专题17 函数的图像（九类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题17 函数的图像 （九类重难点题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数图象画法及图象变换 题型二、利用函数解析式选择图象 题型三、利用函数图象选择解析式 题型四、利用实际问题作函数图象 题型五、利用函数的图像研究函数的性质、最值 题型六、利用函数的图像解不等式 题型七、利用函数的图像求恒成立问题 题型八、利用函数图像求参数范围 题型九、利用图像处理函数零点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数的图像问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕函数图象画法及图象变换、利用函数解析式选择图象、利用函数图象选择解析式、利用实际问题作函数图象、利用函数的图像研究函数的性质、最值、利用函数的图像解不等式、利用函数的图像求恒成立问题、利用函数图像求参数范围、利用图像处理函数零点问题九大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是注意函数定义域；二是利用函数的性质画图，关注端点的取舍，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数图象画法及图象变换 典例1 （1）若函数的图象如下图所示，函数的图象为（  ）    A．     B．     C．   D．     【答案】C 【解析】函数的图象关于对称可得函数的图象， 再向右平移2个单位得函数，即的图象. 故选：C. （2）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将图象向右平移1个单位，可得图象. 将图象x轴下方部分，沿x轴翻折至上方，x轴上方部分不变可得图象. 将图象向上平移1个单位，可得图象.故选项C满足题意. 故选：C 题型模版 1.特征：图像画法步骤： ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性；④特殊点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴等）． 图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． 函数图像的左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2.方法：作函数图象的方法： （1）直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． （2）转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． （3）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 变式1-1将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像的变换可得结果. 【解析】∵，可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象. 故选：C. 变式1-2若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像变换可得解. 【解析】由图像可知图像上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数的图像， 所以. 故选：A 变式1-3将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据图像的变换可得结果. 【解析】 因为，可得函数的大致图像如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像. 故选：C 题型二、利用函数解析式选择图象 典例2函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性、在上的单调性、函数值的正负情况依次判断和排除ABC，即可得解. 【解析】由题定义域为关于原点对称，且， 故是奇函数，故A错； 当时，， 又是增函数，在上是增函数， 故在上是增函数，故BC错； 故选：D. 题型模版 1.特征：抓住函数解析式的特征，定量计算：寻找函数解析式的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 2.方法：图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性．等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转化为正数，取不到最值改用函数单调性求解 变式2-1函数的图象大致为（  ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】求定义域，确定奇偶性后排除两个选项，再由单调性排除一个，得正确结论． 【解析】的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，排除B，C；当时，，易知在上是增函数，排除A． 故选：D． 变式2-2函数的图象大致为（  ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值进行逐项排除即可求解. 【解析】由题意可知，函数的定义域为,所以，函数是奇函数，故排除D； 因为，故排除C, 因为,故排除A， 故选：B. 变式2-3（多选）函数的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】对参数讨论，研究函数的奇偶性及单调性得正确结论． 【解析】当时，，则选项C符合； 当，故排除D； 当时，的定义域为， 当时，当且仅当时取等号， 由于在为减函数，为增函数， 则函数在上为增函数，在为减函数， 是奇函数， 则奇偶性可得在上的单调性，故选项B符合； 当时，的定义域为， 当，，由于在，为增函数， 则在，为减函数， 是奇函数， 则由奇偶性可得在上的单调性，故A符合. 故选：ABC. 题型三、利用函数图象选择解析式 典例3函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A. 【解析】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 题型模版 1.特征：（1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值． （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性． （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性． （4）从定义域值域判断图像位置； （5）从特殊点排除错误选项 2.方法：由函数图象选择解析式的策略 1．辨类型：看图象形状定函数（直线→一次、抛物线→二次、双曲线→反比例、波浪→三角函数）； 2．抓特征点：取顶点、交点、零点、渐近线代入通用式； 3．判参数符号：增减性定斜率、 开口方向，极值、周期求系数； 4．验证：代图象上一点校验，排除不符解析式. 变式3-1已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解. 【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C； 由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B； 由图可知，当时，， 而对于D选项，当时，，故排除D. 故选：A. 变式3-2我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据时函数值为正排除A；即可得出结果. 【解析】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数， 而D中的函数为偶函数，故排除D； 由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B； 对于A，当时，，不满足图象；对于C，当时，，满足图象. 故排除A，选C. 故选：C 变式3-3已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，取时验证，利用排除法即得. 【解析】当时，， ， ，故排除ABD. 故选：C. 题型四、利用实际问题作函数图象 典例4如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在段运动时和点在上运动时，，之间是线性关系，点在弧上运动时，（定值），即可结合选项求解. 【解析】当点在段运动时，随的增大而匀速增大， 点在弧上运动时，（定值）， 点在上运动时，随着的增大而减小． 故选：C． 题型模版 1.特征：（1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）． （2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）． 2.方法：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 变式4-1在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象. 【解析】由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项． 当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到． 当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则． 当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确. 故选：D. 变式4-2如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】当点在上时：； 当点在上时： ； 当点在上时：， 所以， 由函数解析式可知，有三段线段，又当点在上时是减函数，故符合题意的为A. 故选：A 变式4-3一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V，则函数的大致图像可能是图中的______. 【答案】② 【解析】由题意，水深越深，水的体积越大，排除①，③， 水深由0到时，水深增大时，体积增加的速度越来越快， 水深由到时，水深增大时，体积增加的速度越来越慢，可排除④. 题型五、利用函数的图像研究函数的性质、最值、 典例5设函数． (1)作出函数的图象； (2)若的最大值为，正实数满足，求的最小值． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）分别在、及的情况下，讨论得到的解析式，由此可得函数图象； （2）结合图象可确定，化简已知等式得到，根据，利用基本不等式可求得结果. 【解析】（1）当时，； 当时，； 当时，； 作出的图象如下图所示， （2）由（1）可知：当时，，即， ，即， （当且仅当，即时等号成立）， . 题型模版 1.特征：利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想． 2.方法：对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究: (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值; (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性; (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。 变式5-1（多选）设函数，其中表示，，中的最小者，下列说法正确的有（  ） A． B．对任意的，都有 C．对任意的，有 D．当时，的最大值为1 【答案】ABD 【分析】先分类讨论求得的解析式，再作出函数图象，根据奇偶性的定义及图象性质逐一分析各选项即可. 【解析】因， 当时，，显然， 因，故； 当时，，显然， 由，解得， 则当时，，当时，； 当时，，显然， 由，解得， 则当时，，当时，； 当时，，显然， 因，故. 即. 作出函数的图象如下： 对于：由上函数的解析式易得 ，故正确； 对于，：由图可知，函数的图象关于轴对称， 所以任意的，都有，故正确；错误； 对于：由图知，与在轴右侧的交点横坐标为， 且在和上单调递增，在上单调递减， 而， 因函数的图象关于轴对称，在上都有. 故当时，的最大值为1，故正确. 故选：ABD. 变式5-2已知函数.若，，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】画出的图象如下图所示， 令，则， 且，则， 所以且， 所以， 当时，取得最小值为． 故选：D. 变式5-3定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的t值是 ． 【答案】 【解析】若在上的最大值为4， 所以由，解得或， 所以要使函数最大值为4， 则根据新定义，结合与图像可知， 当，时，，此时解得， 当，时，，此时解得， 故或4， 故答案为：或4. 题型六、利用函数的图像解不等式 典例6（1）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式转化成或，结合图象即可求解. 【解析】由图象可知当时， 可得：或 也即：或， 当时， 可得：或， 也即：或， 所以可转化成： 解得：或， 或解得：， 综上可知：原不等式的解集为：. 故选：B. （2）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 题型模版 1.特征：利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 2.方法：用函数图象解决不等式问题的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解． 变式6-1已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集. 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且. 由图象可知，要使，当时，，得； 当时，，得； 当，不等式不成立； 综上，不等式的解集为. 故选：A. 变式6-2已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数图象，分别确定函数值为正及为负时的取值范围，再求出不等式的解集. 【解析】观察图象，函数满足，当时，，当时，； 函数满足，当时，，当或时，； 由不等式，得，则， 所以原不等式的解集为. 故选：C 变式6-3已知定义在R上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数图像关于原点对称即得函数整体图像,利用图像即得. 【解析】根据奇函数的图象特征，作出在上的图象如图所示， 由，得， 等价于或 解得，或，或． 故不等式解集为：. 故选: C. 题型七、利用函数的图像求恒成立问题 典例7已知函数，． (1)在给出的坐标系中画出函数的图像； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）根据绝对值函数分区间去绝对值后，写成分段函数，即可作出图像； （2）设，由关于的不等式恒成立，则且，得出，画出的大致图像，则满足即可，解得不等式即可求得答案． 【解析】（1）由题得，， 画出的图像如图所示： （2）设， ， ，且， ， 画出的大致图像， 由图像知，若恒成立， 则，即， ， 故实数的取值范围为． 题型模版 1.特征：利用图像法处理函数零点问题，核心在于“数形结合”。。 2.方法：利用函数图像处理函数零点问题解题步骤： 首先将方程f(x)=0 转化为易画图的函数形式，如直接画出 y=f(x) 的图像，或将其拆分为两个基本函数的交点问题（即 f(x)=g(x)）。其次，精准绘制草图，标出关键点（如顶点、截距）及渐近线，清晰展现函数的变化趋势。最后，通过观察图像与 x 轴的交点个数或位置来确定零点的存在性与大致范围。此法直观高效，特别适用于判断零点个数、估算根的范围以及解决含参方程的解的问题。 变式7-1若，且恒成立，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为在恒成立，令，分、、讨论，再结合对称轴的位置和特殊点的函数值可得答案. 【解析】因为，所以， 即在恒成立， 令， 时， 由，方程无解； 由，解得由； 由，方程组无解； 时，只须即可，解得； 时，，时单调递减，，满足题意；综上所述，. 故选：B. 变式7-2已知函数设若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，令，函数的图象如图所示， 当函数的图象经过点时，得. 当的图象与的图象相切时， 由，得，结合图形，由得. 若不等式在R上恒成立， 当时，需满足，即， 当时，需满足，即， 所以， 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 变式7-3已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先作出的图象，即可求出在的取值范围，依题意可得，结合图象可得的解集，即可得解. 【解析】因为，则定义域为， 所以的图象是取与图象位于下方的部分， 作出的图象如下所示（实线部分）： 当时，显然在上单调递减，且； 因为，使得关于的不等式成立， 所以，令，解得， 结合图象可得的解集为或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 题型八、利用函数图像求参数范围题 典例8设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则求实数的取值范围。 【答案】 【分析】根据所给函数满足性质，结合函数图象的伸缩平移变换可作出函数的大致图象，求得函数值等于7时的x的值，数形结合，可求得答案. 【解析】因为时，， 由可知，即将的图象向右平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的2倍，可得到时图象， 又由可知 ，当时，将的图象向左平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的倍， 如图所示： 当时，， 令，得或， 若时，成立，则， 所以实数的取值范围为, 题型模版 1.特征：参数在函数解析式里或者的取值范围里 2.方法：（1）分离参数；（2）画出函数图像；（3）找临界状态；（4）列出不等式；（5）检验边界 变式8-1若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数的大致图象， 由于函数在区间上有最大值， 结合图象，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 变式8-2记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 【答案】 2 【解析】解：作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，令，解得或； 令，解得；令，解得， 由图象知：当时，或或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：2， 变式8-3已知函数，若实数满足，则 ；的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得，且时，关于对称，即可得解. 【解析】由，故在、上单调递减， 在上单调递增，且有，，，，，； 由，则， 由时，，则关于对称，故， 则. 故答案为：；. 题型九、利用图像处理函数零点问题 典例9已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，画出的图象，结合图象，即可求解. 【解析】由有两个不同的零点，即方程有两个不同的解， 即函数与的图象有两个不同的交点， 画出函数的图象，如图所示， 结合图象可得或，解或，即. 故选：B. 题型模版 1.特征：（1）判断有没有零点；（2）判断零点个数；（3）已知零点个数求参数等 2.方法：数形结合处理，（1）分成两个函数；（2）画出两个函数的图像；（3）找临界状态；（4）列范围;（5）检验边界 变式9-1已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知，讨论的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可． 【解析】是定义在上的函数，且有， 当时，， 则时，，则 时， 时， 时， 画出函数与函数的图象， 由图象可知方程的根的个数为3. 故选：C. 变式9-2函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】则已知可设，，则，代入原函数，转换得到，再从可确定整数的个数，再代入原函数进行验证. 【解析】解法一：令，则. 由已知可设，，则. 所以，则. 又因为，所以，解得. 又因为，所以的取值为. 当时，，则. 所以，所以是的零点； 当时，，则. 所以，所以是的零点； 当时，，则. 所以，所以2是的零点. 综上所述，的零点有3个. 解法二：作出函数的图象，其与直线的交点个数即为函数零点的个数， 观察图象有，，共3个交点，即函数有3个零点. 变式9-3已知函数，其中为常数，若函数 的图象如图所示，则（  ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得. 【解析】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 2．已知函数的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像的变换可得结果. 【解析】由图知，将的图象关于轴对称后再向下平移个单位即得图2， 又将的图象关于轴对称后可得函数， 再向下平移个单位，可得 所以解析式为， 故选：C. 3．函数的图像大致为（  ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据特值排除AD，根据奇偶性排除C，即可得出答案. 【解析】由，，可得为奇函数， 其图像关于原点对称，排除选项C； ，排除选项A； 故选：B． 4．已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像的变换可得结果. 【解析】由图②可知，将在的图象沿着轴对称得到， 然后再沿着轴翻折，即可得到. 故选：B 5．函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（  ）    A．的定义域是 B．的值域是 C． D．只与的一个值对应的值的范围是 【答案】B 【解析】由图可知：的定义域是，值域为，故A正确，B错误， ，C正确， 当和时，此时的图像只有一个交点， 故只与的一个值对应的值的范围是,D正确. 6．用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】在一个坐标系中画出的图像，从左到右，取横坐标对应的纵坐标小的点构成新的图像，如图： 其中A点，即与的交点，其纵坐标即为所求 联立，解得， 函数的最大值为3 故选：C. 7．已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的图象特征，将不等式转化成或 【解析】根据偶函数的图象特征， 可知当时，，当时， 由，得， 等价于或 解得，或． 所以不等式解集为： 故选：D. 8．（多选）函数的图象可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】①当时，， 当时，是定义在R上的奇函数，当时，，， 函数在上递减，在上递增， 因此在上递增，在上递减，A可能； 当时，是定义在上的奇函数， 当时，，，函数在上递增， 则在上递增，当时，，同理在上递增，B可能； ②当时，的定义域为，，为偶函数， 若时，当时，（注意）， 当时，，则C不可能； 若时，当时，，当时，，则D可能. 故选：ABD 9．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（  ） A．当时， B． C．不等式的解集为 D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 【答案】ACD 【分析】函数奇偶性求出函数解析式，分段解决分段函数有关的不等式，由函数图像找到交点为4个点的的取值范围. 【解析】当时，，由题意可知，A选项正确； 由题意可知：，B选项错误； ∵，令，则或；令，则或； ∴，即或，即或，C选项正确； 令，即 函数的函数图像如下： 由图像可知，当和存在4个交点时，，D选项正确. 故选：ACD. 10．（多选）设函数，则（  ） A．直线是曲线的对称轴 B．若函数在上单调递减，则 C．对，不等式总成立 D．当时，有 【答案】BCD 【分析】根据函数的对称性、单调性、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】， 画出的图象如下图所示， 对于A，由图可知，不是的对称轴，A错误. 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，B正确. 对于C，对， ， 即总成立，故C正确. 对于D，当时，，则， 此时关于直线对称，故有成立； 当时，，成立； 当时，， 由图知，即成立. 综上所述，当时，，故D正确. 故选：BCD 11．已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 12．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，分段求解析式及对应函数值集合，再结合图象推理计算作答. 【解析】因，则，又当时，， 当时，，， 当时，由，解得或， 当时，，， 显然，当时，，如图， 对任意，都有，必有， 所以m的取值范围是. 故答案为： 13．设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为____________． 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【解析】（1）当时， ， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时， ， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 14．已知函数（其中）．    (1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象； (2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值． 【答案】(1)作图见解析； (2)最大值为，. 【分析】（1）把代入，再画出函数图象即可. （2）作出函数与直线围成多边形，并求出面积表达式，再求出最大值即得. 【解析】（1）当时，， 在坐标平面内作出函数的图象，如图：    （2）依题意，，其图象如图：    令，得函数的图象与直线的两个交点， 直线与直线交于点， 显然，即点， 函数的图象与直线围成多边形为四边形，其面积为： ， 显然函数在上单调递增，当时，， 所以函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值为，此时. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 函数的图像 （九类重难点题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数图象画法及图象变换 题型二、利用函数解析式选择图象 题型三、利用函数图象选择解析式 题型四、利用实际问题作函数图象 题型五、利用函数的图像研究函数的性质、最值 题型六、利用函数的图像解不等式 题型七、利用函数的图像求恒成立问题 题型八、利用函数图像求参数范围 题型九、利用图像处理函数零点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数的图像问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕函数图象画法及图象变换、利用函数解析式选择图象、利用函数图象选择解析式、利用实际问题作函数图象、利用函数的图像研究函数的性质、最值、利用函数的图像解不等式、利用函数的图像求恒成立问题、利用函数图像求参数范围、利用图像处理函数零点问题九大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是注意函数定义域；二是利用函数的性质画图，关注端点的取舍，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数图象画法及图象变换 典例1 （1）若函数的图象如下图所示，函数的图象为（  ）    A．     B．     C．   D．     （2）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：图像画法步骤： ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性；④特殊点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴等）． 图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． 函数图像的左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2.方法：作函数图象的方法： （1）直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． （2）转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． （3）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 变式1-1将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（  ） A． B． C． D． 变式1-2若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　） A． B． C． D． 变式1-3将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（  ） A．   B．   C．   D．   题型二、利用函数解析式选择图象 典例2函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：抓住函数解析式的特征，定量计算：寻找函数解析式的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 2.方法：图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性．等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转化为正数，取不到最值改用函数单调性求解 变式2-1函数的图象大致为（  ） A．B．C．D． 变式2-2函数的图象大致为（  ） A．B．C．D． 变式2-3（多选）函数的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   题型三、利用函数图象选择解析式 典例3函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：（1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值． （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性． （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性． （4）从定义域值域判断图像位置； （5）从特殊点排除错误选项 2.方法：由函数图象选择解析式的策略 1．辨类型：看图象形状定函数（直线→一次、抛物线→二次、双曲线→反比例、波浪→三角函数）； 2．抓特征点：取顶点、交点、零点、渐近线代入通用式； 3．判参数符号：增减性定斜率、 开口方向，极值、周期求系数； 4．验证：代图象上一点校验，排除不符解析式. 变式3-1已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（  ） A． B． C． D． 变式3-2我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（  ） A． B． C． D． 变式3-3已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（  ） A． B． C． D． 题型四、利用实际问题作函数图象 典例4如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：（1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）． （2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）． 2.方法：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 变式4-1在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（  ）    A．   B．   C．   D．   变式4-2如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（  ）    A．   B．   C．   D．   变式4-3一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V，则函数的大致图像可能是图中的______. 题型五、利用函数的图像研究函数的性质、最值、 典例5设函数． (1)作出函数的图象； (2)若的最大值为，正实数满足，求的最小值． 题型模版 1.特征：利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想． 2.方法：对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究: (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值; (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性; (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。 变式5-1（多选）设函数，其中表示，，中的最小者，下列说法正确的有（  ） A． B．对任意的，都有 C．对任意的，有 D．当时，的最大值为1 变式5-2已知函数.若，，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D．2 变式5-3定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的t值是 ． 题型六、利用函数的图像解不等式 典例6（1）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． （2）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 题型模版 1.特征：利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 2.方法：用函数图象解决不等式问题的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解． 变式6-1已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 变式6-2已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（  ）    A． B． C． D． 变式6-3已知定义在R上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 题型七、利用函数的图像求恒成立问题 典例7已知函数，． (1)在给出的坐标系中画出函数的图像； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型模版 1.特征：利用图像法处理函数零点问题，核心在于“数形结合”。。 2.方法：利用函数图像处理函数零点问题解题步骤： 首先将方程f(x)=0 转化为易画图的函数形式，如直接画出 y=f(x) 的图像，或将其拆分为两个基本函数的交点问题（即 f(x)=g(x)）。其次，精准绘制草图，标出关键点（如顶点、截距）及渐近线，清晰展现函数的变化趋势。最后，通过观察图像与 x 轴的交点个数或位置来确定零点的存在性与大致范围。此法直观高效，特别适用于判断零点个数、估算根的范围以及解决含参方程的解的问题。 变式7-1若，且恒成立，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式7-2已知函数设若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式7-3已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是__________． 题型八、利用函数图像求参数范围题 典例8设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则求实数的取值范围。 题型模版 1.特征：参数在函数解析式里或者的取值范围里 2.方法：（1）分离参数；（2）画出函数图像；（3）找临界状态；（4）列出不等式；（5）检验边界 变式8-1若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 变式8-2记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 变式8-3已知函数，若实数满足，则 ；的取值范围是 . 题型九、利用图像处理函数零点问题 典例9已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：（1）判断有没有零点；（2）判断零点个数；（3）已知零点个数求参数等 2.方法：数形结合处理，（1）分成两个函数；（2）画出两个函数的图像；（3）找临界状态；（4）列范围;（5）检验边界 变式9-1已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式9-2函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 变式9-3已知函数，其中为常数，若函数 的图象如图所示，则（  ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（  ）． A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（  ） A． B． C． D． 3．函数的图像大致为（  ） A．B．C．D． 4．已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（  ）    A． B． C． D． 5．函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（  ）    A．的定义域是 B．的值域是 C． D．只与的一个值对应的值的范围是 6．用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 8．（多选）函数的图象可能为（  ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（  ） A．当时， B． C．不等式的解集为 D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 10．（多选）设函数，则（  ） A．直线是曲线的对称轴 B．若函数在上单调递减，则 C．对，不等式总成立 D．当时，有 11．已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 12．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______． 13．设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为____________． 14．已知函数（其中）．    (1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象； (2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $