专题13 函数的解析式的求法及其应用（十类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题13 函数的解析式的求法及其应用 （十类重难点题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、待定系数法求解析式 题型二、换元法求解析式 题型三、配凑法求解析式 题型四、方程组求解析式 题型五、利用函数的奇偶性求解析式 题型六、利用函数的对称性求解析式 题型七、赋值法求解析式 题型八、利用函数图像求解析式 题型九、利用嵌套换元法求解析式 题型十、求解析式中的参数值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数的解析式的求法及其应用是高中数学核心重难点，所有题型均围绕待定系数法求解析式、换元法求解析式、配凑法求解析式类、方程组求解析式类、利用函数的奇偶性求解析式、利用函数的对称性求解析式、赋值法求解析式、利用函数图像求解析式、利用夹逼法求解析式、利用嵌套换元法求解析式、求解析式中的参数值十一大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是定义域优先；二是常见求解析式方法的掌握，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、待定系数法求解析式 典例1 若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 题型模版 1.特征：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2.方法：适用题型为已知函数类型，具体步骤①设出含有待定系数的函数解析式 ②将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数； 变式1-1已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 变式1-2已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 变式1-3已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值集合． 类型二、换元法求解析式 典例2 已知，则函数的解析式为（  ） A． B．（） C．（） D．（） 题型模版 1.特征：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围 2.方法：已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 变式2-1已知函数，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 变式2-2已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 变式2-3已知函数，则___________ 题型三、配凑法求解析式 典例3若函数，则 . 题型模版 1.特征：由已知条件，可将改写成关于的表达式 2.方法：已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式. 变式3-1若函数，则（ ） A． B． C． D． 变式3-2已知，则（ ） A． B． C． D． 变式3-3已知，则（  ） A． B． C． D． 题型四、方程组求解析式 典例4 已知函数满足，则 . 题型模版 1.特征：主要解决已知与、、……的方程，求解析式 2.方法：在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 变式4-1已知函数满足，则的解析式是（ ） A． B． C． D． 变式4-2设函数满足等式，则的值域为（ ） A． B． C． D． 变式4-3设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 题型五、利用函数的奇偶性求解析式 典例5已知偶函数，当时，，则当时，（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知是定义在区间I上的奇（偶）函数，且在部分区间的表达式给出，求对称区间的函数解析式。 2.方法：第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 第二步：将代入题干已知的表达式中； 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 注意：求函数值时由内到外依次求值 变式5-1已知奇函数则 ． 变式5-2是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 变式5-3已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 题型六、利用函数的对称性求解析式 典例6 下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知函数图象关于直线或点对称，且在部分区间的表达式给出，求对称区间的函数解析式。 2.方法：利用函数图象对称中心，对称轴求其解析式时要注意熟记以下结论： 定理1若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得） 推论1. 函数与函数的图象关于直线对称. 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图象关于直线x = a成轴对称. 推论2 .函数与函数的图象关于直线对称. 推论3 函数与函数的图象关于直线对称. 函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 定理2 若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称. 推论1. 函数与函数图象关于点对称. 推论2.函数的图象关于点对称的解析式为推论３. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图象关于点A (a ,b)成中心对称. 推论3.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） (1)曲线与关于x轴对称. (2)曲线与关于y轴对称.　 (3).函数y = f (x)的图象与x = f (y)的图象关于直线x = y 成轴对称 (4)曲线与关于直线对称. (5)曲线关于直线对称曲线为. (6)曲线关于直线对称曲线为. 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图象关于直线x +y = a成轴对称. (7)曲线关于直线对称曲线为. 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图象关于直线x－y = a成轴对称. 8.曲线关于点对称曲线为. 变式6-1与曲线关于原点对称的曲线为（ ） A． B． C． D． 变式6-2若函数的图像关于直线对称，则a的值是 ． 变式6-3已知函数的图象关于点对称，则 ． 题型七、赋值法求解析式 典例7 已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 题型模版 1.特征：主要解决一类与抽象函数有关的解析式。 抽象函数的模型： 反比例函数：，则， 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； ②权方和不等式能够推广到项通用形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立。 2.方法：结合已知条件，利用赋值法对等式中变量进行赋值。 变式7-1已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 变式7-2设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 变式7-3已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（ ） A．2 B．5 C． D．3 题型八、利用函数图像求解析式 典例8函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给出函数的图像研究函数的解析式。 2.方法：方法一：先确定函数类型（如一次，二次,分段函数等），再根据图象上的关键点（顶点、交点、特殊点），代入设出的解析式，列方组（组）求解系数，最后验证. 方法二：取图象上的特定点代入各解析式排除错误的选项，并结合图象中呈现出的定义域、值域、对称性、单调性以及奇偶性等确定出正确的函数解析式. 变式8-1已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 变式8-2在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A． B． C． D． 变式8-3函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 题型九、利用嵌套换元法求解析式 典例9 已知函数为单调函数，且对任意实数，都有，则 （ ） A．0 B． C． D． 题型模版 1.特征：嵌套函数的解析式 2.方法：一般采用嵌套换元法求解.这类题型套路固定，一般先两次换元，然后猜根，即可求得解析式． 变式9-1已知 是定义在上的单调函数，满足，且 ，若 ，则与的关系是（ ） A． B． C． D． 变式9-2（多选）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（ ） A． B．2 C．是奇函数 D．是奇函数 变式9-3已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则____________ 题型十、求解析式中的参数值 典例10设，若，则（  ） A．或 B．或 C．或 D． 题型模版 1.特征：通过求解析式中的参数值进而函数值 2.方法：利用求解析式的方法处理解析式中的参数 变式10-1已知，且，则m等于（  ） A． B．2 C． D．3 变式10-2已知，且，则（ ） A．3 B． C．1 D． 变式10-3设函数的定义域为，且，当时，，则（  ） A． B． C．4 D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，，则（ ） A．或3 B．1或3 C． D．3 3．已知，则的解析式为（  ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，且，则（  ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 5．已知函数满足，则（ ）． A．3 B．4 C．5 D．6 6．若，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增 C． D．函数在上单调递减 7．（多选）已知定义域为，则错误的是（  ） A． B． C．， D．函数的定义域为 8．（多选）下列命题中正确的有（ ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 9．（多选）已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（  ） A． B．，都有，且 C． D． 10．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则 ， . 11．已知函数，则函数的解析式是___________ 12．已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 13．设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 14．已知函数对一切的实数，，都满足，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）求在上的值域. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 函数的解析式的求法及其应用 （十类重难点题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、待定系数法求解析式 题型二、换元法求解析式 题型三、配凑法求解析式 题型四、方程组求解析式 题型五、利用函数的奇偶性求解析式 题型六、利用函数的对称性求解析式 题型七、赋值法求解析式 题型八、利用函数图像求解析式 题型九、利用嵌套换元法求解析式 题型十、求解析式中的参数值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数的解析式的求法及其应用是高中数学核心重难点，所有题型均围绕待定系数法求解析式、换元法求解析式、配凑法求解析式类、方程组求解析式类、利用函数的奇偶性求解析式、利用函数的对称性求解析式、赋值法求解析式、利用函数图像求解析式、利用夹逼法求解析式、利用嵌套换元法求解析式、求解析式中的参数值十一大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是定义域优先；二是常见求解析式方法的掌握，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、待定系数法求解析式 典例1 若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得. 【解析】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 故答案为： 题型模版 1.特征：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2.方法：适用题型为已知函数类型，具体步骤①设出含有待定系数的函数解析式 ②将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数； 变式1-1已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 变式1-2已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【解析】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以 故答案为： 变式1-3已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)实数的取值集合为 【解析】（1）设，又，所以，所以， 又，所以， 即，所以，解得， 所以； （2）若时，恒成立，则的解集为， 即的解集为，所以， 所以，即，解得， 所以实数的取值集合为． 类型二、换元法求解析式 典例2 已知，则函数的解析式为（  ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】令（），采用换元法求函数的解析式. 【解析】设（），则， ， 所以（）， 故选：C. 题型模版 1.特征：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围 2.方法：已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 变式2-1已知函数，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 变式2-2已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，且，所以， 故选：B 变式2-3已知函数，则___________ 【答案】 【分析】利用换元法求出函数的解析式. 【解析】令，则，且，则， 可得， 所以. 故答案为： 题型三、配凑法求解析式 典例3若函数，则 . 【答案】 【分析】利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； 【解析】函数，又的值域为， ， 故答案为：. 题型模版 1.特征：由已知条件，可将改写成关于的表达式 2.方法：已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式. 变式3-1若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以． 故选：D. 变式3-2已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A 变式3-3已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法求解即可； 【解析】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以 故选：D. 题型四、方程组求解析式 典例4 已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【解析】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 题型模版 1.特征：主要解决已知与、、……的方程，求解析式 2.方法：在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 变式4-1已知函数满足，则的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，（1） 在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且 故选：B. 变式4-2设函数满足等式，则的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得： ， 两式联立可得：， 所以，， 因为， 所以， 所以的值域为， 故选：A 变式4-3设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 【答案】1 【解析】由得，解方程组得， 因为的定义域为，所以等号成立时. 所以的最小值为1. 故答案为： 题型五、利用函数的奇偶性求解析式 典例5已知偶函数，当时，，则当时，（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解析】当，则，， 又为偶函数，所以，当时，． 故选：D. 题型模版 1.特征：已知是定义在区间I上的奇（偶）函数，且在部分区间的表达式给出，求对称区间的函数解析式。 2.方法：第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 第二步：将代入题干已知的表达式中； 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 注意：求函数值时由内到外依次求值 变式5-1已知奇函数则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解析】当时，，， 则． 故答案为：. 变式5-2是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【答案】， 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解析】∵是奇函数，是偶函数， ∴，， 又，① 用代替上式中的，得， 即．② 联立①②得， 故答案为， 变式5-3已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】①设二次函数，则 又为偶函数，所以， 因为是奇函数，所以，即 化简得，即， 又，所以，所以 又，所以，解得 所以，， ②令，， 则可化为： ， ， 两边除以得 令，则，设， 对称轴为，，故最大值为 故答案为： 题型六、利用函数的对称性求解析式 典例6 下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 题型模版 1.特征：已知函数图象关于直线或点对称，且在部分区间的表达式给出，求对称区间的函数解析式。 2.方法：利用函数图象对称中心，对称轴求其解析式时要注意熟记以下结论： 定理1若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得） 推论1. 函数与函数的图象关于直线对称. 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图象关于直线x = a成轴对称. 推论2 .函数与函数的图象关于直线对称. 推论3 函数与函数的图象关于直线对称. 函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 定理2 若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称. 推论1. 函数与函数图象关于点对称. 推论2.函数的图象关于点对称的解析式为推论３. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图象关于点A (a ,b)成中心对称. 推论3.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） (1)曲线与关于x轴对称. (2)曲线与关于y轴对称.　 (3).函数y = f (x)的图象与x = f (y)的图象关于直线x = y 成轴对称 (4)曲线与关于直线对称. (5)曲线关于直线对称曲线为. (6)曲线关于直线对称曲线为. 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图象关于直线x +y = a成轴对称. (7)曲线关于直线对称曲线为. 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图象关于直线x－y = a成轴对称. 8.曲线关于点对称曲线为. 变式6-1与曲线关于原点对称的曲线为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，可知点在曲线，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得结果. 【解析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点， 则点关于原点的对称点在曲线上，所以，， 化简得，因此，与曲线关于原点对称的曲线为. 故选：A 变式6-2若函数的图像关于直线对称，则a的值是 ． 【答案】 【解析】设是函数的图像上任一点，即， 关于直线对称的点也在函数的图像上，即，整理为， 即，即. 故答案为：-1. 变式6-3已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论. 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：6. 题型七、赋值法求解析式 典例7 已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 【答案】14 【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求. 【解析】，，是定义在上的单调函数， 则为定值，设，则， ，解得，得， 所以. 故答案为：14. 题型模版 1.特征：主要解决一类与抽象函数有关的解析式。 抽象函数的模型： 反比例函数：，则， 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； ②权方和不等式能够推广到项通用形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立。 2.方法：结合已知条件，利用赋值法对等式中变量进行赋值。 变式7-1已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可. 【解析】设，由， 代入可得，，解得， . 故答案为：.（答案不唯一只要正确即可） 变式7-2设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【解析】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得，即． 故答案为： 变式7-3已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（ ） A．2 B．5 C． D．3 【答案】D 【解析】由任意的，均有， 由带入可得： ， 所以 所以， 由为减函数，所以 所以 即 由， 所以， 化简整理可得， 所以或， 由为减函数所以， 故当时， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 题型八、利用函数图像求解析式 典例8函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 故选：A. 题型模版 1.特征：给出函数的图像研究函数的解析式。 2.方法：方法一：先确定函数类型（如一次，二次,分段函数等），再根据图象上的关键点（顶点、交点、特殊点），代入设出的解析式，列方组（组）求解系数，最后验证. 方法二：取图象上的特定点代入各解析式排除错误的选项，并结合图象中呈现出的定义域、值域、对称性、单调性以及奇偶性等确定出正确的函数解析式. 变式8-1已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 变式8-2在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【解析】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 变式8-3函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解. 【解析】由题可得，由于图像关于对称，所以，， 得，， 所以不等式，即的解集为. 故选：D. 题型九、利用嵌套换元法求解析式 典例9 已知函数为单调函数，且对任意实数，都有，则 （ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】首先令，则有；再令，则有.高中阶段此类超越方程均需猜根，易知时满足方程，则有，则有，从而选 D. 故选：D. 题型模版 1.特征：嵌套函数的解析式 2.方法：一般采用嵌套换元法求解.这类题型套路固定，一般先两次换元，然后猜根，即可求得解析式． 变式9-1已知 是定义在上的单调函数，满足，且 ，若 ，则与的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则有且有，令，则有，简单反猜得 ，从而有，则有．因为，故有，故有 故选：C. 变式9-2（多选）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（ ） A． B．2 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】BD 【解析】令可得：， 再令，可得， 即函数为一次函数， 设，代入给定等式， 左边：， 右边： 对比系数得： 若，得，，与无交点，舍去； 若，得，即，验证满足原等式. 已知，即，得， 对于选项A：，错误； 对于选项B：，错误； 对于选项C：，显然不是奇函数，错误； 对于选项D，令，定义域为R， 满足，是奇函数，正确. 故选：BD. 变式9-3已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则____________ 【答案】2026 【解析】定义在上的函数满足， 取，得，则， 取，得，于是， 而，则， 当时，， 因此，， 则， 所以，. 故答案为：2026 题型十、求解析式中的参数值 典例10设，若，则（  ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【解析】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 题型模版 1.特征：通过求解析式中的参数值进而函数值 2.方法：利用求解析式的方法处理解析式中的参数 变式10-1已知，且，则m等于（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】令解得，代入得，解之可得选项. 【解析】因为，所以令解得，所以， 解得， 故选：D. 变式10-2已知，且，则（ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】， 且，令，，解得， ，即,. 故选：C 变式10-3设函数的定义域为，且，当时，，则（  ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据函数性质，利用赋值法可得解. 【解析】因为，取，可得， 即， 因为，取，则， 因为，所以，解得， 因为，取，则， 所以，解得，则. 故选：D. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则当时，，有， 又函数是奇函数， 则， 故当时，. 故选：D. 2．已知函数，，则（ ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【解析】令，解得，则，则． 故选：D. 3．已知，则的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【解析】令， 由， 则，即. 故选：C. 4．已知函数的定义域为，且，则（  ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【解析】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 5．已知函数满足，则（ ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 6．若，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增 C． D．函数在上单调递减 【答案】C 【解析】由得：，则图象关于对称， 当时，，， ，作出图象如下图所示， 由图象可知：不关于坐标原点对称，不是奇函数，A错误； 在上单调递减，B错误； ，C正确； 在上单调递增，D错误. 故选：C. 7．（多选）已知定义域为，则错误的是（  ） A． B． C．， D．函数的定义域为 【答案】ABD 【分析】首先需要根据已知条件求出的表达式，再据此计算各选项中的函数值并判断定义域是否正确. 【解析】已知，设，则. 因为，所以. 那么，化简可得，，即，.   当时，，所以无定义，A选项错误.   当时，，所以无定义，B选项错误.   由前面的计算可知，，C选项正确.   对于函数，因为的定义域为，所以. 解不等式得，所以函数的定义域为，D选项错误. 故选：ABD. 8．（多选）下列命题中正确的有（ ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误. 【解析】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 故选：BCD. 9．（多选）已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（  ） A． B．，都有，且 C． D． 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义以及赋值法求解. 【解析】对于选项，因为为奇函数，所以，则正确，错误； 由可知，令，则，则正确，错误； 故选：AD. 10．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则 ， . 【答案】， 【解析】（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即， 所以，解得，，又，得，所以. 故答案为：， 11．已知函数，则函数的解析式是___________ 【答案】， 【分析】利用配凑法求解即可； 【解析】，且，所以，. 故答案为：， 12．已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 【答案】 【解析】因为， 令得，所以； 当时， 令得，则①， 又②， 用替换可得③， 由②③，可得， 将①式代入，可得， 又，两式相加，整理得， 显然当时也成立， 所以. 故答案为： 13．设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 【答案】 【解析】令，则可得，， 又， 令，则，且， 于是为偶函数，同理， 注意到， 假设存在某个，使得，不妨令， 则，当时，左边，而右边，矛盾. 因为为偶函数，故当时同样矛盾， 当时，则，，同理可证， 再根据偶函数可证当也是矛盾的， 综上，对一切实数，有， 当时，有可得，又因， 故对一切实数都有 故答案为： 14．已知函数对一切的实数，，都满足，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）求在上的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）令则 （2）令则； （3）对称轴为， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $