专题16 抽象函数的应用（十类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题16 抽象函数的应用 （十类重难点题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽象函数的定义域求解 题型二、抽象函数的函数值求解 题型三、抽象函数的值域（最值）求解 题型四、抽象函数的解析式求解 题型五、抽象函数单调性的应用 题型六、抽象函数奇偶性的应用 题型七、抽象函数对称性的应用 题型八、抽象函数比较大小 题型九、抽象函数解不等式 题型十、抽象函数性质的综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 抽象函数的应用问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕抽象函数的定义域求解、抽象函数的函数值求解、抽象函数的值域（最值）求解、抽象函数的解析式求解、单调性的应用、奇偶性的应用、抽象函数对称性的应用、抽象函数比较大小、抽象函数解不等式、抽象函数性质的综合十大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是抽象函数的概念与性质；二是构造具体函数拟合，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽象函数的定义域求解 典例1 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的概念，以及抽象函数定义域的求法，根据换元法，求出结果即可. 【解析】因为的定义域为，所以，所以. 则的定义域为，故对于，令，解得. 故的定义域为， 故选：B. 题型模版 1.特征：抽象函数定义域的类型： （1）已知的定义域，求的定义域； （2）已知的定义域，求的定义域； （3）已知的定义域，求的定义域． 2.方法：抽象函数定义域的类型： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域． （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域． （3）已知的定义域，求的定义域：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域． 求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的。 注意：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集． 变式1-1已知函数的定义域是，则的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可． 【解析】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 变式1-2函数的定义域为，函数，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可． 【解析】由于的定义域为，故， 因此的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故选：C 变式1-3已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为,求实数m的取值范围__________. 【答案】 【解析】函数的定义域为，，令,则，由题意知，当时，，作出函数 的图象，      如图所示，由图可得，当或时，，当时，，时，实数的取值范围是，故答案为. 类型二、抽象函数的函数值求解 典例2（1）已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可. 【解析】因为， 令，可得； 令，可得； 两式相加可得， 令，可得； 则，即. 故选：D. （2）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，时，，所以； 令得，所以； ，， ，…， . 故选：C. 题型模版 1.特征：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值 2.方法：常用赋值法来解决．常见的赋值情况：（1）第一层次赋值：常常令字母取等；（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取；第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和或积（较多）或者差或商（较少）． 变式2-1若函数的定义域为，且，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值. 【解析】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得. 故选：D. 变式2-2已知函数满足，则下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【解析】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 故选：A 变式2-3已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）取都为时，代入题中关系式即可证明； （2）令，分析可得，进而可求，令，分析可得，整理得，即可得结果. 【解析】（1）因为， 取都为时，所以. （2）令，则，可得或， 当时，令，则，即与矛盾， 所以， 因为， 令，则，可得， 令，则， 即， 即， 可得， 用代可得， 可得，即， 所以 题型三、抽象函数的值域（最值）求解 典例3已知满足，且，则的值域为_____ 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解析】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 故答案为：. 题型模版 1. 特征：所谓抽象函数是指用函数符号（如表示），却没有给出具体解析式的函数，抽象函数的值域 一是借助函数图象的变换求解，如函数图象左右平移，其值域不变；函数图象上下平移，其值域也相应平移相同个单位；二是利用赋值法求解. 2.方法：抽象函数的值域求解通常需要灵活运用多种方法．可以利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来推断值域；通过赋值法代入特殊值或参数简化问题；借助数形结合法直观观察函数图像的特征；或者利用不等式等工具研究函数的极值和最值．此外，还可以通过构造具体函数模型、分离常数、整体代换等技巧来求解值域． 变式3-1已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（  ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【解析】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得， 则，则，而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为3. 故选：B 变式3-2已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质即可求解 【解析】因为，可知， 又因为为奇函数，且连续不断，则，则， 且，可知， 由奇函数对称性可知：时，， 且，， 所以在定义域的值域为. 故选：B. 变式3-3已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为__________ 【答案】 【分析】利用置换求出进而研究最大值. 【解析】因为，将置换解得：， ， 设当时， 当时，， 又因为， 当时，取得最大值，，即函数最大值为， 故答案为： 题型四、抽象函数的解析式求解 典例4（1）设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用赋值法先求出解析式. 【解析】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即． 故答案为： （2）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 【答案】14 【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求. 【解析】，，是定义在上的单调函数， 则为定值，设，则， ，解得，得， 所以. 故答案为：14. 题型模版 1.特征：一是构造关于函数(如)的方程（组），通过解方程（组）即得所求函数（如）的解析式； 二是结合所给条件确定相应函数的模型，再求出其待定系数，即得函数的解析式. 2.方法：①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x) ． ②凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求； ③待定系数法：已知函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数． ④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式． ⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 的表达式． ⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如)，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求的解析式． 变式4-1(多选)已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断. 【解析】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误． 故选：ABC 变式4-2设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 【答案】 【解析】令，则可得，， 又， 令，则，且， 于是为偶函数，同理， 注意到， 假设存在某个，使得，不妨令， 则，当时，左边，而右边，矛盾. 因为为偶函数，故当时同样矛盾， 当时，则，，同理可证， 再根据偶函数可证当也是矛盾的， 综上，对一切实数，有， 当时，有可得，又因， 故对一切实数都有 变式4-3设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 【答案】 【解析】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. 题型五、抽象函数单调性的应用 典例5已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（  ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【分析】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性. 【解析】对A，令，则， ，即， 故，所以A不正确； 对B，取代入：， 即，即在上为奇函数， 设， 所以，且， 故： 即：，故B错误； 对C，由B知函数在上单调递增，故C错误； 对D，由C结合函数为奇函数且， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 题型模版 1.特征：判断抽象函数单调性的方法：利用函数单调性的定义判别 2.方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论． （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 变式5-1已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在上的单调性，再利用单调性求出最大值. 【解析】任取，则， 由当时，都有，得， 任意的，都有， 即， 则， 因此函数在上单调递增， 故时， . 故选：B 变式5-2（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（  ） A．是偶函数 B． C． D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】分别赋值可判断AB，令可判断C，利用定义判断单调性，再由奇偶性判断D. 【解析】令，再令，得（1）， 即，所以，故B正确； 令，得， 由（1）得，故A正确； 令， 即，故C不正确； 设，则， 则由的分析及题意可得， 即在上单调递减，又是偶函数， 在上单调递增，故D正确， 故选：ABD. 变式5-3已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)在上单调递减，证明见解析；(3) 【分析】（1）由赋值法即可求解，（2）利用单调性的定义即可求证，（3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【解析】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是 题型六、抽象函数奇偶性的应用 典例6 已知函数的定义域为，，则（  ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【解析】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 题型模版 1.特征：判断抽象函数奇偶性的关键是得到和的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留和的关系． 注意：证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律． 2.方法：（1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如，等； （2）尝试适当的换元字母，构造出和，如可令，可令等； （3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧． 变式6-1已知定义在R上的奇函数，满足，，则（  ） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．一定是奇函数 D．一定是偶函数 【答案】C 【分析】通过赋值求得，可得，由奇偶性可得，从而即可判断函数的奇偶性． 【解析】因为是定义在R上的奇函数，且满足，(*)， 令，可得，所以，则， 代入(*)，可得，又， 则，即得， 则有， 所以为奇函数，经验证，其它选项均不符合题意． 故选：C. 变式6-2已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（  ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】由，利用赋值法求解. 【解析】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C 变式6-3（多选）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】由，利用赋值法求解. 【解析】依题意，且， 令，得，故A选项正确. 令，则，， 即，故B选项正确 由于，故C选项错误. 令，得， 即，即， 所以为奇函数，故D选项正确. 故选：ABD 题型七、抽象函数对称性的应用 典例7已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（  ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【解析】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 题型模版 1.特征：（1）对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； （2）如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 2.方法：单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）. ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）. 变式7-1已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 变式7-2已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（  ） A．2000 B．1999 C．4000 D．3999 【答案】D 【解析】函数为定义在R上的奇函数，函数， 所以， 设 则， 两式相加可得，解得， 所以． 故选：D. 变式7-3已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性定义分析函数的对称性，根据函数性质逐项分析判断. 【解析】由为偶函数，得，即关于对称. 由为奇函数，得，令可得. 所以，， 联立得，， 选项A：仅知关于对称，无任何条件可推出，值不确定，A错误. 选项B：由为奇函数得，由对称性，未知，故不一定成立，B错误. 选项C：由，令，得，即恒成立，C正确. 选项D：在中，令，得，由， 所以，故，不一定等于，D错误. 题型八、抽象函数比较大小 典例8定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可. 【解析】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A. 题型模版 1.特征：抽象函数比较大小问题主要包括（1）判断自变量值的大小关系；（2）判断函数值的大小关系。 2.方法：抽象函数比较大小问题的思路总结： （1）首先考虑函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，通过这些性质来判断函数值的大小关系． （2）对于含参数的抽象函数，可以通过合理赋值参数，简化问题，从而比较大小． （3）绘制函数图像，通过观察图像的走势、交点等特征，直观地判断函数值的大小关系． （4）构造具体的函数模型，类比抽象函数的性质，通过具体函数的性质来推断抽象函数的大小关系． 变式8-1已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性，求解. 【解析】任取，，且，设，， 由，得， 即，所以， 所以在上为减函数， 即. 故选：C. 变式8-2已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由递推，求解. 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 变式8-3定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性和对称性求解即可. 【解析】因为对任意恒成立， 所以函数关于对称， 所以， 又因为函数在上是增函数， 所以， 所以. 故选：A 题型八、抽象函数解不等式 典例9已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析；；(2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【解析】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 题型模版 1.特征：利用单调性解不等式的相关结论： （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 抽象函数解不等式的关键是利用奇偶性、对称性、周期性将变量转化到同一单调区间内进行求解 2.方法：一般利用抽象函数的单调性、奇偶性或对称性脱去抽象不等式中的符号“f”，转化为具体不等式求解 变式9-1已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知利用函数的单调性化简不等式求解即可． 【解析】任取， 从而, 因为，所以， 所以，则在R上单调递增． 不等式等价于不等式，即． 因为在R上单调递增，所以，解得． 故选：A. 变式9-2已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【解析】由题意可知， 当 时，，在上单调递减，则的解集为； 当 时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为； 所以，的解集是的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：D. 变式9-3已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数；(2)在上的单调递减，证明见解析；(3). 【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可． 【解析】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 题型十、抽象函数性质的综合 典例10已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【解析】令，则， 由， 可得， 即， 又因为为奇函数，所以. 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故，即恒成立. 因为，所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 题型模版 1.特征： 2.方法：抽象函数综合应用问题解题策略 1.赋值法：取特殊值（如 x=0、x=y、y=-x），求特殊函数值、奇偶性. 2.换元变形：合理代换自变量，推导单调性、周期性、对称性. 3.数形结合：依托性质草图辅助分析，简化不等式、方程问题. 4.巧用结论：熟记周期、对称间的关联规律，快速推理. 5.定义域优先：解题全程紧盯自变量取值范围，避免出错. 变式10-1已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【解析】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称， 所以为奇函数. 令，则，所以为偶函数， 对于，有，所以在上单调递增， 所以在上单调递减. 由，得，， 当时，变形为，即，解得； 当时，变形为，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 变式10-2（多选）定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（  ） A． B．的图象关于点对称 C． D．在上单调递增 【答案】BC 【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解. 【解析】令，得到，则.故A错误. 令，得到， 则， 则或, 由于当时，，则此时， 故时，，故时，，所以， 而，故对任意恒成立，则关于对称. 可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 则的图象关于点对称，故B正确. 令，得到， 则. 令，得到 令，得到， 两式相减得， 变形， 即, 时，，两边除以， 即，故C正确. 令，则， 时，，则， 且，则，即.故D错误. 故选：BC. 变式10-3若定义域为的函数满足：对任意的和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析，在上是严格递增函数； (3). 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. （2）任取，设， 解法一：， 因为，，又，， 所以，， 所以，即， 所以在上是严格递增函数. 解法二：由（1）函数为奇函数，则 任取，且，则，故且. 所以，； 所以，函数在上严格递增. （3）， 则， ， 又不等式对恒成立， 则对恒成立， 又在上严格递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，则，解得， 综上，. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（  ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【解析】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 2．已知函数满足对任意实数，都有，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 故选：A 3．已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】B 【解析】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【解析】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 5．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（  ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用单调性的定义即可求证， 【解析】任取，令， 则， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 6．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【解析】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 7．（多选）已知函数对任意恒有，且，则（  ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 【答案】AB 【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【解析】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确； 令，得，则， 对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确； 对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误； 对于选项C，令，得，所以选项C错误； 故选：AB. 8．（多选）已知定义在上的函数满足，都有，且当时，，则（  ） A． B． C．在上单调递增 D．当时， 【答案】BCD 【分析】对A：借助赋值法，令即可得；对B：借助赋值法，令，结合A中所得计算即可得；对C：任取，结合函数单调性定义可得在上是增函数，则可得在上单调递增；对D：借助赋值法，令，可得，由时，，可得，则，累乘即可得解. 【解析】对A：令，得，故A错误； 对B：令，则，即有， 故，故B正确； 对C：任取，则，依题意，， 而，则，即， 即在上是增函数， 于是对于，任取， 因，则，即， 即函数在上单调递增，故C正确； 对D：令，可得， 整理得，当时，且， 故，即， 则，故D正确. 9．（多选）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（  ） A． B． C．在区间上的最大值是6 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对A，令求值判断；对B，将分解赋值代入已知关系式求解；对C，判断的单调性，结合赋值求解最值；对D，将不等式转化为，利用单调性求解. 【解析】对于A：令，则，解得，A正确； 对于B： ，B正确； 对于C：，且，则， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以在单调递减，在上最大值为， 因为，且， 所以，C错误； 对于D：由得， 因为， 所以，因为是减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为.D正确； 故选：ABD. 10．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解. 【解析】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 11．已知定义在上的奇函数满足，则 . 【答案】2026 【解析】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则 ， 由 . 法二： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以. 12．已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为__________ 【答案】5 【分析】利用函数单调性的定义研究的单调性进而研究最大值. 【解析】令，则，令有， 又，所以， 令，所以，所以， 设，则，所以， 所以， 则，故在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为. 故答案为：5 13．已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)；(2)在R上单调递减，证明见解析；(3). 【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值； （2）由得，讨论、，并结合及已知即可证； （3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集. 【解析】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； （2）在R上单调递减，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证. （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 14．已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. (1)证明：对任意实数，，； (2)求证：是上的增函数； (3)若命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）通过赋值法证明即可； （2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，求解即可． 【解析】（1）因为对任意实数，，， 所以，所以，在中， 令得，， 所以， 在中，用替换得，， 因为，所以， 所以，对任意实数，，成立. （2）任意取，，且，则，因为当时，，所以， 所以，即，所以是上的增函数. （3）命题，为假命题， 等价于，为真命题. 在中，令得，， 所以 由（2）的结论得，， 即， 令， 因为，成立，所以，所以， 所以实数的取值范围是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 抽象函数的应用 （十类重难点题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽象函数的定义域求解 题型二、抽象函数的函数值求解 题型三、抽象函数的值域（最值）求解 题型四、抽象函数的解析式求解 题型五、抽象函数单调性的应用 题型六、抽象函数奇偶性的应用 题型七、抽象函数对称性的应用 题型八、抽象函数比较大小 题型九、抽象函数解不等式 题型十、抽象函数性质的综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 抽象函数的应用问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕抽象函数的定义域求解、抽象函数的函数值求解、抽象函数的值域（最值）求解、抽象函数的解析式求解、单调性的应用、奇偶性的应用、抽象函数对称性的应用、抽象函数比较大小、抽象函数解不等式、抽象函数性质的综合十大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是抽象函数的概念与性质；二是构造具体函数拟合，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽象函数的定义域求解 典例1 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：抽象函数定义域的类型： （1）已知的定义域，求的定义域； （2）已知的定义域，求的定义域； （3）已知的定义域，求的定义域． 2.方法：抽象函数定义域的类型： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域． （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域． （3）已知的定义域，求的定义域：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域． 求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的。 注意：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集． 变式1-1已知函数的定义域是，则的定义域是（  ） A． B． C． D． 变式1-2函数的定义域为，函数，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 变式1-3已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为,求实数m的取值范围__________. 类型二、抽象函数的函数值求解 典例2（1）已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． （2）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值 2.方法：常用赋值法来解决．常见的赋值情况：（1）第一层次赋值：常常令字母取等；（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取；第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和或积（较多）或者差或商（较少）． 变式2-1若函数的定义域为，且，，则（  ） A． B． C． D． 变式2-2已知函数满足，则下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式2-3已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 题型三、抽象函数的值域（最值）求解 典例3已知满足，且，则的值域为_____ 题型模版 1. 特征：所谓抽象函数是指用函数符号（如表示），却没有给出具体解析式的函数，抽象函数的值域 一是借助函数图象的变换求解，如函数图象左右平移，其值域不变；函数图象上下平移，其值域也相应平移相同个单位；二是利用赋值法求解. 2.方法：抽象函数的值域求解通常需要灵活运用多种方法．可以利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来推断值域；通过赋值法代入特殊值或参数简化问题；借助数形结合法直观观察函数图像的特征；或者利用不等式等工具研究函数的极值和最值．此外，还可以通过构造具体函数模型、分离常数、整体代换等技巧来求解值域． 变式3-1已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（  ） A．2 B．3 C．6 D．9 变式3-2已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（  ） A． B． C． D． 变式3-3已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为__________ 题型四、抽象函数的解析式求解 典例4（1）设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． （2）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 题型模版 1.特征：一是构造关于函数(如)的方程（组），通过解方程（组）即得所求函数（如）的解析式； 二是结合所给条件确定相应函数的模型，再求出其待定系数，即得函数的解析式. 2.方法：①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x) ． ②凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求； ③待定系数法：已知函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数． ④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式． ⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 的表达式． ⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如)，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求的解析式． 变式4-1(多选)已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 变式4-2设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 变式4-3设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 题型五、抽象函数单调性的应用 典例5已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（  ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 题型模版 1.特征：判断抽象函数单调性的方法：利用函数单调性的定义判别 2.方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论． （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 变式5-1已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式5-2（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（  ） A．是偶函数 B． C． D．在上单调递增 变式5-3已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 题型六、抽象函数奇偶性的应用 典例6 已知函数的定义域为，，则（  ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 题型模版 1.特征：判断抽象函数奇偶性的关键是得到和的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留和的关系． 注意：证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律． 2.方法：（1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如，等； （2）尝试适当的换元字母，构造出和，如可令，可令等； （3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧． 变式6-1已知定义在R上的奇函数，满足，，则（  ） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．一定是奇函数 D．一定是偶函数 变式6-2已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（  ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 变式6-3（多选）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 题型七、抽象函数对称性的应用 典例7已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（  ） A．99 B．78 C．66 D．52 题型模版 1.特征：（1）对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； （2）如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 2.方法：单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）. ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）. 变式7-1已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（  ） A． B． C． D． 变式7-2已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（  ） A．2000 B．1999 C．4000 D．3999 变式7-3已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（  ） A． B． C． D． 题型八、抽象函数比较大小 典例8定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：抽象函数比较大小问题主要包括（1）判断自变量值的大小关系；（2）判断函数值的大小关系。 2.方法：抽象函数比较大小问题的思路总结： （1）首先考虑函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，通过这些性质来判断函数值的大小关系． （2）对于含参数的抽象函数，可以通过合理赋值参数，简化问题，从而比较大小． （3）绘制函数图像，通过观察图像的走势、交点等特征，直观地判断函数值的大小关系． （4）构造具体的函数模型，类比抽象函数的性质，通过具体函数的性质来推断抽象函数的大小关系． 变式8-1已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（  ） A． B． C． D． 变式8-2已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（  ） A． B． C． D． 变式8-3定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（  ） A． B． C． D． 题型八、抽象函数解不等式 典例9已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 题型模版 1.特征：利用单调性解不等式的相关结论： （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，．当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 抽象函数解不等式的关键是利用奇偶性、对称性、周期性将变量转化到同一单调区间内进行求解 2.方法：一般利用抽象函数的单调性、奇偶性或对称性脱去抽象不等式中的符号“f”，转化为具体不等式求解 变式9-1已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 变式9-2已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（  ） A． B． C． D． 变式9-3已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 题型十、抽象函数性质的综合 典例10已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征： 2.方法：抽象函数综合应用问题解题策略 1.赋值法：取特殊值（如 x=0、x=y、y=-x），求特殊函数值、奇偶性. 2.换元变形：合理代换自变量，推导单调性、周期性、对称性. 3.数形结合：依托性质草图辅助分析，简化不等式、方程问题. 4.巧用结论：熟记周期、对称间的关联规律，快速推理. 5.定义域优先：解题全程紧盯自变量取值范围，避免出错. 变式10-1已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 变式10-2（多选）定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（  ） A． B．的图象关于点对称 C． D．在上单调递增 变式10-3若定义域为的函数满足：对任意的和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（  ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 2．已知函数满足对任意实数，都有，且，则（  ） A． B． C． D． 3．已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 5．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（  ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 6．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数对任意恒有，且，则（  ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 8．（多选）已知定义在上的函数满足，都有，且当时，，则（  ） A． B． C．在上单调递增 D．当时， 9．（多选）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（  ） A． B． C．在区间上的最大值是6 D．不等式的解集为 10．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 11．已知定义在上的奇函数满足，则 . 12．已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为__________ 13．已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 14．已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. (1)证明：对任意实数，，； (2)求证：是上的增函数； (3)若命题，为假命题，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $