专题6.3.2 角的比较与运算（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题6.3.2 角的比较与运算 教学目标 1. 知识与技能：理解角的静态、动态定义，掌握角的四种表示方法，能根据图形规范表示角；掌握周角、平角、直角关系以及度、分、秒 60 进制换算与运算；理解方向角的定义、规范写法，会判断、计算方向角；掌握钟面角中时针、分针的转动规律，能计算钟面上时针与分针的夹角。 2. 过程与方法：经历观察、画图、换算、推理的过程，区分不同题型的模型，发展几何直观，学会数形结合解决角度问题。 3. 情感态度：规范几何语言书写，体会角在生活中的应用，养成细致审题、分类讨论的习惯。 教学重难点 1.重点 角的定义与规范表示；度分秒之间的换算与加减运算；方向角的识别和规范表述；钟面角的计算。 2.难点 （1）角的表示：顶点处多个角时，不能只用一个字母表示角； （2）角度 60 进制换算、借位与进位计算，容易和十进制混淆； （3）方向角找准观测点，利用平行线进行角度转化； （4）钟面角理解时针随分针同步转动，用模型列式计算夹角。 知识点01 角的大小比较 方法1：叠合法：把角的 和 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。 方法2：度量法：直角用量角器度量比较。 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。 【即学即练】 如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 知识点02 角的和与差 角的和：∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，记作∠AOB＝∠AOC＋∠BOC 角的差：∠AOC是∠AOB与∠BOC的差，记作∠AOC＝∠AOB－∠BOC ∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，记作∠BOC＝∠AOB－∠AO 【即学即练】 计算：______． 知识点03 角的平分线 1. 角的平分线： 从角的顶点出发，把这个角分成 的两个角的射线叫做这个角的平分线。 如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB 则OC是角∠AOB的平分线。 反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。 2. 角的等分线： 角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。 【即学即练】 若，，射线，分别是，的角平分线，则________． 知识点04 角度的加减乘除运算 1. 角度的加减运算： 加法法则：度加度，分加分，秒加秒。满60秒向分进1，满60分向度进1。 减法法则：度减度，分减分，秒减秒。从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分。 2. 角度的乘除运算： 乘法法则：度、分、秒分别与倍数相乘，秒满60向分进1，分满60向度进1。 除法法则：度、分、秒分别与除数相除，从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化。 【即学即练】 （1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 题型01 角度大小比较 【典例1】如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 1. 度量法（用量角器） 用量角器分别量出两个角的度数，直接比较度数大小：度数大，角就大。 2. 叠合法 操作步骤： 1 两个角顶点重合； 2 一条边重合； 3 另一条边落在重合边的同一侧； 然后看另一边位置： 另一边在内部 → 这个角更小 另一边重合 → 两角相等 另一边在外部 → 这个角更大 一句话口诀：顶点重、一边重、同侧看另一边，内小外大重合等。 【变式1】如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则能说明的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，，则________．（填“”或“”或“”） 【变式3】如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式4】在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 题型02 角的四则运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【变式3】如图，若，，则的度数为________． 【变式4】如果，则与的和是_____． 题型03 三角板中的角度问题 【典例1】一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 前提：一副标准三角板两块 1 等腰直角三角板：45°、45°、90° 2 细长三角板：30°、60°、90° 核心：所有题目本质就是这四个基础角（30°、45°、60°、90°）的和、差计算 【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 【变式2】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是__________． 【变式3】如图，直线上有一点O，作射线，使得，在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 【变式4】由一副三角尺可以拼出很多角的图案，如图，都是直角，且，．在平面内，当，部分重叠得到，叫它们的重叠角，如图________；类似的，若和分别是两个钝角，记为，记为，在平面内叠放得到重叠角，则，与，有什么数量关系：_________． 题型04 角平分线或角n分线的计算 【典例1】如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 1. 看图标已知：把已知角度写在图上； 2. 看到角平分线 /n 等分线，立刻写出等分关系式； 3. 判断角之间是和还是差，写出等式； 4. 无图文字题：一定要分类讨论（射线位置不确定）； 5. 多等分、复杂题可以设未知数x，简化计算。 【变式1】如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________． 【变式2】，射线是它的四等分线，则_________． 【变式3】如图，在三角形中，，垂足为点，，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则________． 【变式4】如图，直线，相交于点O，平分，则的度数为__________． 1．如图，叠放在上，使顶点，重合，边落在内．已知，，，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 4．已知和，移动将点与点重合，射线与射线重合，射线和射线置于重合边的同侧，如果射线在的外部，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法判断和的大小 5．计算下列各题： （1）________，________°__________′； （2）__________________′； （3）__________________′； （4）__________________′． 6．如图，已知，，，且，那么________． 7．如图，直线，相交于点，，若，则_________． 8．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 9．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点重合，是直角，平分． (1)若，则的度数为； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (4)将直角三角尺绕点顺时针旋转，旋转过程中始终平分，当时，请直接写的度数． 10．【问题背景】 如图，已知，是内的一条射线，且． 【问题再现】 (1)的度数为_____，的度数为_____°； 【问题推广】 (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 (3)过点O作射线、，且平分，若，求的度数． 1．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 3．自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 5．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 6．计算：＝_______（结果用度、分、秒表示） 7．如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有______（填序号） ①；②；③；④． 8．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为t（，单位：秒）当时，的度数是________；在转动过程中，当________时． 9．【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度； (2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ） 10．综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． (1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为__________； ②若，求线段的长； (2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简） (3)迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为____________________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3.2 角的比较与运算 教学目标 1. 知识与技能：理解角的静态、动态定义，掌握角的四种表示方法，能根据图形规范表示角；掌握周角、平角、直角关系以及度、分、秒 60 进制换算与运算；理解方向角的定义、规范写法，会判断、计算方向角；掌握钟面角中时针、分针的转动规律，能计算钟面上时针与分针的夹角。 2. 过程与方法：经历观察、画图、换算、推理的过程，区分不同题型的模型，发展几何直观，学会数形结合解决角度问题。 3. 情感态度：规范几何语言书写，体会角在生活中的应用，养成细致审题、分类讨论的习惯。 教学重难点 1.重点 角的定义与规范表示；度分秒之间的换算与加减运算；方向角的识别和规范表述；钟面角的计算。 2.难点 （1）角的表示：顶点处多个角时，不能只用一个字母表示角； （2）角度 60 进制换算、借位与进位计算，容易和十进制混淆； （3）方向角找准观测点，利用平行线进行角度转化； （4）钟面角理解时针随分针同步转动，用模型列式计算夹角。 知识点01 角的大小比较 方法1：叠合法：把角的顶点和其中一边重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。 方法2：度量法：直角用量角器度量比较。 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。 【即学即练】 如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】B 【详解】解：由题意得，， ∴． 知识点02 角的和与差 角的和：∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，记作∠AOB＝∠AOC＋∠BOC 角的差：∠AOC是∠AOB与∠BOC的差，记作∠AOC＝∠AOB－∠BOC ∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，记作∠BOC＝∠AOB－∠AO 【即学即练】 计算：______． 【答案】/100度 【详解】解：． 知识点03 角的平分线 1. 角的平分线： 从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。 如图：若∠AOC＝∠BOC＝∠AOB 则OC是角∠AOB的平分线。 反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB。 2. 角的等分线： 角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。 【即学即练】 若，，射线，分别是，的角平分线，则________． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ∵是的角平分线，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当在外部时， ∵是的角平分线，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 综上，为或． 知识点04 角度的加减乘除运算 1. 角度的加减运算： 加法法则：度加度，分加分，秒加秒。满60秒向分进1，满60分向度进1。 减法法则：度减度，分减分，秒减秒。从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分。 2. 角度的乘除运算： 乘法法则：度、分、秒分别与倍数相乘，秒满60向分进1，分满60向度进1。 除法法则：度、分、秒分别与除数相除，从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化。 【即学即练】 （1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 题型01 角度大小比较 【典例1】如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可得，，，，，故ACD正确，B错误． 1. 度量法（用量角器） 用量角器分别量出两个角的度数，直接比较度数大小：度数大，角就大。 2. 叠合法 操作步骤： 1 两个角顶点重合； 2 一条边重合； 3 另一条边落在重合边的同一侧； 然后看另一边位置： 另一边在内部 → 这个角更小 另一边重合 → 两角相等 另一边在外部 → 这个角更大 一句话口诀：顶点重、一边重、同侧看另一边，内小外大重合等。 【变式1】如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则能说明的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据图形可知， 故选：A． 【变式2】若，，则________．（填“”或“”或“”） 【答案】> 【详解】解：因为， 所以， 则. 又因为，， 所以． 故答案为：>． 【变式3】如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 【变式4】在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 题型02 角的四则运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式2】填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【变式3】如图，若，，则的度数为________． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴. 【变式4】如果，则与的和是_____． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 题型03 三角板中的角度问题 【典例1】一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 前提：一副标准三角板两块 1 等腰直角三角板：45°、45°、90° 2 细长三角板：30°、60°、90° 核心：所有题目本质就是这四个基础角（30°、45°、60°、90°）的和、差计算 【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 【答案】/75度 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是__________． 【答案】 【详解】解：由题意， ∴. 【变式3】如图，直线上有一点O，作射线，使得，在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 【答案】36 【详解】解：因为 ， ， 所以 ． 【变式4】由一副三角尺可以拼出很多角的图案，如图，都是直角，且，．在平面内，当，部分重叠得到，叫它们的重叠角，如图________；类似的，若和分别是两个钝角，记为，记为，在平面内叠放得到重叠角，则，与，有什么数量关系：_________． 【答案】 135 【详解】解：（1）∵，都是直角，， ∴， ∴， 故答案为：135； （2）如图所示， ， 故答案为：． 题型04 角平分线或角n分线的计算 【典例1】如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， 点在直线上， ， ， 是的平分线， ， ， 解得． 1. 看图标已知：把已知角度写在图上； 2. 看到角平分线 /n 等分线，立刻写出等分关系式； 3. 判断角之间是和还是差，写出等式； 4. 无图文字题：一定要分类讨论（射线位置不确定）； 5. 多等分、复杂题可以设未知数x，简化计算。 【变式1】如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 射线为的四等分线， ， 当旋转到的延长线上时，如图，此时，则， ①当时，如图， 则， ∵射线为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即， 则有，即， 解得或， 由，可得； 当旋转到与重合时，则， ②当时，如图， 则， ∵射线为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即， 则有，即， 解得或， 由，可得； 综上所述，的值为或28． 【变式2】，射线是它的四等分线，则_________． 【答案】 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3】如图，在三角形中，，垂足为点，，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则________． 【答案】 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ， ． 【变式4】如图，直线，相交于点O，平分，则的度数为__________． 【答案】 【详解】解：，设，则， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得：， ， ， ． 1．如图，叠放在上，使顶点，重合，边落在内．已知，，，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵，顶点，重合，， ∴， ∴， ∴． 2．如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 3．如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； ， ， ， ， ， ， 射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 4．已知和，移动将点与点重合，射线与射线重合，射线和射线置于重合边的同侧，如果射线在的外部，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法判断和的大小 【答案】A 【详解】解：由题意，将的顶点与的顶点重合，边与重合，与在重合边同侧， 射线在的外部， . 5．计算下列各题： （1）________，________°__________′； （2）__________________′； （3）__________________′； （4）__________________′． 【答案】 【详解】解：（1），； （2）； （3）； （4）． 6．如图，已知，，，且，那么________． 【答案】 【详解】∵，，，且， ∴， 解得， ∴． 7．如图，直线，相交于点，，若，则_________． 【答案】/度 【详解】解：∵直线，相交于点，，， ∴． 8．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 【答案】 【详解】解：点是直线上一点，， ． 平分， ． ， ． 9．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点重合，是直角，平分． (1)若，则的度数为； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (4)将直角三角尺绕点顺时针旋转，旋转过程中始终平分，当时，请直接写的度数． 【答案】(1) (2) (3)解：和的度数之间的关系是：，理由如下： 平分， ∴设， ， ∵点，，在同一条直线上， ， 是直角， ， ； (4)或 【详解】（1）解：是直角，， ， 平分， ， ∵点，，在同一条直线上， ； （2）解：是直角，， ， 平分， ， ∵点，，在同一条直线上， ； （3）略 （4）解依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图4①所示： ∵点，，在同一条直线上，， ， 平分， ， 是直角， ； ②当在直线的下方时，如图4②所示： 同①得：， ∴， 综上，的度数为或． 10．【问题背景】 如图，已知，是内的一条射线，且． 【问题再现】 (1)的度数为_____，的度数为_____°； 【问题推广】 (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 (3)过点O作射线、，且平分，若，求的度数． 【答案】(1)40，80 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵平分，， ∴，， ∴； （3）解：当在的内部时， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在的外部时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上：或． 1．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 2．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 3．自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，则， ∵，即， ∴， 解得， ∴． 4．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 5．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 【答案】或 或 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ， 平分，平分， ，， ； 当在外部时， ， 平分，平分， ，， ， 综上，或，或． 6．计算：＝_______（结果用度、分、秒表示） 【答案】 【详解】解： 7．如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有______（填序号） ①；②；③；④． 【答案】① 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ∵，， ∴， 故④错误； 综上所述，等式中成立的只有①． 8．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为t（，单位：秒）当时，的度数是________；在转动过程中，当________时． 【答案】 150° 10或26或46 【详解】解：由题意，得， 当时，， ∴； 当在左侧时，此时， 即， 解得； 当在右侧时，此时， 即， 解得； 当和在两侧时，此时， 即， 解得， 在转动过程中，当或26,或46时，． 9．【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度； (2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ） 【答案】(1) (2)当是或时，，理由如下： 如图， 根据题意得：， ∵，即， ∴， ∴； 如图，               根据题意得：， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，当是或时，； (3)或或或 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； （2）略 （3）解：若， 当位于的左侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 当位于的右侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 若， 当位于的左侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 当位于的右侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 10．综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． (1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为__________； ②若，求线段的长； (2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简） (3)迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为____________________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 【答案】(1)①6；②5 (2) (3)①23；36；②的度数为或. 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②由①知：， ∵， ∴， ∵，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①，射线在内部，， ∴； ②解：设，则； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 综上：的度数为或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $