，当且仅当三点共线时，等号成立.即的最小值为. 【变式4】已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏南通市市区、通州、启东2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 【详解】设双曲线的右焦点为，则，，而（渐近线斜率），故直线与双曲线的右支交于两个不同的点，而，仅当共线且A在之间时等号成立，所以，当共线且A在之间时等号成立．所以的最大值为，故选：C 【变式5】已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【来源】陕西宝鸡中学2025-2026学年高二下学期阶段考试（一）数学试题 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为，所以，，当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号.的最大值为 题型04 双曲线的简单几何性质 【典例1】已知双曲线方程下列说法中正确的有    ） A．焦点坐标 B．该双曲线的图象过点 C．焦距为10 D．双曲线上存在点P，使得且 【答案】C 【详解】易知焦点坐标在轴上，由，焦点坐标为，A错误；，B错误；由上知，焦距为，C正确；若，则重合，显然不在双曲线上，D错误.故选：C. 【变式1】设双曲线的焦距，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【来源】河南省南阳市南阳地区2025-2026学年高二上学期期中摸底考试数学试题 【详解】由题意知，整理得，解得.故选：B 【变式2】已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【答案】BC 【来源】河北省保定市博野县部分校2026-2027学年高二上学期9月联考数学试题（创新班） 【详解】由双曲线：，得，则，即，则双曲线实轴长为，虚轴长为，离心率为，故A错误，BC正确；而双曲线的两渐近线方程为，则两渐近线的倾斜角分别为，所以两渐近线的夹角为，则夹角的正切值为，故D错误. 【变式3】已知双曲线的方程为，则   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 【答案】A 【来源】上海市奉贤区2025-2026学年第二学期高三练习数学试卷 【详解】已知双曲线的方程为，则，当时，，焦点在轴，，当时，，焦点在轴，，当时，渐近线方程为，实轴长为，焦距为，焦点为；当时，渐近线方程为，实轴长为，焦距为，焦点为；渐近线与无关，实轴长、焦距、焦点均与有关． 【变式4】设双曲线，则    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BCD 【来源】山西怀仁大地高中学校等校2025-2026学年高二下学期4月期中质量检测数学试题 【详解】由双曲线，即，则.对于A，虚轴长为，故A错误；对于B，焦距为，故B正确；对于C，离心率为，故C正确；对于D，渐近线方程为，即，故D正确. 【变式5】已知双曲线的左右焦点分别，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【来源】河北部分名校联盟2025-2026高三第二学期开学考试数学试题 【详解】由题意得，.所以，.所以. 题型05 双曲线的渐近线相关问题 【典例1】双曲线的渐近线方程有   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】河北省沧州市部分高中2026-2027学年高三上学期开学数学试题 【详解】双曲线化为标准方程为：，所以双曲线的渐近线方程为：. 【变式1】若双曲线的虚轴长，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广西壮族自治区桂林市2025-2026学年高二上学期阶段性教学质量检测（11月）数学试题 【详解】由题意可得，，得，则该双曲线的渐近线方程为.故选：B 【变式2】已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】吉林省长春市第五中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 【详解】双曲线，即，所以双曲线的实轴长为，则，解得，所以，，双曲线的渐近线方程为．故选：D. 【变式3】已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（______ A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线的离心率为2，得 ，解得，则双曲线的渐近线方程为，即. 【变式4】双曲线的渐近线方程______. 【答案】 【来源】北京大学附属中学2027届学习调研试题（分班考）高三数学试卷 【详解】将双曲线方程化为标准形式： ，可知该双曲线焦点在轴上，其中实半轴长，虚半轴长，则焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为 . 【变式5】若双曲线的一条渐近线的方程，则该双曲线的焦距为______． 【答案】/ 【来源】广东部分校2025-2026学年高三下学期3月二轮复习阶段检测数学试卷 【详解】双曲线的渐近线方程为，而直线的斜率为，故，故该双曲线的焦距为. 题型06 双曲线的焦点三角形相关问题 【典例1】已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南新乡市部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末测评数学试题 【详解】因为双曲线，则，所以.因为点在双曲线右支上，所以.令，则，又因为，，所以由余弦定理得，即，即，因为，解得，即，所以，则的周长为. 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则（     ） A．C的焦距为6 B．的面积为 C．C的渐近线方程为 D．双曲线是等轴双曲线 【答案】AB 【来源】广西南宁市第二中学2027届高三上学期入学考数学试题 【详解】由双曲线的标准方程，得.由双曲线的定义结合可知.又因为，所以.A选项，由余弦定理可知于是.所以，即焦距为6，A正确.B选项， 的面积为，所以B正确.C选项，因为，，所以，所以渐近线方程为，C错误.D选项，代入，可得 .因为，所以不是等轴双曲线，D错误. 【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 【答案】 【来源】湖南省衡阳市衡阳县第四中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题 【详解】设，，与内切圆的切点分别为E，F，G，令，，，则，得，，，由双曲线定义得，则点G与点重合，又，则，即.又，，直线GT的方程为，，. 【变式3】已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【来源】8.6双曲线【讲】2027届高三大一轮【实战高考】 【详解】由可得，，，，， 方法一：过点作的垂线交于，则，，所以的面积为. 方法二：在中，.因为，所以，所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得. 【变式4】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的值. 【答案】(1)；；(2). 【来源】黑龙江省大庆市第四中学2025-2026学年高二上学期第二次检测数学试题 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以，由，解得，      双曲线的标准方程为. （2）设，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理， 得， 所以，   则. 【变式5】已知双曲线:的左右顶点为，左右焦点为，则以下结论正确的有（    ） ① 若 为双曲线 上一点，且 ，则 的面积为 ； ② 设直线 与双曲线 交于 M,N两点，与 的两条渐近线交于 P,Q两点，则 ； ③ 设 为双曲线 上异于 的一点，若直线 的斜率的取值范围为 ，则直线 的斜率的取值范围为 ； ④ 直线 与双曲线 交于 M,N 两点，则线段MN 的中点为 . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】在双曲线 中， ，对于①：在双曲线的焦点三角形 中，由余弦定理及双曲线的定义得 ，可得 ，所以 ，故①正确；对于②，不妨设 ，当 时表示双曲线，当 时表示该双曲线的两条渐近线.设直线 ，其与 的交点为 ，联立 ，可得 ，应满足 且 ．由韦达定理可知 ，都与 无关．所以线段 的中点与线段 的中点重合，不妨设为 .由 可知 ，故②正确；对于③，设 ，且 ，则 ，所以若 的斜率范围为 ，则 的斜率的范围为 ，故③正确；对于④，联立 ，消去 可得 ，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，④错误． 题型07 求双曲线的离心率或离心率范围 【典例1】双曲线的一条渐近线的倾斜，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽省马鞍山市马鞍山市第二中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题 【详解】因双曲线一条渐近线的倾斜角为，则，从而. 【变式1】已知双曲线的渐近线方，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【来源】云南省部分校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题 【详解】因为，渐近线方程为，故，所以，所以，所以离心率. 【变式2】已知双曲线）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高三年级十一月月考数学试卷 【详解】双曲线 的渐近线方程为 .由得 ，又，所以离心率. 【变式3】已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】云南省昆明市第一中学等校2027届高三上学期新高考自主命题冲刺金卷（一）数学试题 【详解】因为双曲线C的一条渐近线方程为，所以，所以离心率. 【变式4】已知双曲线的离心率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】甘肃省靖远县第一中学等校2026届高三全真模拟预测数学试题 【详解】双曲线，即，，由该双曲线的离心率为，得，所以. 【变式5】已知双曲线的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____. 【答案】/ 【来源】浙江绍兴市上虞区2025-2026学年高二第一学期期末教学质量调测数学试题 【详解】由题意知，因为，则，则双曲线离心率为, 故答案为： 1．已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【来源】广东高州市2026年高考适应性考试数学试卷 【详解】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为，将点代入方程，得，可得，因此，双曲线的标准方程为，可得，即，因此，实轴长. 2．在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省广安友谊中学等校2026届高三下学期模拟预测数学试题 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为，点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 3．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，.因为，所以. 已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为. 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 所以，或，又因为，所以，即. 故选：D. 4．已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东省部分校2026-2027学年高三上学期9月供题训练（C1）数学试题 【详解】双曲线：的右焦点为，渐近线为，则点到直线的距离为．点到直线的距离为．所以到的两条渐近线的距离之和为. 5．已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河北衡水中学教育集团2026-2027学年高三上学期9月第一次限时训练数学试题 【详解】由题意可得，，渐近线方程为，因为右焦点到该渐近线的距离为，所以，得，故的实轴长为. 6．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东深圳外国语学校2026-2027学年高三上学期第一次阶段性考试数学试题 【详解】由题可知与有相同的渐近线，故设的方程为：，点代入得：，把代入所设方程得：，，，因此，即，双曲线的焦距为. 7．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 【答案】 【来源】上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】由题知双曲线的焦点在轴上，设半焦距为，由双曲线性质得：，因为椭圆与双曲线焦点相同，故椭圆的焦点也在轴上，即，由椭圆的性质得：，所以，即，由，解得：. 8．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【来源】北京市延庆区第一中学2025-2026学年第二学期期末检测高一数学（1 3） 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中，双曲线的一个焦点为可知，则，所以双曲线的渐近线方程为，即. 9．设点是双上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 【答案】A 【来源】湖北省华大新高考联盟2025-2026学年高三上学期9 月起点考试数学试题 【详解】因为，，，所以，，所以，因为点是双曲线上的动点，所以或，，所以，当且仅当时等号成立，所以当点的坐标为或时，取最小值，最小值为，故选：A. 10．双曲线的右顶点到其渐近线的距离为   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市西城区2026届高三5月模拟测试试卷数学 【详解】解：双曲线，则右顶点为，由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即，则右顶点到其渐近线的距离为． 11．已知椭圆的焦点与双曲的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽淮北市实验高级中学2025-2026学年高三下学期第三次数学质检卷 【详解】双曲线的顶点为，依题意，椭圆的焦点为，则椭圆的半焦距为，半短轴长为，因，则椭圆的离心率为． 12．瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如图1所示，其横截面如图2所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆部分区县2025-2026学年高三下学期入学考试数学试题 【详解】构建如下图示的直角坐标系，其中双曲线过点，实轴长为，即，双曲线的焦点在轴上，设为，则，故离心率. 13．已知是双曲的左、右顶点，，点在上． (1)求的方程； (2)是左支上一点（异于点），设直线交直线于点，连接，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为． （i）证明：为定值； （ii）直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由． 【来源】重庆市渝北中学2025-2026学年高二上学期阶段二质量监测数学试题 【详解】（1）因为，所以，则双曲线， 又因为点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）（i）由题意可知：，， 设，，， 则，，即， 且，， 可得， 又因为，则， 所以，为定值； （ii）设直线的方程为，， 联立方程，消去x得， 则， 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 整理可得，解得， 所以直线：过定点． 14．已知双曲线 的两条渐近线分别为 过点 作 的平行线交于点A，作 的平行线交 于点B，且 (1)若C的焦距为 求C的方程. (2)过点 P 且斜率为k的直线与C的左、右两支分别交于点 （i）证明： 成等比数列； （ii）设Q为C的右顶点，若过点Q的直线l平分 直线l的倾斜角为θ，求 的值. 【来源】河北邢台市名校联盟2026届高三考前模拟预测数学试题 【详解】（1）根据题意可知，双曲线，所以渐近线为，， 根据斜截式可得，过点且平行于的直线为， 又因为是该直线与的交点，联立方程可得： ，求解可得： ， 移项整理可得： ，因为，两边约去得：，解得， 将代入可得：， 因此点坐标为，同理，过点且平行于的直线为， 是该直线与的交点，联立方程可得： ，整理得 ， 约去可得 ， 代入得 ，因此点坐标为 ， 所以，由题意可知，所以得， 因为焦距，故，又因为，，所以， 即，因此的方程为：. （2）（i）由（1）可知，，所以双曲线方程为，过的直线方程为， 代入双曲线方程可得： ， 由韦达定理可得：，， 又因为， 所以， 又因为，所以上式化简得：，故成等比数列，得证. （ii）由双曲线的性质可知，、的斜率均存在，且、在轴上方， 设直线、的倾斜角分别为，则，， 所以，因为，， 所以， ， 由（i）可得，，，代入上式可得： ，因为，所以， 所以，所以.   15．小申同学在尝试用数学方法分析足球比赛的技术问题时发现了下面的有趣现象．如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点．而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上．则该曲线的离心率为______________． 【答案】 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期5月质量调研数学试题 【详解】如图建立坐标系：设球门底线为轴，，则.设与垂直的直线为，其上点.使最大的点，等价于过且与直线相切的圆的切点,由对称性，圆心在轴上，记为，则。圆与相切得，即，故（取上方）。于是。消去参数得，即，这是实轴、虚轴长相等的双曲线，离心率. 16．已知等轴双曲线的左、右顶点分别，且.不在x轴上的点关于原点O对称，且点都在双曲线C上，过点分别作以线段为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求点P的横坐标； (3)求的面积的最小值. 【来源】福建省惠安第三中学等校2026届高三下学期开学阶段性自测数学试题 【详解】（1）由双曲线为等轴双曲线，有， 又由，有，可得， 故双曲线C的标准方程为. （2）设（其中），有，可得. 设直线的方程为，直线的方程为. 由直线和直线都与圆O相切，有.，       可得是关于k的方程的两个根，整理为， 有. 联立直线和直线方程消去y后，有， 代入，有，整理为， 又由 ， 有，代入，可得，故点P的横坐标为或1. （3）由圆的对称性，可知. 又由圆的对称性，不妨设点P的横坐标为1， 又由，可得直线OP的方程为，取，可得点P的坐标为， 有. 可得（当且仅当或时取等号）， 故的面积的最小值为4. 17．已知曲线，则（   ） A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 【答案】ABD 【来源】湖北武汉市2026届高三下学期四月供题数学试题 【详解】由曲线可知，或，即或或或，如图，分别画出曲线的图象，这4个双曲线都关于轴，轴，和对称，如图，还有过两个曲线交点且过原点的直线也是对称轴，所以曲线有8条对称轴，故B正确； 根据对称性可知，双曲线的顶点到原点的距离最小，不妨研究落在轴正半轴的顶点到原点的距离，时，，即，此时顶点到原点的距离为，所以曲线上任一点到原点的距离的最小值为，故A正确；如图，当过点的直线与的左支相切时，此时有5个交点，分别是与有2个交点，与有2个交点，还有1个切点，共5个交点，为奇数，故C错误；如图，根据对称性，以原点为圆心以为半径的圆在封闭图形的内部，此时圆的面积为，设与在第一象限的交点为，，如图，连接与的交点，得到正八边形， 正八边形的面积为，封闭图形在正八边形的内部，所以，故D正确. 18．设曲线 若是双曲线或椭圆，它们有4个不同的交点，且这四个交点都在以为圆心的圆上，则（     ） A．若为椭圆，则的焦点在轴上 B．若为双曲线，则的焦点在轴上 C． D．存在使得圆的半径为1 【答案】AB 【来源】湖南省邵阳市隆回县2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】设目标方程组为，，同理，又有4个不同的交点，且，即，对于A，若为椭圆，则，对于曲线其的系数，的系数，故为焦点在轴上的双曲线，故该选项正确，对于B，若为双曲线，则，又，，对于曲线两个系数均大于0，故为椭圆，由，故该椭圆的焦点在轴上，故该选项正确，对于C，，故该选项错误，对于D，交点所在圆的方程为，若半径为1，则，则，若，则，若，则，故不存在这样的，故该选项错误. 19．将双曲线绕原O逆时针旋转后，得到函数的图象，已知直线是函数图象的一条渐近线，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【来源】陕西榆林市2026届高三模拟预测数学试题 【详解】如图所示，易知直线的倾斜角为，则直线的斜率，则直线，由，得，则．由题意可知，函数图象的另一条渐近线为直线，过点和点分别作直线的垂线分别交直线于点N，M，Q，P，，． 20．如图，在半径为2的圆中，是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，为双曲线的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，设直线的斜率为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】甘肃省白银市靖远县第一中学2024-2025学年高三下学期模拟预测数学试题 【详解】过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，，双曲线的方程为，， ，解得，双曲线的方程为，，，为直线的斜率，当直线与半圆相切时，最小，此时设直线的方程为，即，，解得或（舍去），.故选：A. 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $