第10讲 空间向量的基本定理及坐标表示（知识清单+8题型讲解举一反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（沪教版选择性必修一）数学高二重难点讲义与测试

第10讲 空间向量的基本定理及坐标表示 知识清单 知识点01：共面向量定理 知识点02：空间向量基本定理 知识点03：空间向量运算的坐标表示 知识点04：空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 知识点05：向量的坐标及两点间的距离公式 题型讲解 （举一反三） 题型1：空间向量共面求参数 题型2：空间共面向量定理的推论及应用 题型3：空间向量基本定理及其应用 题型4：空间向量的坐标运算 题型5：空间向量模长的坐标表示 题型6：空间向量平行的坐标表示 题型7：空间向量垂直的坐标表示 题型8：空间向量夹角余弦的坐标表示 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 知识点02空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 知识点03空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点04空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 知识点05向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝ 题型1：空间向量共面求参数 【例1-1】已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】向量，，共面，存在实数，使得，即． ，． 故选：D． 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 【答案】 【分析】向量共面定理建立等式，解方程求出的值. 【详解】∵共面， ∴一定存在，使得， 即，解得， 故答案为：5 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 【变式1-3】设，，是空间中的三个向量，且共面，则 . 【答案】 【分析】根据题意，可得存在实数使得成立，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，，是空间中的三个向量， 因为共面，则存在实数使得成立， 可得，可得. 故答案为：. 题型2：空间共面向量定理的推论及应用 【例2-1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】由点满足，其中，得到点是平面内的一点，再由当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高达到最小值求解. 【详解】如图所示： 根据题意，点满足，其中 所以， 所以， 所以点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故选：A． 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用四点共面的性质即可求解参数. 【详解】空间的一点满足，由共面， 可得， 故答案为： 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据点共面，系数相加为1的性质即可求 【详解】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面， 所以，所以. 故答案为：. 【变式2-3】下列命题是否为真命题？如果是，给出理由；如果不是，给出反例． (1)设是空间中的四个不同的点，直线与是异面直线，则向量与不共面； (2)如果、是平面上的互不平行的向量，点、不在平面上，那么向量与向量、不共面； (3)如果、是平面上的互不平行的向量，点在平面上，点不在平面上，那么向量与向量、不共面． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 (3)真命题，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）根据向量的定义和共面向量定理，逐个判定，即可求解. 【详解】（1）根据向量的性质--向量位置可平移，任意两个向量都共面，所以（1）错误. （2）当向量所在的直线与平面平行时，存在， 此时向量与、共面，所以（2）错误. （3）由、是平面上的互不平行的向量，设， 因为点在平面上，点不在平面上，此时不存在实数，使得成立， 所以向量与向量、不共面，所以（3）正确. 题型3：用空间基底表示向量 【例3-1】（25-26高二上·上海·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点N为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法和数乘向量的定义运算即可. 【详解】由题意可知，， 则. 故选：A 【变式3-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）正方体中， ．（用、、表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的运算转化求解即可. 【详解】在正方体中， . 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高二上·上海宝山·月考）如图，在正方体中，点E是的中点，点F在上，且.试用向量、与的线性组合表示 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合正方体的几何形状，可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 【变式3-3】如图，在正方体中，点是的中点，点在上，且，试用向量、与的线性组合表示．    【答案】 【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为点是的中点，所以， 又因为点在上，且，则 题型4：空间向量的坐标运算 【例4-1】（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可判断元素个数. 【详解】因正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高为3， 故可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 体对角线向量为，此时， ，， ，， ，， 综上，集合中元素的个数为1个. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）已知空间直角坐标系，若动点满足，若均取遍，则点的轨迹形成的几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】点的轨迹是由的线性组合（系数在到之间）生成的点，且这些点集构成一个平行六面体，利用三个向量的混合积即可求解. 【详解】由题知， 点的轨迹是由的线性组合（系数在到之间）生成的点， 且这些点集构成一个平行六面体，其三条相邻的棱分别是， 则平行六面体的体积等于三个向量的混合积的绝对值， 即. 故答案为： 【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）已知向量 ，若 四点共面，则 . 【答案】3 【分析】根据空间向量共面的充要条件可得. 【详解】因为 四点共面，所以共面，所以存在实数对使得， 即. 所以，解得. 故答案为：3. 【变式4-3】已知平行四边形中的三个顶点的坐标分别为、与，求顶点的坐标. 【答案】 【分析】设，表示出，，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】设，因为、与， 则，， 因为是平行四边形，所以， 即， 所以，解得，所以. 题型5：空间向量模长的坐标表示 【例5-1】（24-25高二上·上海·月考）已知向量，那么方向上的单位向量为 . 【答案】 【分析】利用方向上的单位向量为，结合空间向量模的坐标表示求解． 【详解】因为向量， 所以， 所以方向上的单位向量为． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】根据向量投影的定义及数量积、模长的坐标表示求在方向上的数量投影. 【详解】由题设，， 所以. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高二上·上海·月考）已知向量  则在方向上的数量投影为 【答案】 【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】，， ， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标以及，则即为所求； （2）由题意可知、、共面，设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】（1）由题意可得，则， 所以与同向的单位向量为. （2）由题意可得，，， 因为、、、四点共面，则、、共面， 设，即， 即，解得，故. 题型6：空间向量平行的坐标表示 【例6-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知为原点，，，，点在直线上运动，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量表示出点坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解. 【详解】因点在直线上运动，则，设，于是有， 因为，，所以，， 因此，， 于是得 ， 则当时，，此时点， 所以当取得最小值时，点的坐标为. 故选：C 【变式6-1】（25-26高二上·上海·期末）已知向量，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据空间向量平行的坐标运算列式求得，由此求得. 【详解】由于，所以，解得，所以. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高二上·上海静安·期中）若，，则 ， . 【答案】 【分析】根据题意，存在实数，使得，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量， 因为，则存在实数，使得，即， 可得，解得. 故答案为：；. 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和空间向量的运算求解即可 （2）求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）设， 因为是平行四边形，所以, 由，，. 得， 所以，故， （2）依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 题型7：空间向量垂直的坐标表示 【例7-1】（24-25高二下·上海·月考）已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·上海·期末）设，向量，，且，则（    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 【答案】D 【分析】由得，计算即可. 【详解】， ， ，， ，解得：. 故选：D 【变式7-2】（25-26高二上·上海·期末）设、，向量，，，且，，则 . 【答案】0 【分析】由求得，再由数量积的坐标运算求值. 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，所以，解得，则， 所以， 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高二上·上海黄浦·月考）已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. (1)若，求x的值； (2)若点在平面上，求x的值. 【答案】(1)4.5 (2)9 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解， （2）根据共面定理，结合坐标运算即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以， 解得． （2）， 设，即,,,,,,， 所以，解得，，． 题型8：空间向量夹角余弦的坐标表示 【例8-1】（24-25高二上·上海·月考）已知向量，则与的夹角大小为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式可求夹角的大小. 【详解】，而，故， 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）若，，与的夹角为，则λ的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 解得， 故答案为：. 【变式8-2】已知． (1)求与夹角的大小； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的夹角公式可得答案； （2）利用向量平行的坐标表示可得答案. 【详解】（1）因为， 所以，所以与夹角的大小为. （2）因为，所以，； 因为，所以，解得. 【变式8-3】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案； （2）表示出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为； （2）因为， 又与互相垂直，所以， 解得. 一、填空题 1．（25-26高二上·上海金山·期末）已知向量和，若，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 故答案为： 2．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 【答案】## 【分析】直接利用向量的坐标运算，向量共线的充要条件求出结果． 【详解】由于向量平行于向量， 故，解得，n， 故m+n＝， 故答案为：． 3．（25-26高二上·上海·期中），，与垂直，则实数的值为 . 【答案】7 【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示，空间向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】向量，， 则， 由向量与垂直，得， 所以. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期中）已知向量，若．则 ． 【答案】4 【分析】先求得，再由求解. 【详解】因为向量， 所以，又． 所以，解得 ， 故答案为：4 5．（25-26高二上·上海金山·期末）已知向量，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的数量积为0列式求值. 【详解】因为，所以，即. 故答案为： 6．（25-26高二上·上海·期中）给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先计算出，然后根据垂直关系计算出的坐标之间的关系，结合模长可求解出结果. 【详解】因为，所以， 设，因为向量与向量都垂直， 所以，所以， 因为，所以，解得， 所以的坐标为或， 故答案为：或. 7．（25-26高二上·上海静安·期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，，则的长为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，用向量表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】在四棱柱中，不妨设，，， ， ，， 所以. 故答案为： 8．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 【答案】 【分析】根据N是面的中心得出，再结合向量的减法计算求解. 【详解】 因为N是面的中心，所以延长交于，是中点，且， . 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海·月考）已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设，，，，由空间向量模的意义及条件可得，进而求出范围. 【详解】不妨设，，，则. 设，则有， 所以， 由，及， 因此得到等式，即， 所以. 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海·月考）已知，向量，，，若、、是共面向量，则 ． 【答案】7 【分析】根据共面向量可知存在实数，使得，结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 若、、是共面向量，则存在实数，使得， 可得，解得. 故答案为：7. 11．（25-26高二上·上海·期末）已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为 . 【答案】/4.5 【分析】由题意分析出向量共面，即存在唯一的有序实数对，使得，据此列出方程组，即可求出实数. 【详解】因为，， 所以. 若四点共面，则有向量共面， 即存在唯一的有序实数对，使得， 即， 所以，解得，所以实数为. 故答案为： 12．（24-25高二下·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .    【答案】 【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为： 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·月考）已知，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，求出的值，可得出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则， 解得，则，所以， 因此，. 故选：B. 14．（25-26高二上·上海青浦·月考）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间的基底概念和空间向量共面定理即可逐一判断各选项. 【详解】在平行六面体中，为不共面向量. A，因中的可以表示为的和，即三个向量共面，不能作为基底，不合题意； B，对于，因，即为共面向量，不合题意； C，对于，因，即为共面向量，不合题意； D，假设为共面向量， 则存在唯一的，满足， 则，该方程显然无解，故假设不成立，即可以作为空间中的一组基，符合题意. 故选：D. 15．（24-25高二·上海·课堂例题）已知 ，向量，，，且，，则的值为（  ） A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量垂直、共线的坐标表示求出可得答案. 【详解】因为向量，，， 由，则，解得， 由，则，解得， 则. 故选：A. 16．（25-26高二上·上海·期中）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点:集合中的任意三个不同点均满足：存在不全为的实数，使得．已知，，则属于集合的点可以是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知集合是经过原点的一个平面，且点不在这个平面内，而在这个平面内，进而得到点和原点、点及正确选项中的点不共面，然后逐一检查各选项即可. 【详解】由存在不全为的实数，使得，等价于向量共面， 所以集合是经过原点的一个平面. 因，则点不在这个平面内，而在这个平面内， 于是过原点，和正确选项中的点的平面不经过点， 即点和原点、点及正确选项中的点不共面. A选项，，，共面，故A错误； B选项，，，，共面于平面，故B错误； C选项，，，，共面于平面，故C错误； D选项，，，，不共面，故D正确； 故选：D 三、解答题 17．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出、的坐标，即可求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出，即可求出，再由面积公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 因为向量与互相垂直，所以， 解得； （2）因为，， 所以，则， 所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积. 18．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 19．（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知． (1)若点满足，求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标，利用的向量关系列方程，求解点的坐标，进而可计算． （2）先求向量，的坐标，计算它们的数量积和模长，进而求出夹角的正弦值，最后代入三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）设点，因为，， 所以， 则，解得，所以点， 所以，故． （2）由已知得，，则， ，， 所以，则为锐角， 所以， 因此， 故的面积为． 20．（24-25高二上·上海·期末）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或 (2)3 【分析】（1）利用向量平行和向量模长的从标表示列式求解即可； （2）利用向量数量积和向量模长的坐表示求出夹角进而求得面积即可. 【详解】（1）根据题意，，则， 若，设，又由，则， 解可得，故或. （2）根据题意，， 则， 则，故， 故. 21．（24-25高二上·上海·期中）一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. (1)已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； (2)四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）存在，和； （ii）. 【分析】（1）根据题干信息求出，再代入题干关系得到不等式，解得的取值范围； （2）（i）由结合向量的运算可得，且在同一平面内，随之将问题转化为平面向量的问题，再依次分析哪个满足“h向量”的定义. （ii）由（i）可知过球心，且面积为定值，所以当平面时，四面体体积取得最大值. 【详解】（1）由题意得，，， 又因为是向量组的“h向量”， 所以，即 ，解得或， 故的取值范围为. （2）（i）由题意得，因为四面体内接于球O，所以， 因为，所以， 两边同时平方得， 因为，，， 所以可得，即，，且在同一平面内. 如图所示， 以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 代入得， 于是可得， ， ， 所以由“h向量”的定义，，都是“h向量”. （ii）由（i）得，，且在同一平面内， 所以在过球心的截面上， 又，， 两边平方可得，，即，， 同理，两边平方可得， 即，， 于是 =++=. 所以当平面时，四面体体积取得最大值， 此时. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 空间向量的基本定理及坐标表示 知识清单 知识点01：共面向量定理 知识点02：空间向量基本定理 知识点03：空间向量运算的坐标表示 知识点04：空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 知识点05：向量的坐标及两点间的距离公式 题型讲解 （举一反三） 题型1：空间向量共面求参数 题型2：空间共面向量定理的推论及应用 题型3：空间向量基本定理及其应用 题型4：空间向量的坐标运算 题型5：空间向量模长的坐标表示 题型6：空间向量平行的坐标表示 题型7：空间向量垂直的坐标表示 题型8：空间向量夹角余弦的坐标表示 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 知识点02空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 知识点03空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点04空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 知识点05向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝ 题型1：空间向量共面求参数 【例1-1】已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【变式1-3】设，，是空间中的三个向量，且共面，则 . 题型2：空间共面向量定理的推论及应用 【例2-1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为 ． 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 【变式2-3】下列命题是否为真命题？如果是，给出理由；如果不是，给出反例． (1)设是空间中的四个不同的点，直线与是异面直线，则向量与不共面； (2)如果、是平面上的互不平行的向量，点、不在平面上，那么向量与向量、不共面； (3)如果、是平面上的互不平行的向量，点在平面上，点不在平面上，那么向量与向量、不共面． 题型3：用空间基底表示向量 【例3-1】（25-26高二上·上海·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点N为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）正方体中， ．（用、、表示） 【变式3-2】（25-26高二上·上海宝山·月考）如图，在正方体中，点E是的中点，点F在上，且.试用向量、与的线性组合表示 . 【变式3-3】如图，在正方体中，点是的中点，点在上，且，试用向量、与的线性组合表示．    题型4：空间向量的坐标运算 【例4-1】（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）已知空间直角坐标系，若动点满足，若均取遍，则点的轨迹形成的几何体的体积为 ． 【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）已知向量 ，若 四点共面，则 . 【变式4-3】已知平行四边形中的三个顶点的坐标分别为、与，求顶点的坐标. 题型5：空间向量模长的坐标表示 【例5-1】（24-25高二上·上海·月考）已知向量，那么方向上的单位向量为 . 【变式5-1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 【变式5-2】（24-25高二上·上海·月考）已知向量  则在方向上的数量投影为 【变式5-3】（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 题型6：空间向量平行的坐标表示 【例6-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知为原点，，，，点在直线上运动，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·上海·期末）已知向量，，若，则 ． 【变式6-2】（25-26高二上·上海静安·期中）若，，则 ， . 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 题型7：空间向量垂直的坐标表示 【例7-1】（24-25高二下·上海·月考）已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 【变式7-1】（25-26高二上·上海·期末）设，向量，，且，则（    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 【变式7-2】（25-26高二上·上海·期末）设、，向量，，，且，，则 . 【变式7-3】（24-25高二上·上海黄浦·月考）已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. (1)若，求x的值； (2)若点在平面上，求x的值. 题型8：空间向量夹角余弦的坐标表示 【例8-1】（24-25高二上·上海·月考）已知向量，则与的夹角大小为 ． 【变式8-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）若，，与的夹角为，则λ的值为 ． 【变式8-2】已知． (1)求与夹角的大小； (2)若，求实数k的值． 【变式8-3】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 一、填空题 1．（25-26高二上·上海金山·期末）已知向量和，若，则 ． 2．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 3．（25-26高二上·上海·期中），，与垂直，则实数的值为 . 4．（25-26高二上·上海·期中）已知向量，若．则 ． 5．（25-26高二上·上海金山·期末）已知向量，，若，则 ． 6．（25-26高二上·上海·期中）给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为 ． 7．（25-26高二上·上海静安·期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，，则的长为 . 8．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 9．（25-26高三上·上海·月考）已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 . 10．（25-26高二上·上海·月考）已知，向量，，，若、、是共面向量，则 ． 11．（25-26高二上·上海·期末）已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为 . 12．（24-25高二下·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .    二、单选题 13．（24-25高二上·上海·月考）已知，，且，则为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·上海青浦·月考）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25高二·上海·课堂例题）已知 ，向量，，，且，，则的值为（  ） A．－1 B．1 C．2 D．3 16．（25-26高二上·上海·期中）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点:集合中的任意三个不同点均满足：存在不全为的实数，使得．已知，，则属于集合的点可以是（   ）． A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 18．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 19．（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知． (1)若点满足，求； (2)求的面积． 20．（24-25高二上·上海·期末）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 21．（24-25高二上·上海·期中）一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. (1)已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； (2)四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $